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北师大版数学必修四第一章三角函数复习题一(P67~68)


北师大版数学必修四第一章三角函数复习题一(P67~68)

A组 1.时钟的分针长5cm, 从2: 10到2:35, 分针转过的角的弧度是多少? 分针扫过的扇形面积是多少?分针尖端所走过的弧长是多少?
扫过(35-10)/60 = 5/12个圆 弧度为5/12 * 2π = (5/6)π 面积为5/12 * (π*r? ≈ 5/12 * 3.14 *

5 * 5 = 32.708 cm? ) 弧长5/12 * (2πr) ≈ 5/12 * 2 * 3.14 * 5 = 13.083 cm

2.确定下列各式符号
〈1〉cos2-sin2 〈2〉sin3cos4tan5 cos2-sin2 可知 π/2<2<π 所以 cos2<0 sin2>0 所以 cos2-sin2<0 所以 符号为负

2.sin3cos4tan5 同理: sin3>0 cos4<0 tan5<0 所以 sin3cos4tan5>0 所以 符号为正 3.已知角 α 的终边在函数 y=-二分乊一 x 的图像上,求 sinα,cosα 和 tanα。 α 的终边在函数在 y=-1/2x 图像上,则斜率 k=-1/2 ∴ tanα=-1/2 α 为第二象限角或第四象限角

sinα=± tanα/√(1+tan^2α)=(± 1/2)/√(1+1/4)=±√5/5(α 为第二象限角时取正号。为第四象限 角时取负号) cosα=± 1/√(1+tan^2α)=± 1/√(1+1/4)=± 2√5/5(α 为第二象限角时取负号。为第四象限角时取 正号)

4.计算
(1)sin25π/6+cos25π/3+tan(-25π/4)
=sin(4π+π/6)+cos(8π+π/3)+tan(-6π-π/4) =sin(π/6)+cos(π/3)+tan(-π/4) =1/2+1/2-1 =0

(2)sin2+cos3+tan4
sin(2) + cos(3) + tan(4) = 1.07712621

(3)sin(-14/3π)+cos(-20/3π)+tan(-53/6π)
因为 sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,tan(-x)=-tanx, sin(2π+x)=sinx,cos(2π+x)=cosx,tan(2π+x)=tanx, 故 sin(-14π/3)+cos(-20π/3)+tan(-53π/6) =-sin(14π/3)+cos(20π/3)-tan(53π/6) =-sin(2π+2π/3)+cos((2π+2π/3)-tan(8π+5π/6) =-sin(2π/3)+cos((2π/3)-tan(5π/6) =-√3/2-1/2+√3/3 =-(3+√3)/6

(4)tan675°-sin(-330°)-cos960°
=tan(720°-45°)+sin(-360°+30° )-cos(1080°-120°) =tan(4π-π/4)-sin(-2π+π/6)-cos(6π-2/3π) =tan(-π/4)-sinπ/6-cos(-2/3π) =-tan(π/4)-sinπ/6-cos(2/3π) =-1-1/2+1/2 =1

5.求下列函数的定义域

(1)y=1/(1-tanX)
由1-tanx≠0,得 x≠kπ+π/4,k∈ Z, 又由正切的定义可知,x≠2kπ+π/2,k∈ Z, ∴ 函数的定义域为{x∈ x≠kπ+π/4,且 x≠kπ+π/2,k∈ } R| Z

(2)y=1/(1+2sinx)
1+2sinx≠0 sinx≠-1/2 那么 x≠2kπ-π/6,且 x≠2kπ-5π/6 即定义域为{x∈ R|x≠2kπ-π/6,且 x≠2kπ-5π/6,k∈ Z}

(3)y=-tan(x+π/6)+2
y=-tan(x+π/6)+2 x+π/6≠kπ+π/2 x≠kπ+π/3 (k∈ Z)

(4)y=根号下(1-cos x/2)
√(1-cos x/2)有定义,则根号下的(1-cos x/2)≥0,即要求 cos x/2≤1,这是一定成立的; 所以定义域为全体实数,即(-∞,+∞)

6.下列各式能否成立 说明理由 (1)sin^2x=1.3
正弦函数值域[-1,1] 不成立

(2)cosxsinx=-3/2
cosxsinx=(2sinxcosx)/2=sin2x/2 故 cosxsinx 的取值范围是[-1/2,1/2], cosxsinx 不可能等于-3/2。 不成立

(3)tanx+1/tanx=2
(tanx)^2 - 2tanx+1=0 (tanx-1)^2=0 tanx=1 当 x=π/4+kπ,k 为整数时,成立

否则不成立

(4)1-cos?x=log?1/10 7.求下列函数的最大值、最小追以及相对应的 x 值的集合 (1)y=√2+sinx/π
-1<=sinx<=1 所以-1/π<=sinx/π<=1/π √2-1/π<=√2+sinx/π<=√2+1/π 所以 sinx=-1有最小值,sinx=1有最大值 所以 x∈ {x|x=2kπ+π/2,k∈ Z},y 最大=√2+(1/π) x∈ {x|x=2kπ-π/2,k∈ Z},y 最小=√2-(1/π)

(2)y=3/2-2COSX
当 COSX 取最大值1时 y 取最小值-1/2,故{x│x=2kπ} 当 cosx 取最小值-1时 y 取最大值7/2,故{x│x=π+2kπ}

(3)y=3sin(3/4x-π/4)
最大值3,此时3/4x-π/4=2kπ+π/2,解得 x=(8/3)kπ+π; 最小值-3,此时3/4x-π/4=2kπ-π/2,解得 x=(8/3)kπ-π/3.

8.已知0≤x≤2π,分别求适合下列各条件的 x 的集合 (1)cosx+sinx<0
cosx-sinx<0 cosx*√2/2-sinx*√2/2<0 cosxcosπ/4-sinxsinπ/4<0 cos(x+π/4)<0 π/4<x+π/4<9π/4 cos 小于0则 π/2<x+π/4<3π/2 π/4<x<5π/4 所以 x∈ {x|π/4<x<5π/4}

(2)tanx+sinx<0

sinx/cosx<sinx 所以 sinx=0不成立

0<x<π,sinx>0 1/cosx<1 若0<cosx<1 则1/cosx>1,不成立 所以 cosx<0 所以 π/2<x<π π<x<2π,sinx<0 1/cosx>1 则 cosx>0 两边乘 cosx 所以1>cosx 所以3π/2<x<2π 所以 x∈ {x|π/2<x<π,3π/2<x<2π}

9.在区间【0,2π】中,求出 (1)使 y=sinx 不 cosx 都是减少的区间

由图像可知,在区间(0,2π)中,使 y=sinx 与 cosx 都是减少的区间是(π/2,π)

(2)使 y=sinx 是增加的而 y=cosx 是减少的区间
由图像可知,使 y=sinx 增加 而使 y=cosx 减少的区间是(0,π/2)

10.求下列函数的单调区间 (1)Y=3cos(x/2+π/4)
由 2kπ<=x/2+π/4<=(2k+1)π,k 为整数,得 (2k-1/4)<=x/2<=(2k+3/4)π, (4k-1/2)π<=x<=(4k+3/2)π, 即[(4k-1/2)π,(4k+3/2)π]为 y 的减区间; 同理,[(4k+3/2)π,(4k+7/2)π]为 y 的增区间。

(2)y=1/5sin(3x-4π/3)
增区间:2kπ-π/2≤3x-4π/3≤2kπ+π/2, 即:5π/18+2kπ/3≤x≤11π/18+2kπ/3 减区间:2kπ+π/2≤3x-4π/3≤2kπ+3π/2 。 即: 11π/8+2kπ/3≤x≤17π/18+2kπ/3

11.判断下列函数的奇偶性 (1)y=x?+cosx
f(-x)=(-x)^2+cos(-x)=x^2+cosx=f(x) 所以 y 是偶函数

(2)y=|1/2sinx| 偶函数 (3)y=x^2sinx
令 f(x)=x^2sinx f(-x)=(-x)^2sin(-x)=-x^2sinx=-f(x) 且定义域是 R,关于原点对称 奇函数

(4)y=cosx-tanx
因为 y=f(x)=cosx-tanx f(-x)=cos(-x)-tan(-x) 又因为 cosx 为偶函数 cos(-x)=cosx 而 tanx 为奇函数 tan(-x)=-tanx 所以 f(-x)=cosx+tanx 与 f(x)既不相等也不互为相反数 所以为非奇非偶函数

12.丌作图,写出下列函数的振幅,周期,初相,并说明怎样由正弦曲线 y=sinx 得到他们的图像 (1)y=sin(5x-π/6)
解:1、y=sin(5x-6/π ) 振幅 A=1,周期 T=2π /5 , 初相φ =-π /6 , 将函数 y=sinx 的图像向右平移π /6 个单位,得到 y=sin(x-π /6)的图像;再将 y=sin(x-π /6)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1/5 倍,得到 y=sin(5x-π /6 )

的图像

2、y=2sin(x/6+π/4)
2、y=2sin(x/6+π/4) 振幅 A=2, 周期 T=2π/6/1(二π/六分之一) =12 , 初相φ =π/4, 将函数 y=sinx 的图像向左平移π/4 个单位,得到 y=sin(x+π/4)的图像;再将 y=sin(x+π/4)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍,得到 y=sin( x/6+π/4) 的图像;再将 y=sin(x/6+π/4 )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 到 y=2sin(x/6+π/4)的图像

13.比较下列各组函数值的大小 1、sin(32π/5)和 sin27π/4 sin(32π/5) =sin(30π/5 + 2π/5) =sin2π/5 sin27π/4 =sin(24π/4+ 3π/4) =sin3π/4 =sinπ/4 ∵sinπ/4 < sin2π/5 ∴sin(32π/5)>sin(27π/4 ) 2、cos(-2037°)和 cos825° cos(-2037°)=cos2037°=cos(1800°+237°)=cos237°=-cos57° cos825°=cos(720°+45°)=-cos75° ∵cos75°<cos57° ∴-cos75°>-cos57° ∴cos825°>cos(-2037°) 3、tan(-18π/7)和 tan(-43π/8) tan(-18π/7)=-tan18π/7=-tan(14π/7+4π/7)=-tan4π/7 tan(-43π/8)=-tan(43π/8)=-tan(40π/8+3π/8)=-tan3π/8 ∵tan4π/7<0 ∴-tan4π>0 ∴tan(-18π/7)>0 又∵tan3π/8>0 ∴-tan3π/8<0 ∴tan(-43π/8)<0 ∴tan(-18π/7)>tan(-43π/8)

B组
1.已知α终边在第四象限,确定下列各角终边所在的象限

1)α/2

2)2α

3)α/3

4)3α k∈ Z 第三象限或第四象限或 y 轴负半轴

α 第四象限。 区间为。 (3/2π+2kπ,2π+2kπ) α/2 区间为(3/4π+kπ,π+kπ) 所以是第二象限 2α 区间为( 3π+4kπ,4π+4kπ)相当于-π<x<0

α/3 区间为(2/π+2/3π,2/3π+2/3π) 所以是 第二象限 3α 区间为(9/2π+6kπ,6π+6kπ) 即 (1/2π+4π+6kπ,2π+4π+6kπ)表示从第二象限直至 第四象限底(不含边界) 但含 x 轴的负半轴 ,y 负半轴。 其中3α 取 π+4π+6kπ 即为 x 轴 的负半轴

2、一个扇形的弧长不面积的数值都是5, 求这个扇形中心角的度数. S=lr/2 S=l=5 r=2 S=nπr?/360 n=450/π≈143°

【解法二:设扇形的弧长为 L,半径为 R, 由题意得 L=5, 1/2LR=5,∴R=2, 设扇形的圆心角为θ ,则θ /2π =L/2π R , ∴θ =5/2(弧度) 】

3.求下列函数的值域: (1)y=2-3cos(4x-π/3)
-1<=cos(4x-π/3)<=1 所以-3<=-3cos(4x-π/3)<=3 2-3<=2-3cos(4x-π/3)<=2+3 所以值域[-1,5]

(2)y=3sinx+1/sinx-2
y=(3sinx+1)/(sinx+2) =(3sinx+6-5)/(sinx+2) =(3sinx+6)/(sinx+2)-5/(sinx+2) =3-5/(sinx+2) ∵ sinx∈ 【-1,1】 ∴ sinx+2∈ 【1,3】 ∴ 1/(sinx+2)∈ 【1/3,1】 ∴ -5/(sinx+2)∈ 【-5,-5/3】 ∴ 3-5/(sinx+2)∈ 【-2,4/3】 即值域是【-2,4/3】

(3)y=7-7sinx-3cos^2x
y=7-7sinx-3cos? x =7-7sinx-3(1-sin? x) =3sin? x-7sinx+4 =3(sin? x-7sinx/3)+4 =3(sinx-7/6)? -1/12

因为-1≤sinx≤1所以1/36≤(sinx-7/6)?≤169/36 1/12≤3(sinx-7/6)?≤169/12 0≤3(sinx-7/6)? -1/12≤14 故值域是[0,14]

4.利用单位圆和三角函数线,分别求出使下列各组条件成立的 x 的集合

5.函数 y=Asin(ωα+φ)(A>0,ω>0│φ│<=π)在一个周期内,当 x=π/6时,y 取最小值1, 当 x=5π/6时,y 取最大值3,请求出此函数的解析式。 Asin(wπ/6+φ)+A0有最小值,即 A0-A=1 wπ/6+φ=3π/2...............1) Asin(5wπ/6+φ)+A0有最大值:A0+A=3 A0=2,A=1 5wπ/6+φ=5π/2...............2) 2)-1):4wπ/6=π,w=3/2 将 w 代入1)或2)式得:φ=5π/4

y=2+sin(3x/2+5π/4)

由于,w>0,│φ│<=π 则 y=2+sin(3x/2+π/4+π) =2-sin(3x/2+π/4) 6.。。。 我略过去了可以么 毕竟估计没有几个老师会留这么变态的作业 实在丌行 自行百 。。。 度 编呗!

------鸣谢答疑网、百度知道等贡献答案的团队 (最应该感谢的 就是我啊 擦擦。。劳资弄了一整天啊) 。


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