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一道高考题的解法探究、考后调查、教学反思


一道高考题的解法探究、考后调查、教学反思 2012 年高考一结束,笔者用浙江文科第 9 题去考查高一任教的学生(本校 属于省三级重点普通高中) ,结果令人惊讶!全班 58 人只有 5 人做对,并且都是 用同一种方法. 惊讶、遗憾之余,便有了本文对考题解法的探究,考后的局部调 查以及对教学的反思. 笔者认为该考题是一道折射教师教学行为的好题. 一、考题解法探究 2012 年浙江文科

第 9 题:若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值 是 答案 C 解法一: (构造均值不等式思想) 由 x+3y=5xy, 得+=1, 而 3x+4y= (3x+4y) ( ·+) =++≥2+=5. 当且仅当=,即 x=1,y=时,3x+4y 的最小值是 5. 解法二: (消元思想) 由 x+3y=5xy, 得 y=, 代入 3x+4y, 得 3x+4y=3x+= (5x-3) ++≥5. 解法三: (线性规划思想)作出 y=图象第一象限部分(如图 1) ,目标函数 z=3x+4y,当平行线组过点(1,0. 5)时,3x+4y 的最小值是 5,而点(1,0. 5) 可由导数值为-时而得. 解法四: (方程组思想)由 y=与 z=3x+4y 联立方程组消去 y,再由?驻≥0 也 可得 z 的最小值 5. 解法五: (参数思想)由+=1,设 cos2α=,sin2α=,其中 α∈[0,2π]则 y=, x=·3x+4y=+=+=++≥5. 解法六: (反置代思想)将 z=3x+4y 改写成:y=,代入 x+3y=5xy,并将其整 理成 x 的二次形式,15x2-(5+5z)x+3z=0,由?驻≥0 可得 z 的最小值是 5. 解法七: (向量思想) 如图 2. 设向量=a= (3, 4) , 向量=b= (x, y) , 则 a· b=3x+4y, b 的终点在 y=第一象限的图象上,根据数量积的几何意义,当 b 在 a 上的投影 最小时, z=3x+4y 的值最小,先求斜率为-的切线与曲线 y=的切点(1, ) ,再将 切点 x=1,y=代入 z=3x+4y,得 z 最小值为 5. 解法八: (柯西不等式法)由 x+3y=5xy , 得 +=1. 3x+4y= ( 3x+4y ) · 1= (3x+4y)· (+)≥(· +· )2=5. 二、考后调查 本题题源: 《数学必修 5》① 3. 4 基本不等式:≤(二)作业本 56 页第 11 题:已知 x>0,y>0,且+=1 求 x+y 的最小值. 对四类人群的局部调查. 调查一, 新手型教师两人的解法: 一人只有解法一; 另一人解法一和解法八. 调查二,经验型教师一人的解法:解法一、解法二、解 法三. 调查三, 高一学生 58 人中有五人的解法: 解法一, 其余没有第二种解法. 调 查对象为本人所教班级, 生源为农村普通高中学生,时间为基本不等式的内容教 学后不到两周. 调查四,参加高考的本校文科班毕业学生 10 人,高考成绩都在 [100,120]区间,有两人用解法一做出,其中有一人因为第 14 题的提示(文科 高考第 14 题是显著的线性规划问题,于是他认为第 9 题不是线性规划问题)才 由原来解法三的思路转为解法一的思路. 有两人用解法二做出,还有两人用解法 三做出,有一人随机选对,其余 3 人答错. 三、教学反思 1. 教学理念与自觉行为的差距 随着课程改革的不断深入,课程理念也逐步在教师意识中“生根发芽”. 我们 知道“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学还

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