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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第64课 椭圆的几何性质课件 文


考纲要求
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.

知识梳理
椭圆的简单几何性质
焦点位置 焦点在 x 上 焦点在 y 上

图 形

标准方程 范围 对称性 轴 焦距 离心率

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b ? a ? x ? a , ?b ? y ? b<

br />对称轴:坐标轴

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b ?b ? x ? b , ? a ? y ? a
对称中心:原点

长轴 A1 A2 ? 2a ;短轴 B1B2 ? 2b

F1F2 ? 2c
e? c ? (0,1) a

基础自测
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 1. (2011 全国高考)椭圆 16 8
1 A. 3
【答案】D



1 B. 2

3 C. 3

2 D. 2

2 2.一个椭圆的半焦距为 2 ,离心率 e ? ,那么它的短轴长是( 3 A. 3 B. 5
C. 2 5
【答案】C



D. 6

2 【解析】∵ c ? 2 , e ? ,∴ a ? 3 , 3
∴ 2b ? 2 a2 ? c2 ? 2 5 .

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离 心率是( )

4 A. 5
【答案】B

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5

【解析】∵ 2 ? 2b ? 2a ? 2c ,∴ 4b2 ? (a ? c)2 , ∴ 4(a2 ? c2 ) ? (a ? c)2 ,

3 4(a ? c) ? a ? c , e ? . ∴ 5

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? 4. (2012 佛山一模)已知椭圆 ,则 m 的 5 m 5
值为( A. 3 C. 5
【答案】D

) B.

5 15 或 15 3 25 D. 或3 3

10 【解析】∵椭圆的离心率 e ? , 5 5?m 10 m?5 10 ∴ 或 . ? ? 5 5 5 m 25 m? ∴ 或m? 3 . 3

典例剖析
考点1 与椭圆离心率相关的问题

x2 y 2 【例 1】 (2012 济南质检) 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与曲线 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 a b
无公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. (
【答案】D 【解析】∵ x2 ? y 2 ? a2 ? b2 ,∴ x2 ? y 2 ? c2 , ∴以半焦距 c 为半径的圆在椭圆内部,故 b ? c . ∵ a 2 ? b2 ? c 2 ,∴ a 2 ? 2c 2 ,∴ 0 ?



3 , 1) 2

B. ( 0 ,

3 2 ) C. ( , 1) 2 2

D. (0,

2 ) 2

c 2 2 ,∴ 0 ? e ? . ? a 2 2

x2 y 2 【变式】 (2012 江西高考)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别 a b 是 A 、 B ,左、右焦点分别是 F 、 F2 .若 AF , F1F2 , F B 成等比数 1 1 1
列,则此椭圆的离心率为( )

1 A. 4
【答案】B

5 B. 5

1 C. 2

D. 5 ? 2

【解析】∵ A(?a,0), B( A,0) , F (?c,0), F2 (c,0) , 1 ∴ AF ? a ? c, F B ? a ? c , F F2 ? 2c , 1 1 1 又∵ AF , F1F2 , F B 成等比数列, 1 1 ∴ 4c2 ? (a ? c)(a ? c) ? a2 ? c2 ,

c 5 即 5c ? a ,∴ a ? 5c , e ? ? . a 5
2 2

考点2 与椭圆相关的最值问题

x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? 2 y ? 9 ? 0 的距离的最小值. 【例 2】求椭圆 4 3 【解析】方法 1.设直线 l ? : x ? 2 y ? c ? 0(c ? ?9) ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 ,得 4 x ? 2cx ? c ? 12 ? 0 , 3 ?x ? 2 y ? c ? 0 ?
∴ ? ? (2c)2 ? 4 ? 4(c2 ?12) ? 0 ,解得 c ? ?4 , 易知 c ? ?4 时,直线 l ? 与椭圆的交点到直线 l 的距离的最近, ∵直线 l ? 与直线 l 的距离为 d ?

?4 ? 9 1 ?2
2 2

? 5.

∴最小值距离是 5 .

方法 2. 设 M (2cos? , 3sin ? ) 为椭圆上一点, 那么点 M 到直线 l 的距离为:

2cos ? ? 2 3 sin ? ? 9 4sin(? ? 6 ) ? 9 ? ? 5. 2 2 5 1 ?2
∴最小值距离是 5 .

?

x2 ? y 2 ? 1上一点,则 x ? y 的 【变式】(2012 济宁质检)若点 P 为椭圆 4
最大值为( A. 1
【答案】D

) B. 2 C. 2 D.

5

x2 ? y 2 ? 1上一点, 【解析】∵点 P 为椭圆 4
∴可设 P(2cos ? ,sin ? ) , ∴ x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 5 sin(? ? ? ) ? 5 . ∴ x ? y 的最大值为 5 .

考点3 椭圆的综合问题

x2 y 2 6 【例 3】 (2012 哈尔滨质检)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , a b 3
椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交与 A 、B 两点, P(0,1) , PA ? PB , 点 且 求直线 l 的方程.
【解析】 (1)由已知 2a ? 6 ,∴ a ? 3 , ∵e ?
2

c 6 , ∴c ? 6 , ? a 3
2 2

∴ b ? a ? c ? 3,

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的方程为 9 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)由 ? 9 ,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ?12kx ? 3 ? 0 , 3 ? y ? kx ? 2 ?
直线与椭圆有两个不同的交点,

1 . 9 12k 3 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 12k 4 ?4? ? ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? k ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 6k 2 ,? ), ∴ A, B 中点坐标为 E ( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
2 2 ∴ ? ? 144k ? 12(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ?
2

∵ PA ? PB ,∴ PE ? AB , kPE ? k AB ? ?1 ,

2 ?1 2 ∴ 1 ? 3k ? k ? ?1,解得 k ? ?1 ,经检验,符合题意, 6k 1 ? 3k 2 ?
∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

归纳反思
1.求解离心率 e 时,关键是寻求 a, b, c 的一个齐次式. 2.求解与椭圆几何性质相关问题时,要结合图形进行分析. 3.求解与椭圆有关的最值时,要注意椭圆的范围.


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