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浙江省湖州市菱湖中学2015届高三9月月考数学(理)试题


1.抛物线 x 2 ? ?8 y 的准线方程为 A.x= 2 A.x-2y-1=0
2 2

( C.y=2 C.2x+y-2=0 D.y= ? 2 ( D.x+2y-1=0 ( )

)

B.x= ? 2 B.x-2y+1=0
2 2

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2

=0 平行的直线方程是 3.方程 x +y +2ax+2by+a +b =0 表示的图形是 A.以(a,b)为圆心的圆 C.点(a,b) B.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b)



4.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为 ( A.



1 2

B.1

C.2

D.4 ( )

5.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0或x ? y ? 1 ? 0 ( A. C. ) B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0或3x ? 2 y ? 0

6 .若椭圆两焦点为 F1( - 4 ,0) 、 F2(4,0) , P 在椭圆上,且△PF1F2 的最大面积是 12 ,则椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 36 20 x2 y 2 ? ?1 25 9

B. D.

x2 y 2 ? ?1 28 12 x2 y 2 ? ?1 20 4

9.曲线 y ? 1 ?

4 ? x 2 ( x ? [-2,2])与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 两个公共点时,实数 k 的取值范围是
( )

A. (0,

5 ) 12

B. ( , )

1 3 3 4

C. (

5 , ?? ) 12

D. (

5 3 , ] 12 4

10.离心率为黄金比

x2 y 2 5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆”.设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 是优美椭圆,F、A 分别是它 a b 2 的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个顶点,则 ?FBA 等于( )
A. 120 B. 90 C. 75 D. 60

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分)
11.设 a ? (2,6, ?3) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为 12.一个几何体的三视图如图所示(右下图),则这个几何体 的全面积为 13.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1、F2 是该椭圆的 4 3

两个焦点, 若△PF1F2 的内切圆半径为

1 ,则 2

PF1 ? PF2 的值为
y2 x2 14.若双曲线 2 - 2 =1 的渐近线与方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的圆相切,则此双曲线的 a b
离心率为 大小是_____ ___. 16.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线准线的交点
BC =48, 为 B, 点 A 在抛物线准线上的射影为 C, 若 AF = FB ,BA · 则抛物线的方程为______________



15.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的

19. (本题满分 14 分)
? 如图, 在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? DC ? CB ? 2 , ?CAB ? 30 ,

四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 3 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)设点 M 为 EF 中点,求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.

F M E

D

C

A

B

20.(本小题满分 14 分) 已知过点 A(0,1) , 且斜率为 k 的直线 l ,与圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1相交于 M、N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 .
[来源:学科网]

21. (本小题满分 15 分 ) 如图,已 知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为

CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

B

E

A

C

F

D

22. (本小题满分 15 分)

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 O 为坐标原点,圆 O 是以 F1,F 为 2 直径的圆,一条直线 l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切并与椭圆交于不同的两点 A,B.
已知点 F1,F2 为椭圆

(1)设 b ? f (k ), 求f (k ) 的表达式; (2)若 OA ? OB ?

2 , 求直线 l 的方程; 3

(3)若 OA ? OB ? m, (

2 3 ? m ? ) ,求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4

菱湖中学 2014 学年第一学期高三数学 9 月月考试卷(理科)参考答案
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) C A D C D C B A D B 二、填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
2 6 11、 ( , , 7 7 3 2 6 3 ) 或( , , ) 7 7 7 7
[来源:Zxxk.Com]

12、 12 π

13、 5 17、 ①③④

14、 2

15、 900

16、 y 2 = 4x

三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分)

1 9.(本 小题满分 14 分) (1) 证明: AD ? DC ? CB ? 2, ?ABC ? 60? 则 AB ? 4 , AC 2 ? 12 ,则得 AB2 ? AC 2 ? BC 2
? BC ? AC ,? 面 ACEF ? 平面 ABCD ,

面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC
? BC ? 平面 ACEF .

(7 分)

(II)过 C 作 CH ? AM 交 AM 于点 H ,连 BH ,

则 ?CHB 为二面角 B ? AM ? C 的平面角,在 RT ?BHC 中, CH ? 3, HB ? 13 ,
cos?CHB ? 3 13 3 13 ,则二面角 B ? AM ? C 的余弦值为 . 13 13

(14 分)

20.(本小题满分 14 分) 解:解 (1)?直线l的方程为y ? kx ? 1 由

2k ? 3 ? 1
2

k ?1 ? AM ? AN ? AM AN cos 0? ? AT 2 ? 7 ? AM ? AN为定值. (2)
(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 (1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2

? 1, 得

4? 7 4 ? ?k? 3 3

7 .

(4 分)

(8 分)

(10 分) 4k(1+k ) 4k(1+k ) ? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 8 ? 12 ? ? 4, 解得k ? 1 2 1? k 1? k 2 (14 分) 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 . 21. (本小题满分 15 分) 解析 方法一: (1)证法一:取 CE 的中点 G,连接 FG、BG. 1 ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF=2DE, ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB=2DE,∴GF=A B.又 DE=2AB,[来源:Z_xx_k.Com] ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF? 平面 BCE,B G? 平面 BCE, ∴ AF∥ 平面 BCE. (5 分) 证法二:取 DE 的中点 M,连接 AM、FM, ∵ F 为 CD 的中点,∴ FM∥ C E. ∵ AB⊥ 平面 ACD,DE⊥ 平面 ACD,∴ DE∥ AB. 1 又 AB=2DE=ME, ∴ 四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM∥ BE. ∵ FM、AM? 平面 BCE,CE、BE? 平面 BCE, ∴ FM∥ 平面 BCE,AM∥ 平面 BCE.[来源:学科网] 又 FM∩AM=M,∴ 平面 AFM∥ 平面 BCE. ∵ AF? 平面 AFM,
[来源:Zxxk.Com]

∴ AF∥ 平面 BCE.

(5 分)

(2)证明:∵ △ ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴ AF⊥ CD. ∵ DE⊥ 平面 ACD,AF? 平面 ACD,∴ DE⊥ AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥ 平面 CDE. ∵ BG∥ AF,∴ BG⊥ 平面 CDE. ∵ BG? 平面 BCE, ∴ 平面 BCE⊥ 平面 CDE.
[来源:学。科。网]

(10 分)

(3)在平面 CDE 内,过 F 作 FH⊥ CE 于 H,连接 BH, ∵ 平面 BCE⊥ 平面 CDE,∴ FH⊥ 平面 BCE. ∴ ∠ FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角 . 2 设 AD=DE=2AB=2a,则 FH=CFsin45° = 2 a, BF= AB2+AF2= a2+ 3a2=2a, FH 2 在 Rt△ FHB 中,sin∠ FBH= BF = 4 . 2 ∴ 直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 . (15 分)

方法二: 设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a), D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a).

?3 ? 3 ∵ F 为 CD 的中点,∴ F? a, a,0?. 2 ?2 ? ? → 3 3 → =? → =(2a,0,-a), ? a, a,0?,BE (1)证明:AF =(a, 3a,a),BC 2 2 ? ? 1 → = (BE → +BC → ),AF? 平面 BCE,∴ ∵ AF AF∥ 平面 BCE. (5 分) 2 ? → 3 3 → =? → =(0 ,0,-2a), ? a, a,0?,CD (2)证明:∵ AF =(-a, 3a,0),ED 2 ?2 ? →· → =0,AF →· → =0,∴ →⊥ → ,AF →⊥ →. ∴ AF CD ED AF CD ED →⊥ ∴ AF 平面 CDE,又 AF∥ 平面 BCE,[来源:学科网] ∴ 平面 BCE⊥ 平面 CDE. (10 分)

→ =0,n· → =0 可得 (3)设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z),由 n· BE BC x+ 3y+z=0,2x-z=0,取 n=(1,- 3,2). ? 3 3 → =? ? a, a,-a?,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ,则[来源:学|科|网] 又BF 2 ?2 ? → |BF· n| 2a 2 sinθ= → = =4. 2 2 |BF|· |n| 2a· 2 ∴ 直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 4 . (15 分)
[来源:学科网]

22. (本小题满分 15 分) 解: c ? 1 且直线 l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切 b ? ?1 1? k 2 (4 分) ? b ? 0,? b ? 1 ? k 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), ? y ? kx ? b ? 则由 ? x 2 ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0 (6 分) 2 ? ? y ?1 ?2 4kb 2b 2 ? 2 , x1 x 2 ? 又 ? ? 8k 2 ? 0(Qk ? 0), x1 ? x2 ? ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 k 2 ?1 . 则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 2 (8 分) 2k ? 1 2 由 OA ? OB ? ,? k 2 ? 1, b 2 ? 2. 3 b ? 0,? b ? 2 , (10 分) ? l : y ? x ? 2 , y ? ? x ? 2. (3)由(2) 知:
k 2 ?1 2 3 ? m.Q ? m ? , 2 3 4 2k ? 1 2 2 k ?1 3 1 ? ? 2 ? ,? ? k 2 ? 1, 3 2k ? 1 4 2 由弦长公式得

(12 分)

2k 2 (k 2 ? 1) 2 k2 1 | AB |? k ? 1 ? 2 , 所以S ? | AB |? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 6 2 ?S? . 解得? 4 3
2

(15 分)


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