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2014年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题


2014 年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题 (7 月 6 日 8:30 至 11:00)

一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.已知 A A.100 条件的 ? A, B, C? 共有( B.140 )组 C.180

B C ? ?a, b, c, d, e, f ? , A B ? ?a, b, c, d? , c

? A B C ,则符合上述
D.200

2 2 2 . 已 知 集 合 S1 ? ( x, y ) log 2 (1 ? x ? y ) ≤ 1 ? log 2 ( x ? y )

?

?

, 并 且 集 合 )

? ? S2 ? ?( x, y) log 1 (2 ? x 2 ? y 2 ) ≥ ?2 ? log 1 ( x ? y) ? ,则 S2 与 S1 的面积比为( ? 2 2 ?
A. 2 :1 B. 4 :1 C. 6 :1 D. 8 :1

3.已知 △ ABC 的三边 a , b , c 成等比数列, a , b , c 的对角依次为 A , B , C ,则 sin B ? cos B 的取值范围是( ) A. [ ,1 ?

1 2

3 ] 2

B. (1, 2]

C. (1,1 ?

3 ] 2

D. [ , 2]

1 2

4.△ ABC 的三个内角为 A , B , C ,若 的最大值为( ) B. 1 C.

sin A ? 3cos A 7 π ,则 sin 2 B ?2cos C ? tan 12 cos A ? 3 sin A

1 A. 2

3 2

D. 2

5.正项数列 ?an ? 满足

单调递增且成等比数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,则 最大整数) ( A.5368 ) B.5367 C.5363

1 1 1 ? ? ? 1(n ? N* ) , a1 ? a3 ? 6 , a1 , a2 , a3 an an?1 an an ? 2 an ?1an ? 2

? S2014 ? 的值是(其中表示不超过实数的

D.5362

6.设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ,从直线 l 出发的两个半平面 ? 、 ? 截球 O 的两 个截面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 A. 7 B. 2 7 C. 10 D. 2 10

5π ,则球 O 的半径为( 6



二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.若非零复数 x 满足 x ?

1 1 ? 1 ,则 x 2014 ? 2014 ? x x



8.不等式

4 x2 ? 2 x ? 9 的解集为 (1 ? 1 ? 2 x )2



9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对

2 1 , 乙在每局中获胜的概率为 , 3 3 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E (? ) 为 .
方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概率为

10.如图所示,在 △ ABC 中, cos C ?

2 5 , AH ? BC ? 0 , AB ? (CA ? CB) ? 0 ,则过 5


点 C ,以 A , H 为两焦点的双曲线的离心率为

11.设是由任意 100 个互不相同的正整数组成的集合,令 B ? {

a a, b ? A 且 a ? b} , f ( A) b


表示集合 B 中元素的个数,则 f ( A) 的最大值与最小值之和为

12.抛物线 y ? ax2 ? bx ? 1 的参数 a , b 满足 8a ? 4ab ? b ,则当 a , b 变动时,抛物线 的顶点 ( s, t ) 的轨迹方程为 .
2 3

三.解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13. (本小题满分 20 分) 函数 f ( x ) 的定义域为 R ,已知 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,并且对任意 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) . (1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性以及单调性; ( 2 ) 设 集 合

A ? ?( x, y ) f (3 x 2 ) ? f (4 y 2 ) ≤ 24?



1 ? ? B ? ?( x, y ) f ( x) ? f (ay ) ? f (3) ? 0? , C ? ?( x, y ) f ( x) ? f ( y 2 ) ? f (a) ? , 且 2 ? ? f (1? ) ,若 2 A B ? ? 且 A C ? ? ,试求实数 a 的取值范围.

14. (本小题满分 20 分) 如图,锐角 △ ABC 外心为 O ,直线 BO 和 CO 分别与边 AC , AB 交于点 B ' ,C ' .直 线 B ' C ' 交 △ ABC 外接圆于点 P ,Q .若 AP ? AQ ,证明:△ ABC 是等腰三角形锐 角三角形.

15. (本小题满分 25 分) 已知数列 ?an ? 中, a1

? 2 ,对于任意的 p, q ? N* ,有 ap?q ? ap ? aq .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 数列 ?bn ? 满足 an ? 求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 Cn

b b1 b b ? 22 ? 33 ? 44 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? (?1) n ?1

bn (n ? N* ) , 2 ?1
n

? 3n ? ?bn (n ? N* ) ,是否存在实数 ? ,当 n ? N* 时, Cn?1 ? Cn 恒成立,

若存在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

16. (本小题满分 25 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A , B 两点,连结 A 及抛 物线顶点 O 的直线交准线于 B ' ,连结 B 及 O 的直线交准线于 A ' ,并且 AA ' 与 BB ' 都 平行于 x 轴. (1)证明:直线 l 过定点; (2)求四边形 ABB ' A ' 的面积的最小值.


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