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2015广州二模(数学理)试题及答案


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试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”

处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字 笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答. 漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

参考公式:球的表面积公式 S = 4πR ,其中 R 是球的半径.
2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x = 2 ,则 x ? 3 x + 2 = 0 ”的逆否命题是
2

A.若 x ≠ 2 ,则 x ? 3 x + 2 ≠ 0
2

B.若 x ? 3 x + 2 = 0 ,则 x = 2
2

C.若 x ? 3 x + 2 ≠ 0 ,则 x ≠ 2
2

D.若 x ≠ 2 ,则 x ? 3 x + 2 = 0
2

2.已知 a > b > 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A . sin a > sin b B . log 2 a < log 2 b C . a <b
1 2 1 2

?1? ?1? D. ? ? < ? ? ?3? ?3?

a

b

?? x , ? 4 3.已知函数 f ( x ) = ?? 1? ?? x ? ? , x? ??

x ≥ 0, x < 0,

则f ? ? f ( 2 )? ?=

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A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4 y 3 5

= y A sin (ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0, 0 < ? < π ) 的图象的一部分如图 1 所示, 4.函数
则此函数的解析式为

π? ?π A. y 3sin ? x + ? = 4? ?4 π? ?π C. y 3sin ? x + ? = 4? ?2
2

3π ? ?π B. y 3sin ? x + = ? 4 ? ?4 3π ? ?π D. y 3sin ? x + = ? 4 ? ?2

O 1 -3 图1

x

? x + 2 x + 3 ,若在区间 [ ?4, 4] 上任取一个实数 x0 ,则使 f ( x0 ) ≥ 0 5.已知函数 f ( x ) =
成立的概率为

1 2 C. D. 1 2 3 6.如图 2,圆锥的底面直径 AB = 2 ,母线长 VA = 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC = 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A. B. A. 13 B. 7

4 25

V C

C.

4 3 3

D.

3 3 2

A 图2

B

3 ,则称直 7.已知两定点 A ( ?1, 0 ) , B (1, 0 ) ,若直线 l 上存在点 M ,使得 MA + MB =
线l 为 “ M 型直线” . 给出下列直线: ①x = 2; ② y= x + 3 ; ③y= ④ y = 1; ?2 x ? 1 ; ⑤= y 2 x + 3 .其中是“ M 型直线”的条数为 A.1 B.2 C.3

= a 8.设 P ( x, y ) 是函数 y = f ( x ) 的图象上一点,向量
且 a / / b .数列 {an }

= b (1, ( x ? 2) ) ,
5

D.4

(1, y ? 2 x ) ,

是公差不为 0 的等差数列,且 f ( a1 ) + f ( a2 ) + ??? + f ( a9 ) = 36 ,则 a1 + a2 + ??? + a9 = A.0 B.9 C.18 D.36

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

1? i ,则 z = 1+ i 10.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是
9.已知 i 为虚数单位,复数 z = 开始

. . 是

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否

x=y

y=z

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图3

输出 z

结束

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11.已知 = f ( x ) sin ? x +

? ?

3? π? π? π? ? ? ,若 cos α = ? 0 < α < ? ,则 f ? α + ? = 5? 6? 2? 12 ? ?



12.5 名志愿者中安排 4 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 2 人,则不同 的安排方案共有_________种(用数字作答) . 13.在边长为 1 的正方形 ABCD 中,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1 , a2 , 以 C 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 c1 , 若 m 为 ( ai + a j ) ? ( cs + ct ) a3 ; c2 , c3 . 的最小值,其中 {i, j} ? {1, 2,3} , {s, t} ? {1, 2,3} ,则 m = (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4,在平行四边形 ABCD 中, AB = 4 ,点 E 为边 DC 的中点, D G 图4 B C . F

AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ∠BAD ,作 DG ⊥ AE ,
垂足为 G ,若 DG = 1 ,则 AF 的长为 15. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? . A

? x= 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? y = 1 ? 2t

? x = 4t , ( t 为参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 ? 2 ? y = 2t

个.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c = 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识, 举办了一次 “环保知识知多少” 的问卷调查活动 (一人答一份) . 现 从回收的年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如下面的图表所示. 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 答对全卷的人数 的人数 占本组的概率 28 b 27 0.9 5 0.5 a 0.4 频率/组距 0.035 c 0.025 0.010 0
20 30 40 50 60

年龄

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(1)分别求出 a , b , c , n 的值; (2)从第 3,4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,在所抽取的 6 人中随机 抽取 2 人授予“环保之星” ,记 X 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的 分布列与数学期望. 18. (本小题满分14分) D1 E1 如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 的侧棱 F 1 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 是棱 AB , AA1 上的点,且 AM = AN = 1. (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1 D 所成角的正弦值. A1 E F N B1 D C M 图5 B C1

A

19. (本小题满分14分) 已知点 Pn ( an , bn ) n ∈ N * 在直线 l : = y 3 x + 1 上, P 1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列

(

)

{an } 是公差为1的等差数列.
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求证:

1 P 1P 2
2

+

1 P 1P 3
2

+3 +

1 P 1P n +1
2

<

1 . 6

20. (本小题满分14分) 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ( 0, 0 ) 和 ( ?1,1) ,圆 D 的方程为 ( x ? 4 ) + y = 4.
2 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值 范围.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f= ( x ) a ln x ?

x ?1 g x = ex , ( ) (其中 e 为自然对数的底数) . x +1

(1)若函数 f ( x ) 在区间 ( 0,1) 内是增函数,求实数 a 的取值范围;

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(2)当 b > 0 时,函数 g ( x ) 的图象 C 上有两点 P b, eb ,Q ?b, e ? b ,过点 P ,Q 作 图象 C 的切线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ( x0 , y0 ) ,证明 x0 > 0 .

(

)

(

)

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案 不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 5 6 B 7 C 8 C

A B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 1 10 32 11 12 30 13 14 15

7 2 10

?5

4 3

1

16. (本小题满分12分) 解: (1)因为 a : b : c = 7 : 5 : 3 , 所 以 可



a = 7k



b = 5k



c = 3k ( k > 0 ) ,…………………………………………………………2 分
由余弦定理得,

b 2 + c 2 ? a 2 ( 5k ) + ( 3k ) ? ( 7 k ) …………………………………………… = cos A = 2 × 5k × 3k 2bc
2 2 2

……………3 分
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1 = ? .……………………………………………………………………………………………… 2
4分 (2)由(1)知, cos A = ?

1 , 2


因为 A 是△ ABC 的内角, 所

sin = A
6分

1 ? cos 2 A =

3 .……………………………………………………………………… 2

由(1)知 b = 5k , c = 3k , 因 为 △

ABC









45 3







1 bc sin A = 45 3 ,……………………………………………8 分 2
即 解

1 3 × 5k × 3k × = 45 3 , 2 2


k = 2 3 .…………………………………………………………………………………………
10 分 由 正 弦 定 理

a = 2R sin A





= 2R

7k 14 3 ,…………………………………………………11 分 = sin A 3 2
大 小 为

解得 R = 14 . 所 以 △ 外 接 圆 半 径 的 ABC 14 .…………………………………………………………………12 分 17. (本小题满分12分)

1, 解: (1)根据频率直方分布图,得 ( 0.010 + 0.025 + c + 0.035 ) × 10 =
解 得

…………………………………………………………………………………………… c = 0.03 . 1分 第 3 组 人 数 为

5 ÷ 0.5 = 10







n = 10 ÷ 0.1 = 100 .…………………………………………………2 分
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1









100 × 0.35 = 35







b = 28 ÷ 35 = 0.8 .……………………………………………3 分
第 4 组 人 数 为

100 × 0.25 = 25







a =25 × 0.4 =10 .……………………………………………4 分
(2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 = 1: 2 , 所 以 第 3 , 4 组 应 依 次 抽 取 2 人 , 4

人.…………………………………………………………………5 分 依 题 意

X









0



1



2.……………………………………………………………………………6 分

P( X = 0= )
……………7 分

2 C0 2 2C4 ,…………………………………………………………………… = 2 C6 5

P( X = 1= )
……………8 分

1 C1 8 2C4 ,………………………………………………………………… = 2 C6 15

P( X = 2= )
……………9 分

0 C2 1 2C4 ,………………………………………………………………… = 2 C6 15

所以 X 的分布列为:

X P


0

1

2

2 5

8 15

1 ………………………………………10 分 15


2 8 1 2 EX = 0 × + 1× + 2 × = . ……………………………………………………………… 5 15 15 3
12 分 18. (本小题满分14分) 第(1)问用几何法,第(2)问用向量法: (1)证明:连接 A1 B , B1 D1 , BD , A1 E1 , 在四边形 A1 B1 D1 E1 中, A1 E1 ? B1 D1 且 A1 E1 =B1 D1 , 在四边形 BB1 D1 D 中, BD ? B1 D1 且 BD =B1 D1 ,
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E1 F1 A1 E N

D1 C1 B1 D C

F

A

M

B

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所以 A1 E1 ? BD 且 A1 E1 =BD , 所以四边形 A1 BDE1 是平行四边形. 所以 A1 B ? E1 D .………………………………2分 在△ ABA1 中, AM = AA = 3, = AN = 1 , AB 1 所以 所

AM AN , = AB AA1


………………………………………………………………………………………… MN ? BA1 . 4分 所以 MN ? DE1 . 所 以

M



N



E1



D





共 D1 C1

面.………………………………………………………………………6分 (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 B 3 3,3, 0 , C ? F1 A1

z
E1

(

)

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ( 0,3, 0 ) , ? ?

B1 E D C

E1 ( 0, 0,3) , M 3 3,1, 0 ,…………………………8分
则 BC = ? ? ?

(

)

y

F

N

??? C

? ? 3 3 3 ? ???? , DE = , ,0? 1 ? ? 2 2 ?

( 0, ?3,3) ,

x

A

M

B

???? ? = DM

(3

3, ?2, 0 .………………………………………………………………………

)

……………10分 设 n = ( x, y, z ) 是平面 MNE1 D 的法向量,

???? ? ? ?n?DE1 = 0, 则 ? ???? ? ? ?n?DM = 0.
即?

0, ? ??3 y + 3 z = 0. ? ?3 3 x ? 2 y =

取 y = 3 3 ,则 x = 2 , z = 3 3 .

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n = 2,3 3,3 3

(

)







MNE1 D











量.………………………………………………12分 设直线 BC 与平面 MNE1 D 所成的角为 θ ,

??? C n?BC 则 sin θ = ??? C n ?BC

? 3 3? 3 2×? ? ? +3 3× +3 3×0 2 ? 2 ? = 2 2 2 ? 3 3 ? ? 3 ?2 2 2 2 + 3 3 + 3 3 × ?? ? +? ? +0 ? 2 ? ?2?

( ) ( )
与 平

174 . 116





线

BC



MNE1 D

















174 .………………………………………………14分 116
第(1) (2)问均用向量法: (1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ( 0,3, 0 ) , ? ?

z
E1 F1 A1 E F N D1 C1 B1 D C

(

)

E1 ( 0, 0,3) , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,……………2分
???? ? 所以 DE = 1 ???? ? = ( 0, ?3,3) , MN

(

)

(

)

( 0, ?1,1) .

………………3分

y

因为 DE1 = 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1 ? MN .…………………………………………5分 所 以

???? ?

???? ?

x
D

A


M 点 共

B

M



N



E1



面.………………………………………………………………………6分 ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 知

???? ? ??? C ? 3 3 3 ? , DE = BC = ? ? , , 0 ? 1 ? 2 2 ? ? ?

( 0, ?3,3)



???? ? = DM

(3

3, ?2, 0 .………………10分

)

(特别说明:由于给分板(1)6分(2)8分,相当于把(1)中建系与写点坐标只给2 分在此加2分)
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设 n = ( x, y, z ) 是平面 MNE1 D 的法向量,

???? ? ? ?n?DE1 = 0, 则 ? ???? ? DM n ? = 0. ? ?
即?

0, ? ??3 y + 3 z = 0. ? ?3 3 x ? 2 y =

取 y = 3 3 ,则 x = 2 , z = 3 3 . 所 以

n = 2,3 3,3 3

(

)







MNE1 D











量.………………………………………………12分 设直线 BC1 与平面 MNE1 D 所成的角为 θ ,

??? C n?BC 则 sin θ = ??? C n ?BC

? 3 3? 3 2×? ? ? +3 3× +3 3×0 2 ? 2 ? = 2 2 2 ? 3 3 ? ? 3 ?2 2 2 2 + 3 3 + 3 3 × ?? ? +? ? +0 ? 2 ? ?2?

( ) ( )
与 平

174 . 116





线

BC



MNE1 D

















174 .………………………………………………14分 116
第(1) (2)问均用几何法: (1)证明:连接 A1 B , B1 D1 , BD , A1 E1 , 在四边形 A1 B1 D1 E1 中, A1 E1 ? B1 D1 且 A1 E1 =B1 D1 , 在四边形 BB1 D1 D 中, BD ? B1 D1 且 BD =B1 D1 , 所以 A1 E1 ? BD 且 A1 E1 =BD , 所以四边形 A1 BDE1 是平行四边形. 所以 A1 B ? E1 D .………………………………2分 在△ ABA1 中, AM = AA = 3, = AN = 1 , AB 1 A1 E F 家长帮,帮家长——家长帮社区,专业升学交流平台 N B1 D C E1 F1 D1 C1

A

M

B

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所以 所

AM AN , = AB AA1


………………………………………………………………………………………… MN ? BA1 . 4分 所以 MN ? DE1 . 所 以

M



N



E1



D







面.………………………………………………………………………6分 (2)连接 AD ,因为 BC ? AD , 所 以 直 线 AD 与 平 面 MNE1 D 所 成 的 角 即 为 直 线 BC 与 平 面 MNE1 D 所 成 的 角.…………………7分 连接 DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1 D 所成的角为 θ , 则

sin θ =
……8分 因

h .……………………………………………………………………………………… AD


VA? DMN = VD ? AMN





1 1 × S DDMN × h = × S DAMN × DB .…………………………………………9分 3 3
在边长为3的正六边形 ABCDEF 中, DB = 3 3 , DA = 6 , 在△ ADM 中, DA = 6 , AM = 1 , ∠DAM = 60 ,
A

由余弦定理可得, DM = 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA = 6 , AN = 1 ,所以 DN = 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM = 1 , AN = 1 ,所以 MN = 在△ DMN 中, DM = 31 , DN = 37 , MN =

2.

2,
29 31

,所以 sin ∠DMN = . 由余弦定理可得, cos ∠DMN = ? 所 以

2 31

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1 58 . ………………………………………………… S DDMN = × MN × DM × sin ∠DMN = 2 2
11分 又

S ?AMN =

1 ,……………………………………………………………………………………… 2


……12分 所

= h
13分

S DAMN × DB 3 3 .………………………………………………………………………… = S DDMN 58

所以 sin = θ 故 直 线

h = AD
BC

174 . 116
与 平 面

MNE1 D

















174 .………………………………………………14分 116
19. (本小题满分14分) (1)解:因为 P y 3 x + 1 与 y 轴的交点 ( 0,1) , 1 ( a1 , b1 ) 是直线 l : = 所 以

a1 = 0



b1 = 1 .……………………………………………………………………………………2分
因为数列 {an } 是公差为1的等差数列, 所 以

an= n ? 1 .…………………………………………………………………………………………
…4分 因为点 Pn ( an , bn ) 在直线 l : = y 3 x + 1 上, 所以= bn 3an += 1 3n ? 2 . 所 以 数 列

{an }



{bn }

的 通 项 公 式 分 别 为

an= n ? 1 ,

b = 3n ? 2 ( n ∈ N* ) .………………………6分 n
(2)证明:因为 P n ( n ? 1,3n ? 2 ) ,所以 P n +1 ( n,3n + 1) . 1 ( 0,1) , P
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2 2



P =+ n 2 ( 3n ) = 10n 2 .………………………………………………………………… n +1 1P
……7分 所 以

1 P 1P 2
8分 因
2

+

1 P 1P 3
2

+3 +

1

P 1P n +1

= 2

1?1 1 1 ? …………………………………… ? 2 + 2 +? + 2 ? . 10 ? 1 2 n ?


1 1 4 4 < = = = 2 2 1 n n ? n ? n + 4 1 2 1 2 1 2 ( )( ) n ? 4
10分 所以,当 n ≥ 2 时,

1 ? ? 1 …………………………… 2? ? ?, ? 2n ? 1 2n + 1 ?

1 P 1P 2 <
2

+

1 P 1P 3
2

+3 +

1 P 1P n +1
2

1 ? 1 1 ?? ?1 1 1+ 2? ? +3 + ? ? ……………………………………………… ? 10 ? 2n ? 1 2n + 1 ? ? ?3 5 ?
1 ?5 1 ? ? ? ? …………………………………………………………………………… 10 ? 3 2n + 1 ?

……………11分

=

…………12分

<


1 . 6


n =1





1 P 1P 2 1 P 1P 2

= 2

1 1 < .………………………………………………………………………13分 10 6



2

+

1 P 1P 3
2

+3 +

1 P 1P n +1
2

1 < .…………………………………………………………… 6

14分 20. (本小题满分14分) 解 : ( 1 ) 方











C











( x ? a)

2

+ y2 = r 2 ( r > 0 ) ,………………………………………1 分

因为圆 C 过点 ( 0, 0 ) 和 ( ?1,1) ,

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2 2 ? ?a = r , ……………………………………………………………………………… ? 2 2 2 1 a 1 r . ? ? + = ( ) ? ?

3分 解得 a = ?1 , r = 1 . 所 以 圆

C









( x + 1)

2

+ y2 = 1 .…………………………………………………………………4 分

方法二:设 O ( 0, 0 ) , A ( ?1,1) , 依 题 意 得 , 圆 C 的 圆 心 为 线 段 OA 的 垂 直 平 分 线 l 与 x 轴 的 交 点 C .………………………………1 分 因 为 直 线

l









y?

1 1 =x + 2 2





y= x + 1 ,……………………………………………………2 分
所 以 圆 心

C









( ?1, 0 ) .…………………………………………………………………………3 分
所 以 圆

C









( x + 1)

2

+ y2 = 1 .…………………………………………………………………4 分

(2)方法一:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则 ( x0 ? 4 ) + y0 = 4,
2 2

即 y0 = 4 ? ( x0 ? 4 ) ≥ 0 ,
2 2





2 ≤ x0 ≤ 6 .…………………………………………………………………………………………
5分 由圆 C 与圆 D 的方程可知,过点 P 向圆 C 所作两条切线的斜率必存在, 设 PA 的方程为: y ? y0 = k1 ( x ? x0 ) , 则点 A 的坐标为 ( 0, y0 ? k1 x0 ) , 同理可得点 B 的坐标为 ( 0, y0 ? k2 x0 ) ,

= 所以 AB

k1 ? k2 x0 ,
?k + y0 ? kx0 k 2 +1 = 1,

因为 PA , PB 是圆 C 的切线,所以 k1 , k2 满足

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k1



k2







(x

2

0

+ 2 x0 ) k 2 ? 2 y0 ( x0 + 1) k + y0 2 ? 1 = 0





根,………………………………7 分

2 y0 ( x0 + 1) ? , ?k1 + k2 = 2 x0 + 2 x0 ? 即? 2 ?k k = y0 ? 1 . ? 1 2 x0 2 + 2 x0 ?

2


2 ? 2 y0 ( x0 + 1) ? 4 ( y0 ? 1) ………………………………………… ? 2 ? ? 2 x0 + 2 x0 ? x0 + 2 x0 ?

AB = k1 ? k2 x0 x0 =
…9 分

因为 y0 = 4 ? ( x0 ? 4 ) ,
2 2





AB = 2 2
10 分

( x0 + 2 )

5 x0 ? 6
2

.…………………………………………………………………………

设 f ( x0 ) = 则

( x0 + 2 )

5 x0 ? 6
2



f ′ ( x0 ) =
…11 分

?5 x0 + 22

( x0 + 2 )

3

.……………………………………………………………………………

由 2 ≤ x0 ≤ 6 , 可 知 f ( x0 ) 在 ? 2, ? 上 是 增 函 数 , 在 ? , 6? 上 是 减 函 ? 5 ? ? 5 ? 数,……………………12 分 所以 ? ?f

? 22 ?

? 22

?

= (x 0 )? ? max

? 22 ? 25 , f= ? ? ? 5 ? 64

?1 3? 1 , = f ( x0 ) ? = 2 ) , f ( 6 )} min = ? ? , ? ? ? min min { f ( ?4 8? 4
所 以

AB













? 5 2? ? 2, ? .…………………………………………………………………14 分 4 ? ?
方法二:设圆 D 上的动点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,
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则 ( x0 ? 4 ) + y0 = 4,
2 2

即 y0 = 4 ? ( x0 ? 4 ) ≥ 0 ,
2 2





2 ≤ x0 ≤ 6 .…………………………………………………………………………………………
5分 设点 A ( 0, a ) , B ( 0, b ) , 则直线 PA : y ? a =0

y ?a 0, x ,即 ( y0 ? a ) x ? x0 y + ax0 = x0

因为直线 PA 与圆 C 相切,所以

a ? y0 + ax0

( y0 ? a ) + x0 2
2

= 1,

0. 化简得 ( x0 + 2 ) a ? 2 y0 a ? x0 =
2

① ② 方 程

0, 同理得 ( x0 + 2 ) b ? 2 y0b ? x0 =
2









a



b



0 ( x0 + 2 ) x 2 ? 2 y0 x ? x0 =





根,…………………………………………7 分

2 y0 ? , ?a + b = x0 + 2 ? 即? ?ab = ? x0 . ? x0 + 2 ?
所以 AB = a ? b =

(a + b)
2

2

? 4ab

=

? 2 y0 ? 4 x0 ? ? + ? x0 + 2 ? x0 + 2

=

4 y0 2 + 4 x0 ( x0 + 2 )

( x0 + 2 )
2

2

.……………………………………………………………………9 分
2

因为 y0 = 4 ? ( x0 ? 4 ) , 所 以

AB = 2 2
10 分

( x0 + 2 )

5 x0 ? 6
2

……………………………………………………………………………

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= 2 2 ?
……………11 分 令t = 所

16

( x0 + 2 )

2

+

5 .………………………………………………… x0 + 2

1 1 1 ,因为 2 ≤ x0 ≤ 6 ,所以 ≤ t ≤ . 8 4 x0 + 2

2

5 ? 25 ? ,……………………………………… AB = 2 2 ?16t + 5t = 2 2 ?16 ? t ? ? + ? 32 ? 64
2

12 分 当t = 当t = 所

5 2 5 时, AB max = , 4 32

1 时, AB min = 2 . 4


AB













? 5 2? ? 2, ? .…………………………………………………………………14 分 4 ? ?
21. (本小题满分 14 分) (1)解法一:因为函数 f= ( x ) a ln x ? 所

x ?1 在区间 ( 0,1) 内是增函数, x +1


a 2 f ′( x) = ? ≥ 0 ( 0 < x < 1) .………………………………………………………… x ( x + 1)2
…1 分 即 a ( x + 1) ? 2 x ≥ 0 ( 0 < x < 1) ,
2



a≥

2x

( x + 1)
=

2

………………………………………………………………………………………

……2 分

2 ( 0 < x < 1) , 1 x+ +2 x 2 1 因为 < 在 x ∈ ( 0,1) 内恒成立, 1 x+ +2 2 x

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所以 a ≥ 故

1 . 2
实 数

a













?1 ? , +∞ ? .……………………………………………………………………4 分 ? ?2 ?
解法二:因为函数 f= ( x ) a ln x ? 所

x ?1 在区间 ( 0,1) 内是增函数, x +1


f ′( x) =
…1 分

a 2 ? ≥ 0 ( 0 < x < 1) .………………………………………………………… x ( x + 1)2
2

即 a ( x + 1) ? 2 x ≥ 0 ( 0 < x < 1) , 即

ax 2 + 2 ( a ? 1) x + a ≥ 0 ( 0 < x < 1) ,……………………………………………………………
……2 分 设 g ( x ) = ax + 2 ( a ? 1) x + a ,
2

当 a = 0 时,得 ?2 x ≥ 0 ,此时不合题意. 当 a < 0 时,需满足 ?

? 1 ? g ( 0 ) ≥ 0, ? ?a ≥ 0, 即? 解得 a ≥ ,此时不合题意. 2 ? ?a + 2 ( a ? 1) + a ≥ 0, ? g (1) ≥ 0, ?

? ? ? g ( 0 ) ≥ 0, ? g ( 0 ) ≥ 0, ? ? 2 2 当 a > 0 时,需满足 ? ? 2 ( a ? 1) ? ? ? 4a ≤ 0 或 ? g (1) ≥ 0, 或 ? g (1) ≥ 0, ? a ?1 ? a ?1 ?? > 1, < 0, ?? ? a ? a
解得 a ≥

1 或 a > 1, 2 1 所以 a ≥ . 2
上 所 述 , 实 数



a













?1 ? , +∞ ? .……………………………………………………………4 分 ? ?2 ?
(2)证明:因为函数 g ( x ) = e ,所以 g ′ ( x ) = e .
x x

过点 P b, eb , Q ?b, e ? b 作曲线 C 的切线方程为:

(

)

(

)

= eb ( x ? b ) + eb , l1 : y
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y e?b ( x + b ) + e?b , l2 : =
因为 l1 与 l2 的交点为 M ( x0 , y0 ) , 由

? = eb ( x ? b ) + eb , ?y …………………………………………………………………………… ? y e?b ( x + b ) + e?b , ? ?=
…6 分 消 去

y








x0 =

b ( eb + e ? b ) ? ( eb ? e ? b )

(e

b

? e?b )

①…………………………………………7 分

下面给出判定 x0 > 0 的两种方法: 方 法 一 : 设

eb = t ,………………………………………………………………………………………8 分
因为 b > 0 ,所以 t > 1 ,且 b = ln t . 所 以

x0

(t =

2

+1) ln t ? ( t 2 ? 1) t 2 ?1

.………………………………………………………………………

…9 分 设 = h (t ) 则

(t

2

+1) ln t ? ( t 2 ? 1) ( t > 1) ,

h′ = ( t ) 2t ln t ? t +
…10 分

1 ( t > 1) .…………………………………………………………………… t

1 ( t > 1) , t 1 则 u ′ (= t ) 2 ln t + 1 ? 2 . t
令 u= ( t ) 2t ln t ? t + 当

t >1





ln t > 0



1?

1 >0 t2







u ′ (= t ) 2 ln t + 1 ?

1 > 0 ,………………………………11 分 t2

所以函数 u ( t ) 在 (1, +∞ ) 上是增函数, 所 以

u ( t ) > u (1) = 0





h′ ( t ) > 0 ,…………………………………………………………………12 分

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所以函数 h ( t ) 在 (1, +∞ ) 上是增函数, 所 以

h ( t ) > h (1) = 0 .…………………………………………………………………………………
13 分 因为当 t > 1 时, t ? 1 > 0 ,
2




2

= x0


(t

+1) ln t ? ( t 2 ? 1) t 2 ?1

…………………………………………………………………14 > 0.

方法二:由①得 = x0 设

b (1+ e ?2b ) 1 ? e ?2b

?1.

e ?2b = t ,……………………………………………………………………………………………
……8 分 因为 b > 0 ,所以 0 < t < 1 ,且 ln t = ?2b . 于



2b ?1 = ,………………………………………………………………………………………… ln t
…9 分 所 以

2b b (1+ t ) ? 2 1+ t ? x0 = + = b? + ? .………………………………………………………… ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?
10 分 由 ( 1 ) 知 当 a=

1 1 x ?1 时 , f 在 区 间 ( 0,1) 上 是 增 函 = ( x ) ln x ? 2 2 x +1

数,…………………………11 分 所以 f ( = t) 即

ln t t ? 1 ? < f (1) = 0, 2 t +1

ln t t ? 1 . …………………………………………………………………………………… < 2 t +1
……12 分 即

2 1+ t + > 0 ,………………………………………………………………………………… ln t 1 ? t
……13 分 已知 b > 0 ,
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? 2 1+ t ? x0 = b ? + ? > 0 .………………………………………………………………………… ? ln t 1 ? t ?
14 分

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