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【数学】1.3.2《函数的极值与导数》课件(人教A版选修2-2)


1.3.2函数的极值与导数

定义
一般地, 设函数

y
f ?(a) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0

?x ? 0
f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(b ? ?x) ? 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近 的所有的点,

都有

f ?(b ? ?x) ? 0
3

f ( x) ? f ( x0 ) 我们就说 f (x0)是 f (x)

-2

-1

1

2

f ?(b) ? 0
4

x

5

O

a

b

的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若 f ( x) ? f ( x ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极 0 小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值.

y
f (x3 )

f (x4 )

f ( x1 )

f (x2 )

O

a

x1

x2

x3

x4

b

x

观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值 (2)极大值不一定比极小值大 (3)可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0

例:y=x3 (4)极值反映了函数在某一点附近的大小 情况,刻画的是函数的局部性质。

练习1
下图是导函数 y ? f ?(x) 的图象, 试找出函数 y ? f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. y

y ? f ?(x)
x2 a x1 O x3 x x4 x5

x6

b

例1 求函数 f ( x) ?

1 3 1

x ? 4 x ? 4 的极值.
3

解:

因为 f ( x) ?

x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4.
3

2

3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 . 当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x f ?(x )

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

求解函数极值的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格
(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

下图是导函数 y ? f ?(x) 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y ? f ?(x) 有极大值?

x ? x2
(2)导函数 y ? f ?(x)有极小值?

x ? x1 或 x ? x4
(3)函数 y ? f (x)有极大值?

x ? x3
(4)函数 y ? f (x)有极小值?

x ? x5


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