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【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 专题04 数列的综合应用Word版含解析


第六章

专题四

1.(2014· 福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列,对应 的三边成等比数列,则三内角所成等差数列的公差等于( A.0 π C.6 π B.12 π D.4 )

解析:选 A 设三角形的三内角分别为 A,B,C,对应的边分别 π 为 a,b,c.令 A,B,C 成等差数列,a,b,c 成等比

数列,则 B=3, a2+c2-b2 1 π b =ac,∴cosB= 2ac =2,可推出 a=c=b.故 A=B=C=3,
2

公差为 0. 2.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个 命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

解析:选 D 设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列, 所以 p1 为真命题;若 an=3n-12,则满足已知,但 nan=3n2-12n 并 an 非递增数列,所以 p2 为假命题;若 an=n+1,则满足已知,但 n =1

1 +n是递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4nd+a1-d,它是递 增数列,所以 p4 为真命题.选 D. 3.(2014· 温州模拟)已知三个不全相等的实数 a,b,c 成等比数 列,则可能成等差数列的是( A.a,b,c C.a3,b3,c3 )

B.a2,b2,c2 D. a, b, c

解析:选 B 特值法求解,取 a=1,b=-1,c=1,则 a2,b2, c2 为 1,1,1,是等差数列,故选 B. 4.(2014· 海口质检)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1 且 a4+a5 1 a2,2a3,a1 成等差数列,则 =( a3+a4 1- 5 A. 2 C. 5-1 2 B. D. 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2 )

解析:选 B 据已知得 a3=a1+a2 所以 a1q2=a1+a1q,所以 q2 1+ 5 1± 5 =1+q,解得 q= 2 ,由于等比数列各项为正数,故 q= 2 , a4+a5 1+ 5 因此 =q= 2 .故选 B. a3+a4 5.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2-a2 6+2a10=0,首项 1 为8的等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn,若 b6=a6,则 S6=( A.16 63 C. 8 31 B. 8 63 D.16 )

2 解析:选 C 由 2a2-a2 6+2a10=0,∴4a6=a6.

∵a6≠0,∴a6=4.∴b6=4. 1 b6 又∵{bn}的首项 b1=8,∴q5=b =32.∴q=2.
1

1 8-4×2 63 ∴S6= = 8 .故选 C. 1-2 6.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动, 北海公园免费开放一天,早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来的 第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来, 第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟 内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去,到上午 11 时 30 分公园内的人数是( A.211-47 C.213-68 ) B.212-57 D.214-80

解析:选 B 由题意,可知从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每 个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出 来的人数构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,记第 n 个 30 分钟 内进入公园的人数为 an,第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn,则 an= 4×2
n-1

4?1-210? , bn=n, 则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S=2+ - 1-2

10×?1+10? 12 =2 -57. 2 故选 B. π 7.(2014· 襄阳五中月考)已知等差数列{an}中,a7=4,则 tan(a6+a7+a8)等于________. 3π 解析:-1 由等差中项性质得 a6+a7+a8=3a7= 4 ,故

3π tan(a6+a7+a8)=tan 4 =-1. 8.(2014· 广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列,前 三个数成等差数列,公差为 2,后三个数成等比数列,则这四个数的 和为________. ?a+2?2 解析: 14 或 21 依题意, 设这四个数依次为 a-2、 a、 a+2、 a ?a+2?2 4 (其中 a≥2,a∈N ).由 a≥2,a∈N ,且 a =a+a+4∈N,得
* *

a 是 4 的不小于 2 的正约数,因此 a=2 或 a=4.当 a=2 时,这四个 数依次为 0、2、4、8,此时这四个数的和等于 14;当 a=4 时,这四 个数依次为 2、4、6、9,此时这四个数的和等于 21. 9.(2014· 衡水中学月考)定义运算:?
?a ?c

b? ?=ad-bc,若数列{an} d?

?a1 满足? ?2

1 2

? ?3 ?=1 且?a ? n 1?

?=12(n∈N*),则 a3=________,数 an+1?

3 ?

列{an}的通项公式为 an=________. 解析:10,4n-2 由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12,即 a1=2, an+1-an=4. ∴{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10. 10.(2014· 苏州中学调研)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an+1=3Sn(n=1,2,3,?),则 log4S10=________. 解析:9 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2).两式相减得 an+1-an an+1 =3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,即 a =4. n ∴{an}从第 2 项起是公比为 4 的等比数列.

当 n=1 时,a2=3S1=3, ∴当 n≥2 时,an=3×4n-2, S10=a1+a2+?+a10 =1+3+3×4+3×42+?+3×48 =1+3(1+4+?+48) 1-49 =1+3× =1+49-1=49. 1-4 ∴log4S10=log449=9. 11.(2013· 湖北高考)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2, S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件 的所有 n 的集合;若不存在,说明理由. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.
?S2-S4=S3-S2, ? 由题意得? ? ?a2+a3+a4=-18,
2 3 2 ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ?a1q?1+q+q ?=-18, ?

?a1=3, ? 解得? ? ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n-1. 3· [1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013, 则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.

当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,解得 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n =2k+1,k∈N,k≥5}. 12.在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2 1 -x2=1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an· bn,求证:cn+1<cn. (1)解:由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1, ∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明:∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上, 1 ∴Tn=-2bn+1,① 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2),② 1 1 ①-②得 bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3 1 1 1 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1.令 n=1,得 b1=-2b1+1, 2 2 1 ∴b1=3,∴数列{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列. 2 ?1?n-1 2 ? ? = n. (3)证明:由(2)可知 bn=3· 3 3
? ?

2 ∴cn=an· bn=(n+1)· 3n, 2 2 ∴cn+1-cn=(n+2)·n+1-(n+1)· 3n 3 = 3
n+1[(n+2)-3(n+1)]= n+1(-2n-1)<0,

2

2

3

∴cn+1<cn. 13.(2014· 南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行 依次成等差数列, 各列依次成等比数列, 且公比都相等. 已知 a1,1=1, a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 ? a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 ? a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 ? a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 ? ? ? ? ? ?

(1)求数列{an,2}的通项公式; a1,n (2)设 bn= +(-1)na1,n,n=1,2,3,?,求数列{bn}的前 n 项 an,2 和 Sn. 解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 d,第一列依次组 成的等比数列的公比是 q(q>0), 则 a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8, 解得 d=1,q=2,所以 a1,2=2?an,2=2×2n-1=2n. n (2)由(1)知 a1,n=n,所以 bn=2n+(-1)nn,

3 n? ?1 2 Sn=?2+22+23+?+2n?+[-1+2-3+?
? ?

+(-1)nn], 1 2 3 n 记 Tn=2+22+23+?+2n, 1 1 2 3 n 则2Tn=22+23+24+?+ n+1, 2 n+2 1 1 1 1 1 n ①-②得2Tn=2+22+23+?+2n- n+1=1- n+1 , 2 2 n+2 所以 Tn=2- 2n , n+2 n 所以当 n 为偶数时,Sn=2+2- 2n ; n+1 n+2 当 n 为奇数时,Sn=- 2 +2- 2n . 14.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生 产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第 1 年的维护 费用是 4 万元,从第 2 年到第 7 年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第 8 年开始,每年的维护费用比上年增加 25%. (1)设第 n 年该生产线的维护费用为 an,求 an 的表达式; ① ②

(2)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要 更新生产线,求该生产线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年 年初需要更新该生产线? 解:(1)由题知,当 1≤n≤7 时,数列{an}是首项为 4,公差为 2 的等差数列, 故 an=4+(n-1)×2=2n+2. 当 n≥8 时,数列{an}从 a7 开始构成首项为 a7=2×7+2

5 =16,公比为 1+25%=4的等比数列,
?5? 则此时 an=16×?4?n-7, ? ?

?2n+2,1≤n≤7, 故 an=? ?5?n 7 ? ? ,n≥8. 16 × ? ?4?


(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 当 1≤n≤7 时,Sn=4n+ n?n-1? 2 × 2 = n +3n, 2

?5? 1-?4?n-7 5 ? ? 当 n≥8 时,由 S7=70,得 Sn=70+16×4× 5 1-4 ?5? =80×?4?n-7-10, ? ?

故该生产线前 n 年每年的平均维护费用为 n+3,1≤n≤7 ? S ?5? = ? ? -10 80 × ? n ?4? ,n≥8 ? n
n n-7

?Sn? 当 1≤n≤7 时,? n ?为递增数列, ? ?

当 n≥8 时,因为

Sn+1 Sn - = n+1 n

?5? 80×?4?n-6-10 ? ?

n+1



?5? 80×?4?n-7-10 ? ?

n



?5? ?n ? ? -1?+10 80×?4?n-7· ? ? ?4 ? >0, n?n+1?

所以

S n +1 S n ?Sn? > n ,故? n ?也为递增数列. ? ? n+1

5 80×4-10 S7 S8 又 7 =10<12, 8 = =11.25<12. 8
?5? 80×?4?2-10 S9 ? ? = ≈12.78>12, 9 9

故第 9 年年初需更新生产线.


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