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2015高考理科数学《三角函数的图象与性质》练习题


2015 高考理科数学《三角函数的图象与性质》练习题 [A 组 一、选择题 1.函数 y=|2sin x|的最小正周期为( A.π B.2π C. π 2 ) D. π 4 基础演练·能力提升]

解析:由图象知 T=π . 答案:A 2. 已知 f(x)=cos 2x-1, g(x)=f(x+m)+n, 则使 g(x)为奇函数的实数 m, n 的可能取值为(

π A.m= ,n=-1 2 π C.m=- ,n=-1 4 B.m= π ,n=1 2 π ,n=1 4 π +kπ , 2 )

D.m=-

解析: 因为 g(x)=f(x+m)+n=cos(2x+2m)-1+n, 若使 g(x)为奇函数, 则需满足 2m=

k∈Z,且-1+n=0,对比选项可选 D.
答案:D 1? ? 3.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为?-1, ?,则 b-a 的值不可能是( 2? ? A. π 3 2π B. 3 C.π D. 4π 3 )

?2π 4π ? , ?. 解析:画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的取值范围为? 3 ? ? 3

答案:A 4.已知函数 f(x)=sin π x 的部分图象如图 1 所示,则图 2 所示的函数的部分图象对应的函数 解析式可以是( )

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1? ? A.y=f?2x- ? 2? ? C.y=f(2x-1)

?x 1? B.y=f? - ? ?2 2? ?x ? D.y=f? -1? ?2 ?

1 解析:图 2 相对于图 1:函数的周期减半,即 f(x)→f(2x),且函数图象向右平移 个单位,得到 2

y=f(2x-1)的图象.故选 C.
答案:C ?a1 5.定义行列式运算:? ?a3 ? 3 ?=a1a4-a2a3,将函数 f(x)=? a4? ?1

a2?

cos x ? ?的图象向左平移 m 个单 sin x? )

位 (m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值为( A. π 8 π B. 3 5 C. π 6 D. 2π 3

π? π? ? ? 解析:∵f(x)= 3sin x-cos x=2sin?x- ?,向左平移 m 个单位得 y=2s in?x+m- ?,为 6? 6? ? ? 偶函数, π π 2 ∴m- =kπ + (k∈Z),m=kπ + π ,k∈Z, 6 2 3 2 ∴mmin= π (m>0). 3 答案:D ?π ? 6.已知 f(x)=sin x,x∈R,g(x)的图象与 f(x)的图象关于点? ,0?对称,则在区间[0,2π ] ?4 ? 上满足 f(x)≤g(x)的 x 的取值范围是( ?π 3π ? A.? , ? 4 ? ?4 ?π 3π ? C.? , ? 2 ? ?2 ) ?3π 7π ? , ? B.? 4 ? ? 4 ?3π 3π ? , ? D.? 2 ? ? 4
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?π ? ?π ? 解析:设(x,y)为 g(x)的图象上任意一点,则其关于点? ,0?对称的点为? -x,-y?,由题 ?4 ? ?2 ? ?π ? ?π ? 意知该点必在 f(x)的图象上,∴-y=sin? -x?,即 g(x)=-sin? -x?=-cos x,依题意得 sin 2 2 ? ? ? ?

x≤-cos x?sin x+cos x= 2sin?x+ ?≤0,又 x∈[0,2π ],解得
答案:B 二、填空题

? ?

π? 4?

3π 7π ≤x≤ . 4 4

7.若函数 f(x)=sin( 2x+φ )(φ ∈[0,π ])是偶函数,则 φ =________. 解析:∵f(x)=sin(2x+φ )是偶函数,∴φ =kπ + φ= π . 2 答案: π 2 π ,k∈Z,∵φ ∈[0,π ],∴取 k=0 时, 2

π? ? 8.(2014 年潍坊质检)函数 f(x)=sin?2x- ?-2 2sin2 x 的最小正周期是________. 4? ? π? 2 2 1-cos 2x 2 2 ? 解析: f(x)=sin?2x- ?-2 2sin2x= sin 2x- cos 2x-2 2× = sin 2x+ 4 2 2 2 2 2 ? ? π? 2π ? cos 2x- 2=sin?2x+ ?- 2,故该函数的最小正周期为 =π . 4 2 ? ? 答案:π π? ? 9.函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,那么 ω 4? ? 等于________. π? ? 解析:因为 f(x)=2sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,所以 4? ? 2sin π π π 4 ω = 3,且 0< ω < ,因此 ω = . 4 4 2 3 答案: 4 3

三、解答题 ?π ? 10.已知函数 y=sin? -2x?,求: ?3 ?
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(1)函数的周期; (2)求函数在[-π ,0]上的单调递减区间. π? ?π ? ? 解析:由 y=sin? -2x?可化为 y=-sin?2x- ?. 3? ?3 ? ? (1)周期 T= 2π 2π = =π . ω 2 π π π ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2

(2)令 2kπ -

π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π ?π ? ? 所以 x∈R 时,y=sin? -2x?的减区间为?kπ - , 12 ?3 ? ?

kπ +

5π ? ?,k∈Z 12 ?

7π ? ? π ?π ? ? ? 从而 x∈[-π ,0]时,y=sin? -2x?的减区间为?-π ,- ?,?- ,0?. 3 12 12 ? ? ? ? ? ? 9π ? ?π 11.已知函数 f(x)=2sin2? x+ ?. 4 ? ?4 (1)求 函数 f(x)的最小正周期; (2)计算 f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值. 9π ? ?π 解析:(1)∵f(x)=2sin2? x+ ?, 4 ? ?4 π? π? π ?π ?π ∴f(x)=2sin2? x+ ?=1-cos? x+ ?=1+sin x. 4? 2? 2 ?4 ?2 ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 2π =4. π 2

(2)∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 由(1)知,函数 f(x)的最小正周期为 4 ,且 2 013=4×503+1,∴f(1)+f(2)+…+f(2 013) =4×503+f(1)=2 012+2=2 014. 12.(能力提升)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x = π . 8
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(1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间. 解析:(1)∵x= π 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8

π π π ? ? ∴sin?2× +φ ?=±1.∴ +φ =kπ + ,k∈Z. 8 4 2 ? ? ∴φ =kπ + π ,k∈Z. 4 3π . 4

又∵-π <φ <0,∴φ =-

3π ? ? (2)由(1)知 y=sin?2x- ?, 4 ? ? 由题意得 2kπ - π 3π π ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z , 2 4 2

π 5π ∴kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π ? ? ∴函数 y=sin?2x- ?的单调递增区间为 4 ? ? π 5π ? ? ?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 8 8 ? ? [B 组 因材施教·备选练习] )

1.(2014 年北京海淀模拟)已知函数 f(x)=cos2x+sin x,那么下列命题中是假命题的是( A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 B.f(x)在[-π ,0]上恰有一个零点 C.f(x)是周期函数 ?π 5 ? D.f(x)在? , π ?上是增函数 ?2 6 ? ?π ? ? π? 解析:∵f? ?=1,f?- ?=-1,即 f(-x)≠f(x), ?2? ? 2?

∴f (x)不是偶函数.∵x∈R,f(0)=1≠0,∴f(x)不是奇函数,故 A 为真命题;令 f(x)=cos2x +sin x=1-sin2x+sin x=0,则 sin2x-sin x-1=0,解得 sin x= 1± 5 ,当 x∈[-π ,0]时, 2

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sin x=

1- 5 ,由正弦函数图象可知函 数 f(x)在[-π ,0]上有两个零点,故 B 为假命题;∵f(x) 2

=f(x+2π ),∴T=2π ,故函数 f(x)为周期函数,C 为真命题;∵f′(x)=2cos x·(-sin x)+cos

x=cos x·(1-2sin x), 当 x∈? ,

?π ?2

5π ? 1 ?时, cos x<0, <sin x<1, ∴ f′(x)=cos x·(1-2sin x)>0, 6 ? 2

?π 5 ? ∴f(x)在? , π ?上是增函数,D 为真命题.故选 B. ?2 6 ? 答案:B π? ? 2.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同, 6? ? π? ? 若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 2? ? π? π? π π 5π 1 ? ? 解析: 根据题意得 ω =2, 因为 x∈?0, ?, 所以- ≤2x- ≤ , 故- ≤sin?2x- ?≤1, 2? 6? 6 6 6 2 ? ? ? 3 ? 所以函数 f(x)的取值范围是?- ,3?. ? 2 ? ? 3 ? 答案:?- ,3? ? 2 ? π? π? ωx ? ? 3.已知函数 f(x)= sin?ω x+ ? +sin ?ω x- ? - 2cos2 (x∈ R ,ω >0) ,则 f(x) 的值域为 6? 6? 2 ? ? ________. π? π? ωx π ωx ? ? 解析:f(x)=sin?ω x+ ?+sin?ω x- ?-2cos2 =2sin ω xcos -2cos2 = 3sin ω x 6? 6? 2 6 2 ? ? π? π? ? ? -cos ω x-1 =2sin?ω x- ?-1,又 sin?ω x- ?∈[-1,1], 6? 6? ? ? ∴f(x)的值域为[-3,1]. 答案:[-3,1]

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