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高中物理竞赛训练题(11)导数与积分


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竞赛训练题 竞赛训练题(11)导数与积分 训练题 导数与积分
一.导数 常见函数的导数公式: 1.常见函数的导数公式: (1) C '= 0 (C 为常数); (3) (sin x )' = cos x ; (5) ( a )' = a ln a ;
x x

r />(2) ( x n )' = nx n ?1 ( n ∈ Q ); (4) (cos x )' = ? sin x ; (6) (e x )' = e x ; (8) (ln x)' =

(7) (log a x)' =

1 log a e ; x

1 . x

2.导数的运算法则: .导数的运算法则: 法则 1 [u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) . 法则 2 法则 3

[u ( x)v( x)]′ = u '( x)v( x) + u ( x)v '( x) , [Cu ( x)]′ = Cu '( x) .

3.复合函数的导数:设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x),函数 y=f(u)在点 x 的对 .复合函数的导数: f′x( ? (x))=f′(u) 二.不定积分 应点 u 处有导数 y′u=f′(u), 则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数, y ' x = y 'u ?u ' x 或 且

? u ? u ' v ? uv ' (v ≠ 0) . ? ? = v2 ?v?
'

? ′(x).

(Ⅰ)不定积分的概念 (Ⅱ)不定积分的性质



f ( x )dx = F ( x ) + C ? f ( x ) = F ′( x ) 或

(1)
( 2)

∫ f ′( x )dx =

f ( x) + C

∫ df ( x ) = f ( x ) + C

d f ( x )dx = f ( x ) 或 d ∫ f ( x )dx = df ( x ) dx ∫ ( 3) ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

(4)

∫[ f

1

( x ) + f 2 ( x )]dx = ∫ f 1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x )dx
1 x a +1 + C (a ≠ ?1) a+1 1 1 (4)∫ dx = ln | ax + b | + C ax + b a ( 2) ∫ x a dx =
(6) ∫ e x dx = e x + C (8)∫ sin xdx = ? cos x + C (10)

(Ⅲ)基本积分表

(1)
( 3)

∫ kdx = kx + C
∫ x dx = ln | x | + C
x ∫ a dx =

1

ax +C ln a 1 (7)∫ e ax dx = e ax + C a (5)

1 (9)∫ sin( ax + b )dx = ? cos( ax + b ) + C a

∫ cos xdx = sin x + C

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1 1 (11)∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (12) ∫ sec 2 xdx = ∫ dx = tan x + C a cos 2 x 1 (13) ∫ csc 2 xdx = ∫ dx = ? cot x + C (14) ∫ sec x tan xdx = sec x + C sin 2 x (15) ∫ csc cot xdx = ? csc x + C (16) ∫ tan xdx = ? ln | cos x | + C
(17) (19)

∫ cot xdx = ln | sin x | +C

(18)

∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +C
( 20)∫

1 dx = arctan x + C 1+ x2 1 1 x 1 1 a+ x (19) ∫ 2 dx = arctan + c ( 20)∫ 2 ln | | +c = 2 2 a a 2a a?x a +x a ?x 1 1 1 ( 21) ∫ e ax dx = e ax + c ( 22)∫ dx = ln | ax + b | + C 进制 a ax + b a 1 1 ( 23) ∫ cos axdx = sin ax + c ( 24)∫ sin axdx = ? cos ax + c a a 1 ( 25) ∫ dx = ln | a 2 + x 2 + x | + C 2 2 a +x P ′( x ) 2x 特别情形: ∫ 2 ( 26) ∫ dx = ln P ( x ) + C dx = ln | x 2 ± a 2 | + C P( x) x ± a2 P ′( x ) 1 dx = ln( x 2 ± a 2 + x ) + C ( 27) ∫ dx = 2 P ( x ) + C 特别情形 ∫ 2 2 P( x) x ±a

∫ csc xdx = ln | csc x ? cot x | +C

【例 1】在真空中有两个点电荷,带电量均为+q,相距 2a,如图所示。求两点电荷连线的中 垂线上的最大电场强度及其位置。

【例 2】如图所示,两根平行金属导轨固定在水平桌面上,每根导轨每米长的电阻为 ro=0.10 /m, 导轨的端点 P、Q 用电阻可忽略的导线相连,两导轨间的距离 L = 0.20m, 有随 时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感应强度 B 与时间 t 的关系为 B = kt ,比例系数 k = 0.020T/s .一根电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂 直。 在 t =0 时刻,金属杆紧靠在 P、Q 端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从静止
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高中物理 开始向导轨的另一端滑动。求在 t =6.0s 时金属杆所受的安培力。

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【例 3】 如图:汽车通过滑轮提一个重物,已知车作匀速直线运动,其速度大小为 VO,求重物的 运动状态如何? V0
θ

m

B

【例 4】长为 L,质量为m的均匀杆以ω在水平面上绕直轴转动,如图,求杆的动能. ω

L

【例 5】长 L=15cm 的直导线 AB 上均匀地分布着线密度为 λ=5×10-9C/m 的电荷。求:在导 线的延长线上与导线一端 B 相距 d=5cm 处 P 点的场强。

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高中物理 益民竞赛 【例 6】一个质量为m的机动小车,以恒定速率 V 绕半径为 R 的竖直圆轨道作匀速圆周运动, 已知车与轨道间的μ,求小车从最低点到最高点过程中,小车克服摩擦力做的功?

m V

【例 7】一底为 8m ,高为 6m 的等腰三角形钢性薄板,垂直地沉没在水中,顶在上,底在 下且与水面平行,而顶离水面 3m ,求它一侧所受水的压力.

【例 8】为研究静电除尘,有人设计了一个盒状容器,容器侧面是绝缘的透明有机玻璃,它 的上下底面是面积 A=0.04m2 的金属板,间距 L=0.05m,当连接到 U=2500V 的高压电源 正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场,如图所示,现把一定量均匀分布的烟尘颗 粒密闭在容器内,每立方米有烟尘颗粒 1013 个,假设这些颗粒都处于静止状态,每个颗粒 - - 质量为 m=2.0×10 15kg, 不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气 带电量为 q=+1.0×10 17C, 阻力, 并忽略烟尘颗粒所受重力。 求合上电键后,除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功? (2003 年上海市高考物理试题)

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竞赛训练题(11)导数与积分参考答案 导数与积分参考答案 竞赛训练题
【例 1】解析:画出两点电荷在连线中垂线上任意点 P 的电场强度 E1、E2 及其矢量合成图, 由点电荷在真空中的场强公式 E1 = k q /r2 ① r = a /cosα ②由①②式得 E1 = kqcosα / a2 ③P 点的场强大小 E = 2sinα = 求导数

2kq cos 2 α sin α 2 a



dE 2kq dE ,并令 = 2 (cos 3 α ? 2 sin 2 α cos α ) = 0 得 cos2α —2sin2αcosα=0 取正 dα dα a 1 y 数解得 tanα= = ⑤ 所以 y = a 2 (距 O 点的距离) 由⑤得 cotα = 2 及 sinα= 2 a
2 1/cscα = 1/ 1 + cot α = 1 / 3
2 2 2



cos α = sin α /tan α = 2/3 ⑦所以,中垂线上电场强度的最大值为 Emax= 4 3 kq /9a2 【例 2】解析:本题按常规解法是:设定磁场的一个方向,分析得到导体运动切割磁感线产 生的电动势 ε1 与磁场变化所产生的电动势 ε2 方向相同,运用物理学中的叠加原理,求出回 路中的总电动势 ε 然后再根据回路中的总电阻 R 随时间的变化关系表达出总电阻, 最后用电 流强度公式与安培力公式求安培力。 这里提供一种运用导数求回路总电动势的思路。因为金属杆从导轨的一端 P、Q 开始作 匀加速直线运动, 设经时间 t 时, 金属杆的运动位移为 x = at2 /2 ,回路的磁通量 φ = B S . 式 中的 B = k t , 回路所围面积 S = L x = a Lt2 /2 代入磁通量表达式中得 φ= 动势 ε=

dφ 3 = aklt 2 , 回路总电阻 R = 2 x r0 = ar0 t2; dt 2 3k 2 l 2 3kl 回路电流 I = , 安培力 F = BIL = t = 1.44×10-3 N. 2r0 2r0 dx dl 【例 3】解析: 因为两个速度可表示为: v0 = , v物 = , dt dt h h 其中两者有关系有: l = ,x= 两个表达式对时间求导有: sin θ tan θ h d( ) dθ dx ? cos θ dθ (注由于是对时间求导,故还必须有 ) = sin θ = h × v0 = 2 dt dt sin θ dt dt h d( ) dl tan θ = h ? 1 × dθ , 两式相除有: v = v cos θ 根据上式: 由于 θ v物 = = 0 物 dt dt sin 2 θ dt
渐渐变小,故重物速度越来越大,但不是匀加速。 【例 5】解析:建立如图所示的坐标系,在导线上取电荷元 dq=λdx ,电荷元在 P 点所激发的 λ dx 场强大小 dE = 1 P 点的总场强大小
4πε 0 ( L + d ? x )2

1 klat 3 . 2

感应电

E=∫

L

0

1 λ dx 1 λ 1 ( ? ) = 4πε 0 ( L + d ? x )2 4πε 0 d d + L ≈ 675(V/m)

【例 6】解析:物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中,在不同位置与
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高中物理 益民竞赛 圆环间的正压力不同,故而摩擦力为一変力,本题不能简单的用 W = F ? s 来求。 可由圆轨道的对称性,在圆轨道水平直径上、下各取两 y 对称位置 A 和 B,设 OA、OB 与水平直径的夹角为θ。在 ?S = R?θ 的足够短圆弧上,△S 可看作直线,且摩擦力可 B 视为恒力,则在 A、B 两点附近的△S 内,摩擦力所做的功 之和可表示为: ? θ B N x θ mg ? W f = ? ?N A R ? θ + ( ? ?N B R ? θ ) θ O NA 又因为车在 A、B 两点以速率 v 作圆周运动,所以:

.

N A ? mg sinθ =

mv 2 mv 2 , N B + mg sinθ = R R
2 2 2

A mg

综合以上各式得: ?Wf = ?2?mv ?θ 故摩擦力对车所做的功: Wf = ∑ ?Wf = ∑ ?2?mv ?θ = ?2?mv ∑ ?θ = ?π?mv
π
2

【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力 Ff = ?N ,从最低点运动到最高点摩擦力所做的 功为 Wf = (??N A R ? ?NB R)dθ =





2 0

? 2?mv2dθ = ?π?mv2

【例 7】解析:建立如图所示的坐标系,取为 x 积分变量,则积分

2 y = x?2 [3 , 9] . AB 边 所 在 的 直 线 方 程 为 3 区间为 ,设 [x, x + dx]为 [3 , 9] 上任一小区间,三角形薄板上与之相应的窄条 可近似看作是水平放置在距水面深度为 x 的位置上, 且面积近似等 x x 4( ? 1)dx dP = 4γ x( ? 1)dx 3 , 于是得压力微元为 因此, 所求 于 3
压力为

o
3

A
x
x + dx

y

B

9

x

?1 3 1 2 ? ?1 ? P = 4γ ∫ ? x 2 ? x ?dx = 4γ ? x ? x ? 3 3 2 ? 3 ≈ 1.65×106 ( N ) ?9 ? ?
9

9

【例 8】解析:在距离下极板为 y 远处取平行于极板厚度为 dy 的介质薄层,此微元的体 13 3 积为 dV = Ady ……①微元带电量 dQ = nqdV ……② (n=10 1/m ) 这一微元从该处运动至下极板处,电场力做功 dW = EydQ……③,其中, E =

U ……④ L

两板间全部尘埃从初位置运动至下极板电场力做的总功为 W = dW ……⑤ 得W =



nqAU nqAUL ?4 ∫ ydy 解得: W = 2 ,代入已知数据得,W = 2.5 ×10 J L 0

L

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