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圆锥曲线高考复习 教师版


让学习成为一种习惯!

1、已知离心率为

x2 3 的椭圆 C1 的顶点 A1 , A2 恰好是双曲线 ? y 2 ? 1 的左右焦点,点 P 是椭圆上不同于 A1 , A2 的任 2 3

意一点,设直线 PA1 , PA2 的斜率分别为 k1 , k 2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)试判断 k1 ? k 2 的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论; (Ⅲ)当 k1 ?

4 5 1 2 2 时,圆 C 2 : x ? y ? 2mx ? 0 被直线 PA2 截得弦长为 ,求实数 m 的值。 5 2

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 (?2,0) 解: (Ⅰ)双曲线 3
即 A1 , A2 的坐标分别为 (?2,0), (2,0) . 所以设椭圆 C1 的标准方程为 ………………………1 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a ? 2 ,……………………2 分 a2 b2
………………………4 分

且e ?

3 c 2 2 2 ,所以 c ? 3 ,从而 b ? a ? c ? 1 , ? 2 a

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆 C1 的标准方程为 4 1
2 2

………………………5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y 0 ) 则

x0 y x 4 ? x0 2 ? 0 ? 1,即 y 0 ? 1 ? 0 ? 4 1 4 4
2
2

2

……………………6 分

y y0 ? 0 y0 ? 0 1 ? 20 ? ? . ………………………8 分 k1 ? k 2 ? ? x0 ? (?2) x0 ? 2 x 0 ? 4 4
所以 k1 ? k 2 的值与点 P 的位置无关,恒为 ?

1 。 ………………………9 分 4
2 2 2

(Ⅲ)由圆 C 2 : x ? y ? 2mx ? 0 得 ( x ? m) ? y ? m ,
2 2

其圆心为 C 2 (m,0) ,半径为 m , 由(Ⅱ)知当 k1 ?

………………………10 分

1 1 时, k 2 ? ? , 2 2 1 故直线 PA2 的方程为 y ? ? ( x ? 2) 即 x ? 2 y ? 2 ? 0 , ………………………11 分 2

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所以圆心为 C 2 (m,0) 到直线 PA2 的距离为 d ?

m ? 2?0 ? 2 12 ? 2 2

?

m?2 5



又由已知圆 C 2 : x ? y ? 2mx ? 0 被直线 PA2 截得弦长为
2 2

4 5 及垂径定理得 5

圆心 C 2 (m,0) 到直线 PA2 的距离 d ?

m2 ? (

2 5 2 ) , 5

所以 m ? (
2

m?2 2 5 2 ) ? , 即 m 2 ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 或 m ? 1 。 5 5
………………………13 分

所以实数 m 的值为 1 或 ? 2 .

………………………14 分

?x ? 0 ? 2 2 2 2、已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 及其内部所覆盖. ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
(1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部, 且△ OPQ 是直角三角形, ……………………………………………3 分 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 , 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 . ……………………………7 分
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . ……………………………………………8 分 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?
?

10 , ………………… 10 分 2

| 2 ?1 ? b | 1 ?1
2 2

10 2

…………………………………………………11 分 ……………………………13 分

解得: b ? ?1 ? 5 .

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 ……………………14 分
2 N 3、 在平面直角坐标系中, 已知点 P(1, ?1) , 过点 P 作抛物线 T0 : y ? x 的切线, 其切点分别为 M ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 )

(其中 x1 ? x2 ) . (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值; (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (Ⅲ)过原点 O(0,0) 作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC , BD ,求四边形 ABCD 面积的最大值. 解析: (Ⅰ)由 y ? x 可得, y? ? 2 x . --------------------------------1 分
2

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x12 ? 1 ∵直线 PM 与曲线 T0 相切,且过点 P(1, ?1) ,∴ 2 x1 ? ,即 x12 ? 2 x1 ? 1 ? 0 , x1 ? 1
∴ x1 ?

2? 4?4 ? 1 ? 2 ,或 x1 ? 1 ? 2 , 2

-------------------------------3 分

同理可得: x2 ? 1 ? 2 ,或 x2 ? 1 ? 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .

--------------------------------4 分 --------------------------------5 分

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 ,--6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?1 ,则直线 MN 的斜率 k ? x1 ? x2 x1 ? x2

∴直线 M 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x12 ,
2 ∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x12 ? x1 x2 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .--------------------------------7 分

∵点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即 r ? 故圆 E 的面积为 S ? 4? r 2 ? 4? ? (Ⅲ)四边形 ABCD 的面积为 S ?

| 2 ? 1 ? 1| 4 , --------------------8 分 ? 4 ?1 5
--------------------------------9 分

16 64 ? ?. 5 5

1 AC g BD 2

不妨设圆心 E 到直线 AC 的距离为 d1 ,垂足为 E1 ;圆心 E 到直线 BD 的距离为 d 2 ,垂足为 E2 ; 则 AC ? 2 r ? d1 , BD ? 2 r ? d 2 ,
2 2 2 2
2

--------------------------------10 分 --------------------------------11 分

2 2 2 2 由于四边形 EE1OE2 为矩形.且 d1 ? d 2 ? OE ? (1 ? 0) ? (?1 ? 0) ? 2

所以 S ?

1 2 AC g BD ? 2 r 2 ? d12 g r 2 ? d 2 2

由基本不等式 2ab ? a 2 ? b2 可得
2 2 S ? ( r 2 ? d12 )2 ? ( r 2 ? d 2 )2 ? 2r 2 ? (d12 ? d 2 ) ?

22 ,当且仅当 d1 ? d 2 时等号成立. 5

----------14 分

4、已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若 EM ?FN ? 0 ,求 MN 的最小值. (1)解:设点 P ? x , y ? ,

???? ??? ? ?

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依题意,有

?x ? 2?

2

? y2

x?2 2

?

2 . 2

整理,得

x2 y 2 ? ? 1. 4 2 x2 y 2 ? ? 1. 4 2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为

(2)解:∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, ∴点 E 的坐标为 ? 2, 0 . ∵ M 、 N 是直线 l 上的两个点, ∴可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2 (不妨设 y1 ? y2 ) . ∵ EM ?FN ? 0 , ∴ 3 2, y1 ?

?

?

?

?

?

?

???? ??? ? ?

?

??

2, y2 ? 0 .

?

即 6 ? y1 y2 ? 0 .即 y2 ? ?

6 . y1

由于 y1 ? y2 ,则 y1 ? 0 , y2 ? 0 . ∴ MN ? y1 ? y2 ? y1 ? 当且仅当 y1 ?

6 6 ≥2 y1 ? ?2 6. y1 y1

6 , y2 ? ? 6 时,等号成立.

故 MN 的最小值为 2 6 . 5、已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ?1? ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的 取值范围。

a2 ?1 ? 2 2 2

? 3 ,解得 a 2 ? 3
x2 ? y2 ? 1 3

……………………4 分 ……………………5 分

故所求椭圆的方程为

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?直线与椭圆相交,?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m 2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ①……8 分
2

?y ? kx? m ? 2 2 2 (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3

? xP ?
? k AP

xM ? xN 3mk m 从而 yP ? kxP ? m ? 2 ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 y ?1 m ? 3k ? 1 ? P ?? 又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则 xP 3mk

m ? 3k 2 ? 1 1 2 即 2m ? 3k ? 1 ② …………………………10 分 ? ?? 3mk k 2 把②代入①得 m ? 2m 解得 0 ? m ? 2 …………………………12 分 2m ? 1 1 2 由②得 k ? ? 0 解得 m ? . ……………………………………13 分 2 3 1 综上求得 m 的取值范围是 ? m ? 2 ……………………………………14 分 2 1 6、已知椭圆 C 的中心在坐标系 xOy 的坐标原点,离心率为 ,一个焦点为 F (?1 , 0) . 2 ⑴求椭圆 C 的方程;
⑵设 Q 是椭圆 C 上一点,直线 FQ 与 y 轴相交于点 M ,若 MQ ? 2QF ,试求直线 FQ 的方程.

x2 y2 c 1 ⑴依题意,设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ……1 分,e ? ? ,c ? 1 ……3 分,所以 a ? 2 ,b ? 3 …… a 2 a b
5 分,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ……6 分. 4 3

⑵设 M (0 , m) , Q( x0 , y 0 ) ,因为 MQ ? 2QF ,所以 ( x0 , y 0 ? m) ? 2(?1 ? x0 , ? y 0 ) ……8 分,所以 x0 ? ?2(1 ? x0 ) , y 0 ? m ? ?2 y 0 ……9 分, x0 ? ? 所以

2 m , y 0 ? ……10 分, Q( x0 , y 0 ) 在椭圆上, 3 3

x y 1 2 1 m2 ? ? 1 ……14 分. ? (? ) 2 ? ? 2 ? 1 ……11 分,解得 m ? ?2 6 ……12 分,直线 FQ 的方程是 ?1 ? 2 6 4 3 3 3
7、已知椭圆 M :
x2 y 2 | x |? 2 内,向 ? 内随 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0)的面积为 ?ab ,且 M 包含于平面区域 ? : | y |? 3 a 2 b2
π . 4

?

机投一点 Q,点 Q 落在椭圆 M 内的概率为 (Ⅰ)试求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若斜率为

1 3 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点,点 P(1, ) 为椭圆 M 上一点,记直线 PC 的斜率为 k1 ,直线 2 2 PD 的斜率为 k 2 ,试问: k1 ? k2 是否为定值?请证明你的结论.

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解: (Ⅰ)平面区域 ? : ?

?| x |? 2 ?| y |? 3

是一个矩形区域,如图所示.

………2 分

π 依题意及几何概型,可得 ? , 8 3 4
…………………………………3 分 即 ab ? 2 3 . 因为 所以,

πab

y
y? 3
O

x
x?2

0 ? a ? 2,0 ? b ? 3 , a ? 2, b ? 3 .

y?? 3 x ? ?2

……………………………………5 分

x2 y2 ? ?1 所以,椭圆 M 的方程为 4 3
( Ⅱ ) 设 直 线 l 的 方 程 为 : y? 联立直线 l ? 的方程与椭圆方程得:

……………………………………6 分

1 x?b , 2
y? 3

y P

C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 )

1 ? y ? x ? b ?? (1) ? ? 2 ? 2 2 ? x ? y ? 1?? (2) ?4 3 ?
(1)代入(2)得: 3x ? 4( x ? b) ? 12
2 2

l?
O

D

x

y?? 3

C
x?2
……………8 分

1 2

x ? ?2

化简得: x ? bx ? b ? 3 ? 0 ………(3)
2 2

当 ? ? 0 时,即, b ? 4(b ? 3) ? 0
2 2

也即, b ? 2 时,直线 l ? 与椭圆有两交点, 由韦达定理得: ?

? x1 ? x 2 ? ?b
2 ? x1 ? x 2 ? b ? 3



………………10 分

3 1 3 3 1 3 x1 ? b ? y2 ? x2 ? b ? 2 ? 2 2, k ? 2 ? 2 2 所以, k1 ? 2 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 1 3 1 3 x1 ? b ? x2 ? b ? 2 ?2 2 ? x1 ? x 2 ? (b ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? 2b 则 k1 ? k 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

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b 2 ? 3 ? (b ? 2)( ?b) ? 3 ? 2b ? ?0 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
所以, k1 ? k 2 为定值。

……………13 分

……………14 分

8、设椭圆 C :

???? ???? ? ? x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一点, AF2 ? F1 F2 ? 0 ,坐标原点 O 2 a 2

到直线 AF1 的距离为

1 OF1 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点, N (?1,0) ,连接 QN 的直线交 y 轴于点 M ,若 MQ ? 2 QN ,求直线 l 的斜率. 解: (1)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?
2 2

2

由于 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F1 F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a 2 ? 2, ? ) 故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

2 a

1 ? ) a a ?2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为

a2 ? 2 a2 ?1
解得: a ? 2

又 OF1 ?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ?2 a2 ?1 3

所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

-----------7 分

(2) 由题意可知直线 l 的斜率存在, 设直线斜率为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则有 M (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) , 由于 Q 、 N、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QN

2 ? x1 ? ? ? x1 ? ?2 ? ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,解得 ? 或? y1 ? ? k ? k ? y ? ? 1 3 ?

2 k (? ) 2 ( ) 2 (?2) (?k ) ? ? 1或 3 ? 3 ? 1 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2 4 2
2 2

解得 k ? 0, k ? ?4 ,综上,直线 l 的斜率为 0 或 ? 4 .-----------14 分

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8、已知点(x, y) 在曲线 C 上,将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程 x ? y ? 8 ;
2 2

定点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解: (1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x ? y ? 8 上.
2 2

… 3分

所以有 x ? (2 y ) ? 8 .
2 2

整理得曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ………… 6 分 8 2
1 , 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 K OM ? ∴直线 l 的方程为 y ?

1 x ? m. 2

………………………………9 分

1 ? ? y ? 2 x ? m, ? 由? 2 , 2 ? x ? y ? 1. ?8 2 ?

得 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0

………… 10 分

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, ∴ ? ? (2m) ? 4(2m ? 4) ? 0,
2 2

………… 12 分

解得 ?2 ? m ? 2且m ? 0 . ∴m 的取值范围是 ?2 ? m ? 0或0 ? m ? 2 . ………… 14 分

9 、 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 离 心 率 为 (

2 ,且椭圆经过圆 C: 2

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 2 y ? 0 的圆心 C。
(1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程。 解: (1)圆 C 方程化为: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 6 ,
2 2

圆心 C (2, ? 2), 半径r ?

6 ………………………………………………………1 分

设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则……………………………………..2 分 a 2 b2

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?4 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ?a 2 ? 8 ? ? ?? 2 .............................................................5分 ? b 2 2 2 ?b ? 4 ? ?1 ? ( ) ? ( ) ? a 2 ?
所以所求的椭圆的方程是:

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………….6 分 8 4

(2)由(1)得到椭圆的左右焦点分别是 F1 (?2, 0), F2 (2, 0) ,

| F2C |? (2 ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 ? r ? 6
F2 在 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线……………………………………………….8 分
设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2),即kx ? y ? 2k ? 0 ……………………………………….9 分 点 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d ?

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

,

由d ?

6, 得
2

| 2k ? 2 ? 2k | 1? k 2

= 6 …………………………………………….11 分

化简得: 5k ? 4 2k ? 2 ? 0 解得: k ?

2 或k ? ? 2 …………………………………………………………13 分 5

故 l 的方程为 2 x ? 5 y ? 2 2 ? 0或 2 x+y ? 2 2=0 ……………………………14 分 10、已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y ? ?2 相切. (I)求动圆圆心的轨迹C的方程; (II)若 A B 是轨迹 C 的动弦,且 A B 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线,设两切线交点为 Q,证 明: AQ ? BQ .

解: (I)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y ? ?2 为准线的抛物线上……2 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x ? 8 y ………………….5 分
2

(II)?直线AB与x轴不垂直, 设AB : y ? kx ? 2. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). …………….6 分

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? y ? kx ? 2, ? 2 由? 1 2 可得 x ? 8kx ? 16 ? 0 , ?y ? 8 x . ?
抛物线方程为 y ?

x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?16 ………8 分

1 2 1 x , 求导得y ? ? x. 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 8 4 1 1 1 1 1 k1 ? x1 , k2 ? x2 , k1 ? k2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1 4 4 4 4 16

所以, AQ ? BQ 11、已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B,过 F,B,C 三点作 ? P ,其中 b2

圆心 P 的坐标为 (m, n) . (1) 若 FC 是 ? P 的直径,求椭圆的离心率; (2)若 ? P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程. 解: (1)由椭圆的方程知 a ? 1 ,∴点 B(0, b) , C (1,0) 设 F 的坐标为 (?c,0) , ∵FC 是 ? P 的直径,∴ FB ? BC ∵ k BC ? ?b, k BF ?
2 2



b c
2

∴ ?b ?

b ? ?1 -------------------------2 分 c

∴ b ? c ? 1 ? c , c ? c ? 1 ? 0 -------------------------------------------------3 分 解得 c ?

5 ?1 -----------------------------------------------------------------------5 分 2 c 5 ?1 ? ---------------------------------6 分 a 2

∴ 椭圆的离心率 e ?

(2)∵ ? P 过点 F,B,C 三点,∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上,FC 的垂直平分线方程为

1? c --------①-----------------------------------7 分 2 1 b ∵BC 的中点为 ( , ) , k BC ? ?b 2 2 b 1 1 ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) -----②---------------------9 分 2 b 2 x?
由①②得 x ?

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,y? ,n ? ,即 m ? --------------------11 分 2 2b 2 2b

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∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ ∵1? b ? 0
2 2

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 2 2b

∴ b ? c --------------------------------------------------13 分

由 b ? 1 ? c 得 b2 ?
2

1 2
2

∴椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1 ------------------------------------------------------------------14 分


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