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河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学(文)试题 Word版含答案


★2013 年 5 月 20 日★

新县高级中学 2013 届高三第三轮适应性考试数学(文)试题
命题人:马海游 审题人:吴元锋(总分:150 分 时间:120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上。

) 1.若集合 S={ x | log 2 ( x ? 1 ) ? 0 },T={ x |( 2 ? x ) ? ( 2 ? x ) ? 0 },则 S ? T 等于( A. (-1,2) 2.若复数 A.3 B. (0,2) C. (-1, ?? ) D. (2, ?? ) ) )

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1 C.

1 3

D. ?

1 2

3. 下列说法错误的是 A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B. “x>1” 是 “|x|>1” 的充分不必要条件 C..若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.命题 p:“?x0∈R,使得 x0+x0+1<0”,则 ? p :“?x∈R,均有 x +x+1≥0”
2 2

4.已知 {an } 等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 A. ?

? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为
C.

1 2

B. ?

3 2

1 2

D.

3 2

5.已知双曲线

3 x2 y2 的直线与双曲线 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为F,若过点F且斜率为 2 3 a b
) D. 2 3

的渐近线平行,则此双曲线的离心率为( A.

2 3 3

B.

3

C. 2

?2 x ? y ? 4 6. 设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? y ? ?x ? 2 y ? 2 ?





A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

7. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2

8.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不重合的平面, 给定下列四个命题,其中真命题的是 ( )

① m ? n , n ? ? ,则 m ? ? ; ② a ? ? , a ? ? ,则 ? ? ? ; 若 若 ③ m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; 若 A.① 和② B.② 和③ ④ m ? ? , n ? ? , ? // ? 则 m // n 。 若 D.① 和④

C.③ 和④

9 . 函 数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( x ? R), ( w ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图像如图所示,如果

x1 , x 2 ? (?
1 A. 2

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 6 3
2 B. 2 3 C. 2

y
1
?

D.1

10.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则 PA ? ( PB ? PC) A.

???? ?

? O
6

?
3

x

??? ??? ??? ? ? ?
C. ?

等于(

) D. ?

4 9

B.

4 3

4 3

4 9

11.如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形 的顶点为圆心,半径为

a 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 2


上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是 ( A. 1 ?

? 4

B.

? 4

C. 1 ?

? 8

D.与 a 的取值有关

12. 已 知 函 数

f ( x) 满 足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且 f ( x) 是 偶 函 数 , 当 x ??0,1? 时 ,

f ( x) ? x2 ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有4个零点,则实数 k 的取
值范围是 A. ?

?1 1 ? , ? ?4 3?

B. ? 0,

? ?

1? ? 2?

C. ? 0,

? ?

1? ? 4?

D. ?

?1 1? , ? ?3 2?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案答在指定的位置上) 13. 设 OA ? (1,?2),OB ? (a,?1),OC ? (?b,0), a ? 0, b ? 0 ,O 为坐标原点,若

AB ∥

AC ,则

1 2 ? 的最小值是 a b



14 . 下 图 是 某 算 法 的 程 序 框 图 , 则 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果 是 _________ 。

15. 在

?ABC 中 , a, b, c分别为角A,B,C所对边长,若a ? c ? 2b且 sin B ? 4 则 当
5
2

?ABC 的面积为 3 时, b ?
16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥 底面面积是这个球面面积的 _________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 2(Sn ? an ) ? Sn ? 3(n ? N*) 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn = an sin

3 ,则这两个圆锥中,体积较小的高与体积较大的高的比值为 16

n? ,求 {bn } 的前 24 项和。 2

18. (本小题满分 12 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费

6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二
人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (1) 若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为

1 5 , 停车付费多于 14 元的概率为 , 3 12

求甲停车付费恰为 6 元的概率; (2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的 概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形, PD = DC , E , F 分别是 AB , PB 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD ; (2)求证: EF ? CD ; (3)设 PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

1 x y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? , 右 焦 点 到 直 线 ? ? 1 的 距 离 2 2 a b a b

d?

21 , O 为坐标原点。 7
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明点 O 到直线

AB 的距离为定值. 并求出定值
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? ln x . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g ( x ) ?

1 x

e ,若在 ?1,e? 上至少存在一点 x0 ,使得 x

f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
选做题:请考生在第 22、24 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点, AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. A O · E B M · F G D

GF EF 2 (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; (2)求证: ? . AG CE 2
23.已知直线 C1:

C ? x ? 1 ? t cos a ? x ? cos? t 为参数) C2: ? (θ 为参数). ’ ( ,曲线 ? ? y ? t sin a ? y ? sin ?

(I)当 a=

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(II)过坐标原点 0 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 , g( x) ? x ? a (Ⅰ)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x ) ? g( x ) ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? g( x ) 成立,求实数 a 的取值范围.

新县高中 2013 届高三年级第三轮适应性考试(三)试题

数学(文)答案
二.填空题:13.【答案】8 三、解答题: 14. 【答案】3 15.【答案】2 16. 【答案】

1 3

(18) 解 析 】 【 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ? ( ? ………………1 分

1 1 5 1 ) ? .所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . ………4 分 4 3 12 4
………6 分

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形. ………8 分
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意.………………10 分 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ?

4 1 ? . 16 4

…………12 分

. (20) 【解析】解: (I)由 e ?

1 c 1 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 2 a 2

(21) 解 析 】 【 (Ⅰ)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ?

1 ? ln x , f (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 . x

1 1 ? , x2 x 曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? x ? 1 , 即 y ? x ?1. f ?( x) ? 1 ?
(Ⅱ) f ?( x) ? a ?
2

???4 分

a 1 ax ? x ? a ? ? . x2 x x2 ' 要使 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数,只需 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立. x 1 2 即: ax ? x ? a ? 0 得: a ? 恒成立. ? 2 1 1? x x? x

由于 x ?

1 ? 2 ,∴ x

1 x? 1 x

?

1 2

,∴ a ?

1 2 1 2
???8 分

∴ f ( x) 在 (0, ??) 内为增函数,实数 a 的取值范围是 [ , ??) .

22. 【 解 析 】 证明: (1)连结 AB , AC ,

AD ? ∵ 为 ?M 的直径,∴ ABD ? 90 ,
0

? ∴AC 为 ?O 的直径, ∴ CEF ? ?AGD , ? ? ∵ DFG ? ?CFE ,∴ ECF ? ?GDF , G ? ∵ 为弧 BD 中点,∴ DAG ? ?GDF , ? ? ∵ ECB ? ?BAG ,∴ DAG ? ?ECF ,
? ? ∴ CEF ∽ AGD ,∴

CE AG ? , EF GD
??????5 分

? AG ? EF ? CE ? GD

(2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G ,

? ? DG ? AG? , GF ∴ DFG ∽ AGD ,∴
2

由(1)知

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? ,∴ . CE 2 AG 2 AG CE 2

??????10 分

24. 【解析】 解:(Ⅰ)当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? g( x ) 得 2 x ? 1 ? x ,两边平方整理得 3 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 解得 x ? ?1 或 x ? ?

1 1 ∴原不等式的解集为 (??, 1] ? [? , ?) ?????????? ? ? 3 3
5分

(Ⅱ)由 f ( x ) ? g( x ) 得 a ? 2 x ? 1 ? x ,令 h( x) ? 2 x ? 1 ? x ,则

1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? h( x ) ? ? 3 x ? 1,? ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?
????????? ? 7分 故 h( x )min ? h(? ) ? ? 从 而 所 求

1 2

1 , 2
实 数

a



范 10 分





a??

1 2

??????????

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