当前位置:首页 >> 数学 >>

数列综合练习题及答案


数列的综合问题
★ 重 难 点 突 破 ★ 1、教学重点:会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 掌握数列解题的基本思想及解题方法。 2、教学难点:会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 例 1、设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2

)证明:对于一切正整数 n, an ?

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 ?1 2n ?1

解:(1)由an ? 当b ? 2时,

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b

n n ?1 1 n 1 1 1 n n ? ? , 则数列{ }是以 ? 为首项, 为公差的等差数列,? ? , 从而an ? 2. an an ?1 2 an a1 2 2 an 2

n 1 2 n ?1 1 当b ? 2时, ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b 则数列{ ? n 1 1 1 2 2 ? }是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列, an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b) b

n 1 2 2 1 2 nb n (2 ? b) ? ? ? ( ) n ?1 ? ? ( ) n ,? an ? n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ? bn

(b ? 2) ?2, ? n 综上an ? ? nb (2 ? b) . (b ? 0, b ? 2) ? n n ? 2 ?b

(2)当b=2时,an ? 2,

b n ?1 b n ?1 +1 ? 2,? an ? n ?1 +1,从而原不等式成立; 2n ?1 2 n ?1 b nb n (2 ? b) b n ?1 n(2 ? b) b 1 当b ? 2时,要证an ? n ?1 +1,只需证 n ? n ?1 +1, 即证 n ? n ?1 + n , n n 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b n b 1 即证 n ?1 n ? 2 ? + , 2 ? 2 b ? 2n ?3 b 2 ? ? ? 2b n ? 2 ? b n ?1 2n ?1 b n 2n ?1 2n ? 2 2n ?3 2 1 b b2 b n ?1 b n 即证n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , b b b b b 2 2 2 2 n ?1 n n?2 n ?1 2 2 b 2 b 2 b 1 b 而上式左边=( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ( ? 2 ) b 2 b 2 b 2 b 2 ?2

2n ?1 b n 2n ? 2 b n ?1 2 b2 1 b ? n ?1 ? 2 n ?1 ? n ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? n n b 2 b 2 b 2 b 2 ?当b ? 2时, 原不等式也成立, 从而原不等式成立.
例 2、已知数列 ? a n? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , a n ?1 ? rS n
1

(n ? N* ,

r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式;

S S (Ⅱ) 若存在 k ? N , 使得 S k ?1 , k , k ? 2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m?N , m ? 2 , 且
* *

a m ?1 , a m , a m ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论.
解: (Ⅰ)由已知: a n ?1 ? rS n 得 an?2 ? rS n?1 ,两式相减得 an?2 ? (r ? 1)an?1 ,又 a2 ? ra 所以当 r ? 0 时数列 ?a n ?为: a ,0,0,0,…,
? 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0 , n ? N ,于是

an?2 ? 1 ? r ,(n ? N ? ) an?1
a

所以数列 a2 , a3 ,?, an 成等比数列,即当 n ? 2 时 an ? r (1 ? r ) 综上数列 ?a n ?的通项公式为 an ? ?
?

n?2

?a ? r (1 ? r )
n?2

n ?1 a, n ? 2

(Ⅱ)对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列,证明如下: 当 r ? 0 时由(Ⅰ)知 an ? ?

?a ?0
*

n ?1 n?2

,此时 a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列;

当 r ? 0, r ? ?1 时,若存在 k ? N ,使得 S k ?1 , S k , S k ? 2 成等差数列,则 2 S k = S k ?1 + S k ? 2 ∴ 2ak ?1 ? ak ?2 ? 0 , (Ⅰ) 由 知数列 a2 , a3 ,?, an 的公比 r ? 1 ? ?2 , 于是对于任意的 m?N ,
*

且 m ? 2,

am?2 ? ?2am?1 ? am?2 ? 4am ;所以 2 a m = a m ?1 + a m ? 2 即 a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列;
综上:对于任意的 m ? N ,且 m ? 2 , a m ?1 , a m , a m ? 2 成等差数列。 例 3、已知两个等比数列 {a n } , {bn } ,满足 a1 ? a (a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a 2 ? 2 ,
?

b3 ? a3 ? 3 .
(1)若 a ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {a n } 唯一,求 a 的值. 【解析】 (1)设 {a n } 的公比为 q ,则 b1 ? 1 ? a ? 2 , b2 ? 2 ? aq ? 2 ? q ,
2

b3 ? 3 ? aq 2 ? 3 ? q 2 ,由 b1 , b2 , b3 成等比数列得 (2 ? q) 2 ? 2(3 ? q 2 ) ,
即 q ? 4q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2 ?
2

2 , q2 ? 2 ? 2
n ?1

所以 {a n } 的通项公式 a n ? (2 ? 2 )
2

或 a n ? (2 ? 2 )
2

n ?1

.
2

() (2) 设 {a n } 的公比为 q , 则由 (2 ? aq) ? (1 ? q)(3 ? aq ) , aq ? 4aq ? 3a ? 1 ? 0* 得
由 a ? 0 得 ? ? 4a ? 4a ? 0 ,故方程(*)有两个不同的实根.
2

由 {a n } 唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a ?
2

1 . 3

例 4、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?
2 3 2

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an = ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? 故

n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

例 5、已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 ,bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) .将集合

{x x ? an , n ? N *} ? {x x ? bn , n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列

c1 , c2 , c3? ,nc? , ,
(1)写出 c1 , c2 , c3 , c4 ;
3

(2)求证:在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式. 解:⑴

c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;
*

⑵ ① 任 意 n ? N , 设 a2 n ?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 , 则 k ? 3n ? 2 , 即

a2 n ? 1 ? b 3n ? 2
② 假设 a2 n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ,∴ ? N * (矛盾) 2

a2 n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6k ? 5 ? 6k ? 6 ? 6k ? 7

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,……

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? ,k ? N* ∴ cn ? ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ?
例 6、已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 2 且 a n ?1 ?

2?n ? 1?a n ? (n? N ) an ? n

(Ⅰ)求证:数列 ?

?n ? ? 1? 为等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; ? an ?

(Ⅱ)证明:

a a1 a 2 a3 。 ? ? ? ... ? n ? n ? 2 ( n ? N ? ) 1 2 3 n

解: (Ⅰ)由题得:an+1(an+n)=2(n+1)an , 即 a n a n ?1 ? nan ?1 ? 2(n ? 1)a n 故 2? ?

? n ?1 ? n ?n ? ? 1? ? ? a ? 1 即数列 ? a ? 1? 为等比数列, ……3 分 n ? a n ?1 ? ? n ?
n ?1

n ? 1 ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?? ? an ? 2 ?? 2 ?

?1? ? ?? ? , ?2?

n

? an ? n ?

n 2 ?1
n

……7 分

4

(Ⅱ)由上知

an 1 ? 1? n 2n ?1

……………………………………8 分

?

a a1 a 2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ... ? n ? n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n?1 1 2 3 n 2 2 2 2
n ?1

? ? 1 ?n ? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? n? ? 1 1? 2

?1? ? n? 2?? ? ?2?

? n?2。
1 1 1 , , 成等比数列. a1 a 2 a 4

例 7、已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,试比较
*

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a1 a2 a2 a2 a2 1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4

(Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1 d ? d
2 2

因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a. (Ⅱ)解:记 Tn ?

故通项公式 an ? na.

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( )n ) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

2 * 例 8、在各项均为负数的数列{an}中,已知点(an,an+1)(n∈N )在函数 y= x 的图象上,且 3

a2·a5= .
(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=an+n,求 Sn.

8 27

5

[解析]

2 * (1)因为点(an,an+1)(n∈N )在函数 y= x 的图象上, 3

2 an+1 2 2 所以 an+1= an,即 = ,故数列{an}是公比 q= 的等比数列, 3 an 3 3 8 8 ?2?3 4 2?2?5 因为 a2a5= ,则 a1q·a1q = ,即 a1? ? =? ? ,由于数列{an}的各项均为负数,则 27 27 ?3? ?3?

a1=- ,

3 2

?2?n-2 所以 an=-? ? . ?3?
2 ?2?n-2 ?2?n-2 ?2?n-1 n +n-9. (2)由(1)知,an=-? ? ,bn=-? ? +n,所以 Sn=3·? ? + 2 ?3? ?3? ?3?

例 9、(2011·黑龙江)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n =1,2,3,…. (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项. [解析](1)由已知 an+1=an+2an,∴an+1+1=(an+1) .∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数 lg(1+an+1) 得:lg(1+an+1)=2lg(1+an),即 =2.∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列. lg(1+an) (2)由(1)知 lg(1+an)=2
n-1
2 2

2

·lg(1+a1)=2
0 1

n-1

·lg3=lg32
n-1

n-1

∴1+an=32
2

n-1

(*) =32 -1.
n

∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=32 ·32 ·…·32 由(*)式得 an=32 -1-1.
n

=31+2+2 +…+2

n-1

例 10、2011·湖南长沙一中月考)已知 f(x)=m (m 为常数,m>0 且 m≠1).设 f(a1),

x

f(a2),…,f(an)…(n∈N)是首项为 m2,公比为 m 的等比数列.
(1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 bn=anf(an),且数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 m=2 时,求 Sn; (3)若 cn=f(an)lgf(an),问是否存在正实数 m,使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的 项?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析](1)由题意 f(an)=m ·m
2

n-1

,即 man=m

n+1

.

∴an=n+1,∴an+1-an=1,∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 bn=anf(an)=(n+1)·m 当 m=2 时,bn=(n+1)·2
n+1 n+1


2 3 4

,∴Sn=2·2 +3·2 +4·2 +…+(n+1)·2
3 4 5

n+1



①式两端同乘以 2 得,2Sn=2·2 +3·2 +4·2 +…+n·2 ②-①并整理得,

n+1

+(n+1)·2

n+2



Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n
+1)·2
n+2

6

2 (1-2 ) n+2 2 n n+2 n+2 =-4- +(n+1)·2 =-4+2 (1-2 )+(n+1)·2 =2 ·n. 1-2 (3)由题意 cn=f(an)·lgf(an)=m
*

2

n

n+1

·lgm

n+1

=(n+1)·m
n+1

n+1

·lgm,
n+2

要使 cn<cn+1 对一切 n∈N 成立,即(n+1)·m N 成立,
*

·lgm<(n+2)·m

·lgm,对一切 n∈

①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1<m(n+2)对一切 n∈N 恒成立;②当 0<m<1 时,lgm<0, 所以

*

n+1 n+1 1 2 2 * >m 对一切 n∈N 成立,因为 =1- 的最小值为 ,所以 0<m< . n+2 n+2 n+2 3 3
2 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. 3

例 11、数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:an= + 2 + 3 +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 3 +1 3 +1 3 +1

*

b1

b2

b3

bn

[解析](1)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式 ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)an= + 2 + 3 +…+ n (n≥1)① 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 ∴an+1= + 2 + 3 +…+ n + n+1 ② 3+1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 ②-①得, n+1 =an+1-an=2,bn+1=2(3 3 +1 故 bn=2(3 +1)(n∈N). (3)cn=
n

b1

b2

b3

bn

b1

b2

b3

bn

bn+1

bn+1

n+1

+1),

anbn
4

=n(3 +1)=n·3 +n,
2 3

n

n

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 )+(1+2+…+n) 令 Hn=1×3+2×3 +3×3 +…+n×3 ,① 则 3Hn=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3
2 3 2 3 4 2 3

n

n

n+1


n+1

①-②得,-2Hn=3+3 +3 +…+3 -n×3 (2n-1)×3 ∴Hn= 4
n+1

n

3(1-3 ) n+1 = -n×3 1-3

n

+3 ,

∴数列{cn}的前 n 项和

Tn=

(2n-1)×3 4

n+1

+3 n(n+1) + . 2

7

3)令 cn=

an bn
4

(n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

*

综合练习
一、选择题 1.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45 )

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 A. 1 2 B.1 C.2 D.3

S3 S2

)

1 * 3.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N )且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+a9)的值 3 是( ) A.-5 1 B.- 5 C.5 1 D. 5 )

4.已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公式 q≠1,若 a1=b1,a11=b11,则( A.a6=b6 C.a6<b6 B.a6>b6 D.以上都有可能

5.已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关 系是( ) B.ab≥AG D.不能确定 )

A.ab=AG C.ab≤AG

1 a3+a4 6.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1, a2,a3,1 成等差数列, 且 a 则 的值为( 2 a4+a5 A. 1- 5 2 B. 5+1 2 C. 5-1 2 D. 5+1 5-1 或 2 2

7.已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前 2011 项的和等于 ( ) A.1341 B.669 C.1340 D.1339

8.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1、a3、a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn} 的公比为( A. 2 ) B.4 C.2 1 D. 2

9.已知数列{an}为等差数列,若

a11 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 的最 a10

8

大值 n 为( A.11

) B.19 C.20 D.21

10.在等差数列{an}中, 其前 n 项和是 Sn, S15>0, 16<0, 若 S 则在 , , …, 中最大的是( A.

S1 S2 a1 a2

S15 a15

)

S1 a1
2

B.

S8 a8
2

C.

S9 a9

D.

S15 a15

11.将 n (n≥3)个正整数 1,2,3,…,n 填入 n×n 方格中,使得每行、每列、每条对角线上 的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方.记 f(n)为 n 阶幻方对角线上数的和,如右表 就是一个 3 阶幻方,可知 f(3)=15,则 f(n)=( 8 3 4 1 2 A. n(n +1) 2 1 2 2 C. n (n +1) 2 1 5 9 6 7 2 1 2 B. n (n+1)-3 2 D.n(n +1) ) 1 D. 2
2 2

)

1 12.若数列{an}满足:an+1=1- 且 a1=2,则 a2011 等于(

an

A.1

1 B.- 2

C.2

13.数列{an}是等差数列, 公差 d≠0, a2046+a1978-a2012=0, bn}是等比数列, b2012=a2012, 且 { 且 则 b2010·b2014=( A.0 ) B.1 C.4 D.8

14.设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数 列,则 ab1+ab2+…+ab10=( A.1033
2 2

) C.2057 D.2058

B.1034

15.在圆 x +y =10x 内,过点(5,3)有 n 条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{an}的首

?1 2? 项 a1,最长弦长为 an,若公差 d∈? , ?,那么 n 的取值集合为( ?3 3?
A.{4,5,6} C.{3,4,5}
*

)

B.{6,7,8,9} D.{3,4,5,6}

16.在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N ,a 为常数),若平面上的三个不共线的非零向量, ,满 足=a1+a2010,三点 A、B、C 共线且该直线不过 O 点,则 S2010 等于( A.1005 二、填空题 1.已知 1,x1,x2,7 成等差数列,1,y1,y2,8 成等比数列,点 M(x1,y1),N(x2,y2),则线段
9

)

B.1006

C.2010

D.2012

MN 的中垂线方程是________.
1 2.已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线 y= x(x 2 +1)上,则数列{an}的通项公式为________.

? π ? ?π ? 且 3.已知α ∈?0, ?∪? ,π ?, sinα , sin2α , sin4α 成等比数列, 则α 的值为________. 2? ?2 ? ?
4.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}, 已知 a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1) 共有________人. 5.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列, 且从上到下所有公比相等,则 a+b+c 的值为________.
n

(n∈N ),则该医院 30 天入院治疗流感的人数

*

a c B
1 2 6

三、解答题 1.{an}是公差为 1 的等差数列,{bn}是公比为 2 的等比数列,Pn,Qn 分别是{an},{bn}的前 n 项和,且 a6=b3,P10=Q4+45. (1)求{an}的通项公式;(2)若 Pn>b6,求 n 的取值范围.

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -2n,数列{bn}的前 n 项和 Tn=3-bn. 1 1 ①求数列{an}和{bn}的通项公式; ②设 cn= an· bn,求数列{cn}的前 n 项和 Rn 的表达式. 4 3 3.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正数,前 n 项和为 Tn,且 T3=15,

2

又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn.

1 4.已知数列{bn}前 n 项和为 Sn,且 b1=1,bn+1= Sn. 3 (1)求 b2,b3,b4 的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)求 b2+b4+b6+…+b2n 的值.

5.数列{bn}的通项为 bn=na (a>0),问{bn}是否存在最大项?证明你的结论.

n

6.已知数列{an}和等比数列{bn}满足:a1=b1=4,a2=b2=2,a3=1,且数列{an+1-an}是等
10

差数列,n∈N .

*

求数列{an}和{bn}的通项公式

数列练习题答案 选择:1、B 11、A 2.C 3.A 4、B 5.C 14.A 2、an=n 6、C 7、A 16.A 4、255 5.22 8、C 9.B 10.B

12.C 13、C

15、A 2π 3 、 3

填空:1、x+y-7=0

解答题:1、[解析] (1)由题意得

?a1+5=4b1 ? 4 ? 10×9 b1(1-2 ) ?10a1+ 2 = 1-2 +45 ?
(2)Pn= 由

??

?a1=3 ? ? ?b1=2

,∴an=3+(n-1)=n+2.

n(n+2+3) n2+5n
2
2



2

,b6=2×2

6-1

=64.

n2+5n
2
*

>64? n +5n-128>0? n(n+5)>128,

又 n∈N ,n=9 时,n(n+5)=126,∴当 n≥10 时,Pn>b6. 2.[解析] ①由题意得 an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2)而 n=1 时 a1=S1=0 也符合上式∴an =4n-4(n∈N+)又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴

bn 1 1 = ∴{bn}是公比为 的等比数列,而 b1 bn-1 2 2

3 3?1?n-1 ?1?n =T1=3-b1,∴b1= ,∴bn= ? ? =3·? ? (n∈N+). 2? 2 2? ?2? 1 1 1 1 ?1?n ?1?n ②Cn= an· bn= (4n-4)× ×3? ? =(n-1)? ? , 4 3 4 3 ?2? ?2?

?1?2 ?1?3 ?1?4 ?1?n ∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn=? ? +2·? ? +3·? ? +…+(n-1)·? ? ?2? ?2? ?2? ?2?
1 ?1?3 ?1?4 ?1?n ?1?n+1 ∴ Rn=? ? +2·? ? +…+(n-2)? ? +(n-1)? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 1 ?1?2 ?1?3 ?1?n ?1?n+1 ?1?n ∴ Rn=? ? +? ? +…+? ? -(n-1)·? ? ,∴Rn=1-(n+1)? ? . 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 3.[解析] (1)由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,∴an+1=3an(n≥2),又 a2=2S1+1=2a1+1=3,∴a2=3a1, 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴an=3
n-1

.

(2)设{bn}的公差为 d,由 T3=15 得,b1+b2+b3=15,可得 b2=5,故可设 b1=5-d,

b3=5+d,又 a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,解得 d=2
或-10. ∵等差数列{bn}的各项均为正数,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+

n(n-1)
2

×2=n +2n.

2

11

1 1 1 1 1 4 1 1 16 4.[解析] (1)b2= S1= b1= ,b3= S2= (b1+b2)= ,b4= S3= (b1+b2+b3)= . 3 3 3 3 3 9 3 3 27

?b =1S ? 3 (2)? 1 ? ?b =3S
n+1 n

n

① ②

1 4 1 ①-②解 bn+1-bn= bn,∴bn+1= bn,∵b2= , 3 3 3

n-1

1 ?4?n-2 ∴bn= ·? ? 3 ?3?

(n≥2)

(n=1) ?1 ? ∴bn=?1 ?4?n-2 ?3·?3? (n≥2) ? ? ?

.

1 ?4?2 (3)b2,b4,b6…b2n 是首项为 ,公比? ? 的等比数列, 3 ?3? 1 4 2n [1-( ) ] 3 3 3 4 2n ∴b2+b4+b6+…+b2n= = [( ) -1]. 4?2 7 3 ? 1-? ? 3? ? 5.[解析] bn+1-bn=(n+1)a
n+1

-na =a [(n+1)a-n]=a ·[(a-1)n+a]

n

n

n

(1)当 a>1 时,bn+1-bn>0,故数列不存在最大项; (2)当 a=1 时,bn+1-bn=1,数列也不存在最大项; (3)当 0<a<1 时,bn+1-bn=a (a-1)?n+
n

? ?

,即 bn+1-bn 与 n+ 有相反的符号, a-1? a-1 ?

a ? a

a

由于 n 为变量,而

为常数,设 k 为不大于 的最大整数,则当 n<k 时,bn+1-bn>0, a-1 1-a

a

当 n=k 时,bn+1-bn=0,当 n>k 时,bn+1-bn<0. 即有 b1<b2<b3<…<bk-1≤bk 且 bk>bk+1>…,故对任意自然数 n,bn≤bk. ∴0<a<1 时,{bn}存在最大值.

?1?n-1 ?1?n-3 6.[解析] 易知 bn=4·? ? =? ? , ?2? ?2?
∵a2-a1=-2,a3-a2=-1,… ∴an+1-an=-2+(n-1)=n-3. ∴an-an-1=(n-1)-3, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1= =

n(n-1)
2

-3(n-1)+4

n2-7n+14
2

.

12

13


相关文章:
数列综合练习题及答案
数列综合练习题及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数列综合练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。...
数列综合练习题附答案
数列综合练习题答案一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. (文)(2011· 山东)在等差数列{an}中, 已知 a1=2, 2+a3=13, ...
2014年数列经典综合练习题有答案
2014年数列经典综合练习题答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2014年数列经典综合练习题答案_数学_高中教育_教育专区。2014 年数列经典...
数列综合练习题附答案
数列综合练习题答案_司法考试_资格考试/认证_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数列综合练习题答案_司法考试_资格考试/认证_教育专区。数列综合...
数列综合练习(有答案)
数列综合练习及答案、 4页 1下载券 数列的综合练习2 2页 1下载券 数列基础综合...数列(一) 1、写出前几项为下列各数的数列的一个通项公式: (1) ? 3 2 ...
数列综合测试题(经典)含答案
数列综合测试题(经典)含答案_数学_高中教育_教育专区。数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分...
数列综合练习题及答案
数列综合练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。数列的综合问题★ 重难点突破★ 1、教学重点:会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。 掌握数列解题的...
数列综合练习题及答案 - 副本
数列综合练习题及答案 - 副本_数学_高中教育_教育专区。例1 解:(1)由an ? 当b ? 2时, nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an ?1 ? 2n ? 2...
高一数列专项典型练习题及解析答案
高一数列专项典型练习题及解析答案_数学_高中教育_教育专区。高一数列练习题及...数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. ﹣ 分析: (1)由已知条件...
数列综合练习题(答案)
数列综合练习答案】A 【答案】B 【答案】D 【答案】C 【答案】B 【答案】B 【答案】B 1 【答案】B 【答案】B 【答案】C 【答案】A 【答案】C 2 ...
更多相关标签: