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江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学上学期第三次考试试题 理


南昌二中 2015—2016 学年度上学期第三次考试 高二数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? 1.参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程为( ) 2 ? ? y ? sin ? A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1) 2 2. 设命题 p: ?x ? 0 ,都有 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 ? p 为( )
A. ?x ? 0, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0
2
2

B. ?x ? 0, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0
2
2

C. ?x ? 0, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0 3. 若动点 P ( x, y ) 在

D. ?x ? 0, 使得 x ? 3x ? 2 ? 0

x2 y2 ? ? 1 曲线上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为( ) 4 9 25 27 A. B. C.6 D.8 4 4 2 4. 化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( ) 2 2 2 2 A. x ? y ? 0或y ? 1 B. x ? 1 C. x ? y ? 0或x ? 1 D. y ? 1
5. 给出下列四个命题:
2 ①若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ;

②“ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的必要条件; ③命题“若 m ? 0 , 则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为: “若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没有实数根, 则 m ? 0”; ④已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假. 其中正确命题的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [来源:学科网] 6. 若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则( ) A. “ x ? C ”是“ x ? A ”的充分不必要条件 B.“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要不充分条件 C.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D.“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分也不是必要条件 7. 在极坐标系中,设圆 C: ? ? 4cos ? 与直线 l : ? ? 标方程为( )

?

4

( ? ? R) 交于 A,B 两点,求以 AB 为直径的圆的极坐

A. ? ? 2 2 sin(? ? C. ? ? 2 2cos(? ? 8. 已知椭圆

?

?

4

)

B. ? ? 2 2 sin(? ? D. ? ? 2 2 cos(? ?

?

4

)

?
4

4

)

)

x2 y 2 ? ? 1(0 ? m ? 9) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 9 m A, B 两点,若 AF2 ? BF2 的最大值为 10,则 m 的值为 ( )

A.3 B.2 C.1 D. 3 9.已知命题 p : ?? ? R ,使 f (x) ? sin(x ? ? ) 为偶函数;命题 q : ?x ? R,cos 2 x ? 4sin x ? 3 ? 0 ,则下列命 题中为真命题的是 ( )[来源:学科网Z-XK] A. p ? q B. (?p) ? q C. p ? (?q) D. (?p) ? (?q)
1

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a, b , a ? b ? 1, a ? b ? 0 ,点 Q 满足

? ? ?

?

? ?

? ? ? ? ???? ? ? C? | P ? O ? c P o . 曲 线 OQ ? 2(a ? b) ??? ? ? ? P | 0 ? r ? PQ ? R, r ? R .若 C ? ? 为两段分离的曲线,则(

?

?

?

? ? s a?
)

s? b? i, ?

?

n ?? 区

,域 0

A. 1 ? r ? R ? 3 B. 1 ? r ? 3 ? R C. r ? 1 ? R ? 3 D. 1 ? r ? 3 ? R 11. 设 S 是由任意 n ? 5 个人组成的集合,如果 S 中任意 4 个人当中都至少有 1 个人认识 其余 3 个人,那么,下面的判断中正确的是 ( ) A. S 中没有人认识 S 中所有的人 B. S 中至多有 2 人认识 S 中所有的人 C. S 中至多有 2 人不认识 S 中所有的人 D. S 中至少有 1 人认识 S 中的所有人 12.

x2 y 2 y2 2 ? 1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线 已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 C2:x ? 4 a b
)
2

与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A. a

= 13

B. a

2



13 2

C. b

2

=2

D. b

2



1 2

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

3 <1 ”的充分不必要条件,则 k 的取值范围是________. x ?1 14.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) ,则 b 的值为 .
13.已知“ x ? k ”是“ 15. 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△ OAB 5 4

的面积为_______. 16. 给出下列命题:①设抛物线 y 2 ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q ,若过点 Q 的直线 l 与
2

抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 ?? 1,1? ;② A,B 是抛物 y ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且

OA ? OB ,则 A、B 两点的横坐标之积
③斜率为 1 的直线 l 与椭圆

p2 4



4 10 x2 ? y 2 ? 1相交于 A、B 两点,则 AB 的最大值为 . 把你认为正确 5 4

的命题的序号填在横线上_________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 。 17. (本小题满分 10 分) 的解为条件 (1)若 (2)若 是 是 ,关于 的不等式 的取值范围. 的取值范围. 的解为条件 .

的充分不必要条件时,求实数 的充分不必要条件时,求实数

18.(本小题满分 12 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 1 ? 0 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建
2

2

立平面直角坐标系,直线 l 经过点 P(?1,1) 且倾斜角为 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程;

2 ?. 3

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

f ?(1) ? g (? 1) ? 2 . (1)求 a、 b 的值; (2)求函数 h( x) 的图像在点 (1, ?4) 处的切线方程.

1 2 2 ax ? 3ln x, g ( x) ? ?bx , 其中 a, b ? R . 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 若 f ?( ) ? 0 ,且 2 2

[来源:学科网]

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 l : y ? ? x ? b 交于不同的两点 P, Q ,原点到该直线的距 a b 3 3 6 离为 ,且椭圆的离心率为 . 2 3
(1)求椭圆的方程; (2)是否存在实数 k 使直线

y ? kx ? 2 交椭圆于 P、Q 两点, 以 PQ 为直径的圆过点 D(1,0) ?若存在,

求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

? x ? 1 ? 3t , ? x ? 2cos ? , ? ( t 为参数 ) 已知直线 l : ? , 曲线 C : (? 为参数) . ? 1 3 t ? y ? sin ? ?y ? ? 2 (1)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ;[来源:学+科网ZXK]
(2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 ,纵坐标压缩为原来的 得到曲线 2 2
3

C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最大值.

22.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 过点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点.椭圆 E 的 F (0,1) ,

中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且其离心率 e ?

3 . 2

(1)分别求抛物线 C 和椭圆 E 的方程; (2)经过 A, B 两点分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 ,切线 l1 与 l2 相交于点 M .证明: AB ? MF ; (3)椭圆 E 上是否存在一点 M ,经过点 M 作抛物线 C 的两条切线 M A , M / B/ ( A/、B/ 为切点),使 得直线 A B 过点 F ?若存在,求出点 M 及两切线方程,若不存在,试说明理由.
/ / / / / / /

南昌二中 2015—2016 学年度上学期第三次考试 高二数学试卷参考答案 一、选择题:1--5 CDACC 二、填空题: 三、解答题 17. (1)设条件 的解集为集合 A,则 是 的真子集 6--10 BAACA 14.3 11-12 DD 15.

13. [2,+∞)

5 3

16. ①③

设条件 的解集为集合 B,则 若 是 的充分不必要条件,则

(2)若



的充分不必要条件, 则



的真子集

4

1 x=-1- t, ? 2 ? 2 18.(1)因为直线 l 经过点 P(-1,1),倾斜角为 π ,则直线 l 的参数方程为:? (t 为参数). 3 3 ? ?y=1+ 2 t 由于曲线 C 的极坐标方程为:ρ -2ρ cos θ +4ρ sin θ +1=0,所以普通方程为 x +y -2x+4y+1=0, 2 2 即(x-1) +(y+2) =4. 2 1 3 ?2 ? ? ? 2 由于 ?-1- t-1? + ?1+ t+2? = 4?t + (2 + 3 3)t + 9 = 0. 所以 t1 + t2 =- (2 + 3 3) , t1t2 = 9. 所以 2 ? ? ? 2 ? |PA|·|PB|=|t1t2|=9. 19. (1)因为 f ( x) ? ax ?
/
2 2 2

3 2 ' ,所以 f / (1) ? a ? 3 .由 f ' (1) ? g (?1) ? 2 可得 b ? a ? 5 又 f ( ) ? 0 ,所 x 2

以f (

/

2 2 )? a ? 3 2 ? 0 ,所以 a ? ?6, b ? ?1.[来源:学科网Z-XK] 2 2
/

(2) h( x) ? ?3x2 ? 3ln x ? x 点 (1, ?4) 为切点,故 h ( x) ? ?6 x ? 为 y ? ?4 x . 20. ①由点到直线的距离得 d=

3 ? 1 ,斜率 k ? h/ (1) ? ?4 ,故切线方程 x

3 |b| ? 解得: b ? 1 2 1 1? 3

[来源:学科网]

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆方程是 3

x2 ? y2 ? 1 ②将 y ? kx ? 2 代入 3
则 PD⊥QD,即 ( x1
2

得 (3k

2

? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 。

??①

设 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,以 PQ 为直径的圆过 D(1,0)

? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0
, x1



y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx2 ? 2



(k ? 1) x1 x2 ? (2k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
又 x1 x 2

?

9 3k ? 1
2

? x2 ? ?

代入上式得 ∴k

12k ? 14 ? 0 即 12k=-14 3k ? 1

12 k 3k 2 ? 1
7 满足题意。 6

??

7 ,此方程中,△>0 6
35 . 2

∴存在 k

??

21.(1) AB ?

? x ' ? cos ? , 3 ? (? 为参数) ,故点 P 的坐标是 (cos ? , sin ? ) , (2)C2 的参数方程 C2 : ? 3 ' 2 sin ? ?y ? ? 2 1 1 ? 从而点 P 到直线 l 的距离是 d ? 3 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin(? ? ) ? 1 6 5 5
由此当 sin(? ?

?
6

) ? 1 时,d 取得最大值 d max ?
2

3 5 5
2

22.由已知抛物线 C:x =2py (p>0)的焦点为 F(0,1)可得抛物线 C 的方程为 x =4y,
5

b=1, ? ? x y c 3 设椭圆 E 的方程为 + =1 (a>b>0),半焦距为 c.由已知可得:? = , a b a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2 2 2 2 2

解得 a=2,b=1.所以椭圆 E 的方程为 +y =1. 4 (2)证明:显然直线 l 的斜率存在,否则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,不合题意,故可设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2) (x1≠x2), ?y=kx+1, ? 2 由? 2 消去 y 并整理得 x -4kx-4=0,∴x1x2=-4. ?x =4y, ? 1 2 1 ∵抛物线 C 的方程为 y= x ,求导得 y′= x, 4 2 1 1 1 1 2 1 ∴过抛物线 C 上 A、B 两点的切线方程分别是 y-y1= x1(x-x1),y-y2= x2(x-x2),即 y= x1x- x1,y= 2 2 2 4 2 1 2 x2x- x2, 4 ?x1+x2,x1x2?,即 M?x1+x2,-1?, 解得两条切线 l1,l2 的交点 M 的坐标为? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? ? ? x + x 1 1 1 2 1 → → ? 2? ? 2 2 ,-2? FM·AB=? ?·(x2-x1,y2-y1)=2(x2 2-x1)-2? x2- x1?=0,∴AB⊥MF. 4 ? ? 2 ? ?4 (3)假设存在点 M′满足题意, 由(2)知点 M′必在直线 y=-1 上, 又直线 y=-1 与椭圆 E 有唯一交点, 故 M′ 1 的坐标为 M′(0,-1),设过点 M′且与抛物线 C 相切的切线方程为 y-y0= x0(x-x0),其中点(x0,y0)为切 2 点. 1 2 1 令 x=0,y=-1,得-1- x0= x0(0-x0),解得 x0=2 或 x0=-2, 4 2 故不妨取 A′(-2,1),B′(2,1),即直线 A′B′过点 F. 综上所述,椭圆 E 上存在一点 M′(0,-1),经过点 M′作抛物线 C 的两条切线 M′A′、M′B′(A′、B′为 切点),能使直线 A′B′过点 F. 此时,两切线的方程分别为 y=-x-1 和 y=x-1.

x2

2

6



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