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湖南省2014年高中数学竞赛试题(A卷)及其解答.doc


2014 年湖南省高中数学竞赛试题解答 一、选择题(本大题共有 6 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多 选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 30 分) 设集合 M ? a | a ? x 2 ? y 2 , x, y ? N ? ,则下列判断正确的是( A. 9 ? M ,10? M B. 9 ? M ,10? M

?<

br />
?

) D. 9 ? M ,10? M

C. 9 ? M ,10? M

设条件 p : 实数 m , n 满足 ?

?2 ? m ? n ? 4 ?0 ? m ? 1 ,条件 q : 实数 m , n 满足 ? 则( ) ? 0 ? mn ? 3 ?2 ? n ? 3
B. p 是 q 必要而不充分条件 D. p 是 q 既不充分也不必要条件

A. p 是 q 充分而不必要条件 C. p 是 q 充要条件

若数列 ?an ?是等差数列,若 a1 ? 0 , a2013 ? a2014 ? 0 , a2013 ? a2014 ? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最 大自然数 n 是( ) A. 4025 B. 4026 C.

4027

D. 4028

4.给定平面向量 a ? (1,1) 则平面向量 b ? ( A.顺时针旋转 60 所得 C. 逆时针旋转 60 所得
? ?

1? 3 1? 3 , ) 是平面向量 a 经过( 2 2
B. 顺时针旋转 120 所得 D. 逆时针旋转 120 所得
? ?



5.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 A 、 BB1 的中点 M 及 B1C 1 的中点所决定的平面把三棱柱分割成体积 不同的两部分,则较小部分与原三棱柱的体积之比为( A. ) 。 D.

23 36

B.

13 36

C.

13 23

12 23

6.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 , 两点 P , P ? 在以 O 为起点的射线上, 并且满足, | OP | ? | OP? |? r 2 则称 P, P ? 关于圆对称,那么双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的点 P ( x, y ) 关于圆 x 2 ? y 2 ? 1 的对称点 P 所满足的方程是 ( A. )
?

x2 ? y2 ? x4 ? y4
2 2 4 4

B. x ? y ? ( x ? y )
2 2 2 2 2 2

2 2

C. x ? y ? 2( x ? y )

D. x ? y ? 2( x ? y )

2 2

二、填空题(本大题共有 6 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 8 分,共 48 分)
2 2 7 已知 f ( x) ? x ? 53x ? 196? | x ? 53x ? 196| 则 f (20) ? f (14) ?

. ,

8. 已知 0 ? x ?

?
2

, sin x ? cos x ?

?
4

, 若 tan x ?

1 a ( a , b , c 为正整数 )的形式 , 则 可以表示成 tan x b?? c
1

a?b?c ?

9.不等式 | x |3 ?2 x 2 ? 4 | x | ?3 ? 0 的解集为

. (填是

10. 已知一无穷等差数列中有 3 项(顺次排列但不一定相连): 13 ,25 ,41 ,则可以判断得出 2013 或不是或不确定)数列中的一项. 11.随机摸选一个三位数 I,则 I 含有因子 5 的概率为 .

? x? y?0 ? 12. 已 知 实 数 x , y 满 足 ? x ? y ? 5 ? 0 , 若 不 等 式 a( x 2 ? y 2 ) ? ( x ? y )2 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 最 大 值 ? y?3?0 ?
是 .

三、解答题(本大题共有 4 小题, ,共 72 分) 13. 已知 O 为 ? ABC 内部一点, ?BAO ? ?CAO ? ?CBO ? ?ACO ,试研究 ? ABC 的三边满足的关系, 并证明你的结论

14. 某旅游地区每年各月接待的人数近地满足周期规律,即第个 n 月从事游服务工作的人数 f ( n ) 可近似

?Acos(?n ? ? ) ? k ?来刻画,其中正整数 n 表示月份,且 n ? N ,例如 n ? 1 时表示 的用函数 f ( n ) ? 100
?

1 月份, A 和 k 是正整数, ? ? 0 , ? ? ( 0 ,

?
2

)。 统计发现该地区每年各月份从事游服务工作的人数有如下规

律: ①每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同 ②该地区从事游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差 400 人. ③2 月份该地区该地区从事游服务工作的人数约为 100 人,随后逐月递增到 8 月份达到最多 (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的的表达式 (2)一般的当该地区从事游服务工作的人数在 400 或 400 以上时,该地区也进入了一年中的旺季那么一年中 的哪几个月是该地区的旅游旺季,请说明理由.

2

15.若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x ? x0 为函数 f ( x ) 的一个不动点,已知 ,有互异的两个极值点,试判断是否存在实数组 ( a , b ) 使得 x 1 f ( x ) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 3( a , b 为常数) 和 x1 皆为不动点,并证明你的结论

16.已知数列 ?xn ?满足 xn? 2 ? 2 xn?1 ? xn , x1 ? 2 , x 2 ? 6 ,数列 ?xn ?满足 yn? 2 ? 2 yn?1 ? yn ,求证: 存在正整数 n0 ,使得对任意的 n ? n0 ,都有 xn ? yn

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