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2011届高三数学下册联考检测试题1


2011 年 安 徽 省 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考

数学试卷 ( 文 科 )
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮

擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹 清晰。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、 ................... 草稿纸上答题无效 。 ........ 有关参考公式: V台 ?

1 ( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) ? h 3

第Ⅰ卷(选择题 满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. i 是虚数单位,复数 z ? i A.0 B. ?1
2011

的虚部是( C. 1

)? D. ?i

2.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P A. ?3, 0? B. ?3,0,1?
2

Q=?0? ,则 P Q= (



C. ?3,0,2?

D. ?3,0,1,2? )

3.设向量 a,b 均为单位向量,且(a+b) ? 1 ,则 a 与 b 夹角为( A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3
C.恒为 0

D.

3? 4
) D.可正可负 )

4.已知函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数且为奇函数,则 f (1) 的值( A.恒为正数 B.恒为负数
2 2

5. 若点 P (1, 1) 为圆 ( x ? 3) ? y ? 9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在直线方程为 ( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

2 6.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? x ,则 f ?(1) ? (

A. ? 1 B. ?2 C. 1 D. 2 7.已知一组正数 x1 , x2 , x3 , x4 的平均数为 2,则数据 x1 ? 2, x2 ? 2, x3 ? 2, x4 ? 2 的平均数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6

8 . 已 知 函 数 f ( x)? s i n ? x

的 a co xs 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 x ? ) C.

5? ,则函数 3

g ( x)? a s i n ? x
A.

co xs 的最大值是(
B.

2 2 3


2 3 3

4 3

D.

2 6 3

9.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积是( A.8 C.

17 3

20 3 14 D. 3
B.

10.第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在中国广州举行, 运动会期间来自 A 大学 2 名和 B 大学 4 名的共计 6 名大学生志愿者,现从这 6 名志愿 者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概率是( A. )

1 15

B.

2 5

C.

3 5

D.

14 15

第Ⅱ卷(非选择题 满分 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。 11.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3 ,则数列 ?an ? 的 通项公式为 .
开始

i ? 1, p ? 1, s ? 0

x2 y2 12.设 F1、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右焦点,P 为 25 16
椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆 左焦点距离为 .
i ? 3?
是 否

p ? p?i
i ? i ?1 s ?s? p

13.执行右边的程序框图,则输出的结果是

.

输出 s

结束

?y ? 2 ? 0 ? 2 2 14.已知 x, y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 x ? y 最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
15.给出下列命题:

.

① y ? 1 是幂函数 ②函数 f ( x) ? 2x ? log2 x 的零点有 1 个 ③ x ?1( x ? 2) ? 0 的解集为 ?2, ??? ④“ x <1”是“ x <2”的充分不必要条件 ⑤函数 y ? x3 在点 O(0,0)处切线是 x 轴 其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解 答应写在答题卡指定的区域内。 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c , AB ? AC ? 8 , ?BAC ? ? ,

a ? 4.
(Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2 3 sin (
2

?
4

? ? ) ? 2 cos 2 ? ? 3 的最值.

17. (本小题满分 12 分) 一个均匀的正四面体面上分别涂有 1、2、3、4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体 面朝下的数字分别为 b 、 c . (Ⅰ)记 z ? (b ? 3)2 ? (c ? 3)2 ,求 z ? 4 的概率; (Ⅱ)若方程 x ? bx ? c ? 0 至少有一根 a ??1,2,3,4? ,就称该方程为“漂亮方程” ,求方
2

程为“漂亮方程”的概率.

18. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PA=AB =4, G 为 PD 中点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PDC. P (Ⅰ)求证:AG⊥平面 PCD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 PEC; G (Ⅲ)求点 G 到平面 PEC 的距离.
A E B C D

19. (本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)证明:数列 ?

2n?1 an ( n ? N? ). an ? 2n

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

? 2n ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅲ)设 bn ? n(n ? 1)an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x ? ?1 处取得极值,且在 x ? 0 处的切线的斜率为- 3. (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若过点 A(2, m )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 13 分) 已知双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程 y ?

4 x ,右焦点 F(5, 3

0) ,双曲线的实轴为 A1A2,P 为双曲线上一点(不同于 A1,A2) ,直线 A1P、A2P 分别 与直线 l : x ?

9 交于 M、N 两点. 5

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)求证: FM ? FN 为定值.

数学(文科)试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.B.解析: z ? ?i ∴虚部为-1,故选 B.?

Q=?3,0,1? ,故选 B. 1 1 2? 3.C. 解析:a ? b ? ? , cos ? ? ? , 〈a,b〉 ? ,故选 C. 2 2 3 4.A. 解析: f (0) ? 0 , f ( x ) 在 R 上递增,∴ f (1) > f (0) ? 0 ,故选 A.
2.B.解析: log2 a ? 0 ∴ a ? 1 从而 b=0 , P

5.D.解析:圆心 C(3,0) , k pc ? ? 即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故选 D.

1 , k MN ? 2 ,∴MN 方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) , 2

6.B. 解析: f ?( x) ? 2 f ?(1) ? 2 x ,令 x ? 1 得 f ?(1) ? 2 f ?(1) ? 2 ,∴ f ?(1) ? ?2 ,故选 B.

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ( x ? 2) ? ( x2 ? 2) ? ( x3 ? 2) ? ( x4 ? 2) ? 2 ,∴ 1 ? 4 ,故选 C. 4 4 10 3 a 3 8.B. 解析: f (0) ? f ( ? ) ∴a ? ? ∴ a?? , ? 3 2 2 3 3 2 3 2? 2 3 ,故选 B. g ( x) ? ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) ,∴ g ( x)max ? 3 3 3 3 1 1 1 17 3 9.C. 解析:几何体是正方体截去一个三棱台, V ? 2 ? ? ( ? 2 ? 2 ? ) ? 2 ? . 3 2 2 3 2? 4 1 9 3 6 3 ? ? ? ,另解: P ? 1 ? ? ,故选 C. 10.C. 解析: P ? 15 15 15 5 15 5
7.C. 解析:∵

第Ⅱ卷(非选择题满分 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。 11. an ? ? 12. 4 . 13.10.

? ?1, n ? 1 ?2
n ?1

,n ? 2

解析: |OM|=3,| PF2|=6,又|PF1|+| PF2|=10∴|PF1|=4 解析: S ? 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? 10 .

14.25. 15.④ ⑤ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解 答应写在答题卡指定的区域内。 16.解(Ⅰ) bc ? cos ? ? 8 即 b ? c ? 32
2 2 2 2 2 b2 ? c 2 ?2 b c c o? s ? 4

……………………2 分 所以 cos ? ?

又 b ? c ? 2bc ,所以 bc ? 16 ,即 bc 的最大值为 16………………4 分 即

8 ? 16 cos ?

1 , 又 0< ? < ? 2

所以 0< ? ?

?

3

……6 分

(Ⅱ) f (? ) ? 3 ? [1 ? cos(

?
2

? 2? )] ? 1 ? cos 2? ? 3 ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 1
…………………………………………… 9

? 2sin(2? ? ) ? 1 6
分 因 0< ? ?

?

?
3

,所以

? ? 5? 1 ? ? sin(2? ? ) ? 1 < 2? ? ? , 6 6 2 6 6

………10 分

当 2? ? 当 2? ?

?
?
6 6

? ?

?

5? 6 2

即? ? 即? ?

? ?
3

时, f (? ) min ? 2 ?

1 ?1 ? 2 2

……………11 分 ……………12 分

6

时, f (? )max ? 2 ?1 ? 1 ? 3

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为是投掷两次,因此基本事件( b, c )共有 4×4=16 个 当 z=4 时, ( b, c )的所有取值为(1,3) 、 (3,1) 所以 P ( z ? 4) ?

……………2 分

…………………4 分

2 1 ? …………………6 分 16 8 (Ⅱ)①若方程一根为 x ? 1 ,则 1 ? b ? c ? 0 ,即 b ? c ? 1 ,不成立.
②若方程一根为 x ? 2 ,则 4 ? 2b ? c ? 0 ,即 2b ? c ? 4 ,所以 ?

?b ? 1 . ?c ? 2

③若方程一根为 x ? 3 ,则 9 ? 3b ? c ? 0 ,即 3b ? c ? 9 ,所以 ?

?b ? 2 . ?c ? 3 ?b ? 3 . ?c ? 4

④若方程一根为 x ? 4 ,则 16 ? 4b ? c ? 0 ,即 4b ? c ? 16 ,所以 ?

综合①②③④知, ( b, c )的所有可能取值为( 1,2) 、 ( 2,3 ) 、 (3,4)………10 分 所以, “漂亮方程”共有 3 个,方程为“漂亮方程”的概率为 p ? 分 18. (Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AG, 又 PD⊥AG ∴AG⊥平面 PCD …………4 分 (Ⅱ)证明:作 EF⊥PC 于 F,因面 PEC⊥面 PCD ∴EF⊥平面 PCD,又由(Ⅰ)知 AG⊥平面 PCD ∴EF∥AG,又 AG ? 面 PEC,EF ? 面 PEC, ∴AG∥平面 PEC ………………7 分 B (Ⅲ)由 AG∥平面 PEC 知 A、G 两点到平面 PEC 的距离相等 由(Ⅱ)知 A、E、F、G 四点共面,又 AE∥CD
P G A O E C F D

3 16

…………12

∴ AE∥平面 PCD ……………8 分

∴ AE∥GF,∴ 四边形 AEFG 为平行四边形,∴ AE=GF

1 PA=AB=4, G 为 PD 中点,FG ∥ = 2 CD
∴ FG=2 ∴ AE=FG=2 ………………………9 分 ………………………10 分

1 1 16 ? ( ?2 ?4 )? 4 ? ∴ VP ? A E C 3 2 3 又 EF⊥PC,EF=AG ? 2 2

1 1 PC ? EF ? ? 4 3 ? 2 2 ? 4 6 ………………………11 分 2 2 1 16 2 6 又 VP? AEC ? VA? PEC ,∴ S EPC ? h ? ,即 4 6h ? 16 ,∴ h ? 3 3 3 2 6 ∴ G 点到平面 PEC 的距离为 . ………………………13 分 3
∴ S
EPC

?

an ?1 an 2n ?1 2n 2n ?1 2n 19.解析: (Ⅰ)由已知可得 n ?1 ? ,即 ? ? 1,即 ? ?1 2 an ? 2n an ?1 an an ?1 an
∴ 数列 ?

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列 ? an ?

……………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

2n 2n 2 ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ,∴ an ? n ?1 an a1

………………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn ? n ? 2n

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ?
2 3

? n ? 2n ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
………………10 分

相减得: ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ?

? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2
…………………………12 分

? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1
∴ Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 分 20.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 依题意 ?

……………………………………… 13

……………………………1 分 ……………………………4 分

? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ?b ? 0 ?? ? f ?(?1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ?3a ? c ? 0

3

又 f ?(0) ? ?3

c ? ?3

∴a ?1
2

∴ f ( x) ? x3 ? 3x

………6 分

(Ⅱ)设切点为( x0 , x0 ? 3x0 ) , ∵ f ?( x) ? 3x ? 3 ∴ 切线方程为 y ? ( x0 ? 3x0 ) ? (3x0 ? 3)( x ? x0 )
3 2

∴ f ?( x0 ) ? 3x02 ? 3 ……………………7 分

又切线过点 A(2, m ) ∴ ∴

m ? ( x03 ? 3x0 ) ? (3x02 ? 3)(2 ? x0 ) m ? ?2x03 ? 6x02 ? 6
………………………………………………8 分

令 g ( x) ? ?2x3 ? 6x2 ? 6
2

y

则 g ?( x) ? ?6 x ? 12 x ? ?6 x( x ? 2)
2

0

x

由 g ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2

-6

g ( x)极小值 ? g (0) ? ?6 , g ( x)极大值 ? g (2) ? 2
3 2

…………10 分

画出草图知,当 ?6 < m < 2 时, m ? ?2 x ? 6 x ? 6 有三解, 所以 m 的取值范围是(-6,2)
2 2

…………………………………12 分

21. (Ⅰ)依题意可设双曲线方程为:

x y ? 2 ? 1 ,则 2 a b x2 y 2 ? ? 1 …………6 分 9 16
9 5

?b 4 ?a ? 3 ? ?a ? 3 ?? ?c ? 5 ?b ? 4 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?

∴ 所求双曲线方程为

(Ⅱ)A1(-3,0) 、A2(3,0) 、F(5,0) ,设 P( x, y ) ,M( , y0 ) ,

A1P ? ( x ? 3, y) , A1M ? (
∴ ( x ? 3) y0 ?

24 , y0 ) 5

∵ A1、P、M 三点共线, 即M( ,

24 y?0 5

∴ y0 ?

24 y 5( x ? 3)

9 24 y ) ………8 分 5 5( x ? 3)

同理得 N ( , ?

9 5

6y ) 5( x ? 3)

……………………………………9 分

FM ? (?

16 24 y 16 6y 256 144 y 2 , ) , FN ? (? , ? ) , FM ? FN ? ? ? 25 25 x 2 ? 9 5 5( x ? 3) 5 5( x ? 3)




x2 y 2 ? ?1 9 16

y2 16 ? 2 x ?9 9

………………………………11 分

∴ FM ? FN ? 分

256 144 16 256 256 ? ? ? ? ? 0 ,即 FM ? FN ? 0 (定值)……13 25 25 9 25 25


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