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弧度制.ppt


1.1

任意角和弧度制 弧度制

1.1.2

测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量, 这两种度量单位是怎样换算的? 1米=100厘米 家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量, 这两种度量单位是怎样换算的? 1千克=2斤 度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采 用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?


?

?

角度制的定义 规定周角的1/360为1度的角,这种用度做单位来度 量角的制度叫角度制。




l

R

思考:在半径为r的圆中,圆心角n0所对的圆 弧长如何计算?

2? r n? r l? ?n ? 360 180

在角度的度量里面,一个是角度制,另外 一种度量制---弧度制.

弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角,用符号rad表示。 设弧AB的长为l, l 若l=r,则∠AOB= =1弧度 B l=r
1弧度

r

O

r

A

若l=2r,

若l=2πr,

l l =2 弧度 则∠AOB= 则∠AOB= =2π弧度 r r
B
2弧度

l=2r
A O

l=2π r
2π弧度

O r

r

A(B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它 所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3,

r l = -3弧度 即∠AOB=- r
r

O
B

A

-3弧度
l=3r

一般地,我们规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝 对值:

l ? ? r
α 的正负由角α 的终边的旋转方向决定。

若l=2 π r,
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

l=2πr O r A(B)

360°= 2π弧度

180°= π弧度

弧度与角度的换算 180°=πrad
1? ?

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180 ? 0 ? ? 1 ? rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? 60 ? ? ?

例1 把

67 30?化成弧度.
?
? ?

? 1? 解:∵ 67 30? ? ? 67 ? ? 2?
?

? 1 3 rad ? 67 ? ? rad ∴ 67 30? ? 180 2 8

例2

4 把 ? rad 化成度. 5

4 4 ? ? 解: ? rad ? ? 180 ? 144 5 5
180? ? ? 角度制与弧度制互化时要抓住

弧度这个关键.

练习:将下列弧度制为角度,角度转 化为弧度。

(1) ? 210 3? (3) 10

?

(2)1200

?

4? (4) ? 3

根据度与弧度的换算关系,熟记各特殊角对应的 弧度数

角度 0? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 弧度 0
7? 弧度 6

? 6
5? 4

? 4
4? 3

? 3
3? 2

? 2
5? 3

2? 3 7? 4

3? 4 11? 6

5? 6

?

角度 210? 225? 240? 270? 300? 315? 330? 360?
2?

1.用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省 略不写,但用“度”(°)为单位不能省。不能“混和” 用 2.用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式。 如无特别要求,不用将π化成小数。

思考:在弧度制下, 角的集合与实数集R之间可以建立 一个一一对应关系 ,这个对应关系是如何理解的? 正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数 正角 负角 零角 正数

负数
零 正数 负数 0 对应角的 弧度数

任意角的集合

实数集R

例3、用弧度制证明下列关于扇形的公式 :

其中 R是半径 , l是弧长 , S是扇形的面积 .

1 1 2 (1)l ? ?R; (2) S ? lR. (3) S ? ?R ; 2 2 B
l ? O R A

? (0 ? ? ? 2? )为圆心角 ,

8 例5 已知扇形的周长为cm, 面积为4cm ,
2

求该扇形的圆心角的弧 . 度数
R 解 : 设扇形半径为 , 弧长为L, 则由 L 2R ? L ? 8
1 LR ? 4 2

?

R

解得 R ? 2 L ? 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为 ?
L 4 ?2 ?? ? R 2

1.下列命题不正确的是( D) A.半圆所对的圆心角是πrad B.周角的大小是2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度 2.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对 的圆心角的弧度数是(A)

A.

?
3

B.

?
6

C.1 D.?

3.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到 原来的2倍,则( B) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

4.已知半径为120mm的圆上,有一条弧的长 为144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
5.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求 扇形的中心角的弧度数。

6、已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm, 求扇形的弧长和面积;


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