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空间中的平行与垂直关系(基础)


空间中的平行与垂直关系
【知识图解】 构成几何体 的基本元素 空间几何体 柱、锥、台、 球的特征 直 观 认识 线 面 平 行与 垂 直 表 面 积与 体 积 中 心 投影 与 平行投影

直 观 图与 三 视图的画法

平面的基本性质 点 、 线、 面 之 间 的位 置 关系

确定平面的位置关系 直线与直线的平行关系

空间中的平行关系

直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 直线与直线的垂直关系

空间中的垂直关系

直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质

【知识梳理】 一、平行

1、平行公理

2、构造三角形:

3、构造平行四边形:

4、线面平行性质:

5、面面平行性质:

1

6、线面平行判定:

7、面面平行的性质:

8、面面平行的判定 1:

9、面面平行的判定 2:

【典型例题】 例 1、正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 BA 1 , B1C 的中点,求证: EF // 面ABCD .

M ? AC , N ? FB 变式: 如图, 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面相交于 AB,
且 AM ? FN ,求证:MN//平面 BCE.
A F D

M

N

B

E

C

例 2、如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,PA=AD,E、F 分别是 AB、PD

的中点。 (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD。
F P

A E B C

D

2

例 3、2009 浙江理 20. (本题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E, F , O 分别为 PA ,

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE , 并求点 M 到 OA , OB 的距离.

练习: 1、 ( 2009 浙 江 卷 文 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , DC ? 平 面 ABC , EB / / DC ,

AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 , ?ACB ? 120 , P, Q 分别 为

AE, AB 的中点. (I)证明: PQ / / 平面 ACD ; (II)求 AD 与
平面 ABE 所成角的正弦值.

2 0 0 9 0 4 2 3

2、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

3

3、如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 是平行四边形.求证:AB∥平面 EFGH.

2013 安徽理(19)如图,圆锥定点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.50, AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 600. (1) 证明: 平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2) 求 cos∠COD

4 、点 P 是 平行 四边 形 ABCD 所 在的 平面 外一点 , E,F 分 别 是 PA,BD 上 的点 ,且

PE : EA ? BF : FD ,求证: EF // 面PBC.
P

E

D

C F

A

B

5、 (2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 A1 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
4

D1

C1 B1

E1 E A

D F

C B

6、2011 安徽理(17) (本小题满 分 12 分) (17) (本小题满分 12 分) 如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA=1, OD=2,⊿OAB, ⊿OAC, ⊿ODE, ⊿ODF 都是正三角形. (Ⅰ)证明直线 BC∥EF; (Ⅱ)求棱锥 F-OBED 的体积.

7、在四棱锥 P - ABCD 中,ABCD 是平行四边形,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1,试问在棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF//面 AEC?
P

E A

D

F B C

二、垂直 1、直角:三角形、四边形:特别是矩形、等腰梯形

5

2、勾股定理

3、线面垂直性质:

4、线面垂直判定:

5、面面垂直性质:

6、面面垂直性质: 例 4、 ( 广 州 2007 水 平 测 18 ) 如 图 3 , 在 底 面 是 菱 形 的 四 棱 锥 P ? ABCD 中, ?BAD ? 60? , PA ? PD , E 为 PC 的中点. (1)求证: PA // 平面 EBD ; (2)求证: ?PBC 是直角三角形.

变 式 练 习 : 底 面 是 矩 形 的 四 棱 锥 A? B C D E 中,面

ABC ? 面B C D , E AB=AC,BC=2,CD= 2 ,证明: AD ? CE .
A

B F

E

C

D

例 5、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB , 面A 1BC ? 面A 1 ABB 1 ,证明:BC ? A 1B .
A1 C1

B1

A B

C

6

例 6、 (2009 北京卷理) (本小题共 14 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC . 求证: BC ? 平面 PAC ;

例 7、 (2009 北京卷文) (本小题共 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. 求证:平面 AEC ? 平面PDB ;

例 8、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:BC1//平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B。

7

例 9、 (2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A 1B 、

D 在 B1C1 上, A1D ? B1C AC 1 的中点,点 。
求证: (1)EF∥平面 ABC;

? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD

2013 江苏 16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; S (2) BC ? SA .

E F A B

G C

练习:1、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角 形,∠PAC=∠PBC=90 ?

8

(Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。

2、 (2009 四川卷理)如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各条棱长都 相等, M 是侧棱 CC1 的中点,证明: AB 1 ? BM .

3、 (2010 北京理 16) (本小题共 14 分)如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面
9

互相垂直, CE ? AC EF // AC, AB ? 2, CE ? EF ? 1 ,. (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? BE ? D 的大小。

10


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