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2015年罗马尼亚大师赛第一天试题


2015 年罗马尼亚大师赛
? 1、是否存在无穷正整数数列 ?an ? ,使得当且仅当 m ? n ? 1 时, ( am , an ) ? 1 ?? ? ? 2、给定一个正 n 边形( n ? 5 ) ,开始时有三个相邻的顶点上各有一枚棋子,甲乙两人轮流 操作如下:每次可以选取一枚棋子,将这枚棋子沿着正 n 边形的边走到另外一个没有棋子的 顶点,其间不能越过其它棋子,

并且使得三枚棋子构成的三角形面积变大。第一个无法操作 的人为失败者。请问对于哪些正整数 n ,先手必胜?? ? ? 3 、开始时黑板上有有限个有理数,每次操作可以任选其中两个数 a, b ,将它们替代为

a b? ? ?a ? b, a ? b, b ? a, ab, , ? 中的一个数。求证:对于任意正整数 n ? 100 ,只有有限个非 b a? ?
负整数 k ,使得从 k ? 1, k ? 2,..., k ? n 这 n 个数开始,经过 n ? 1 次操作后得到 n ! 。? ? ?


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