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用柯西不等式求条件最值


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中学数 学研 究 

2 0 0 3年 第 l 1 期 

用 柯 西 不 等 式 求 条 件 最 值 
江 苏省 南通 市 小海 中学
在 高 中各级数学 竞赛 中, 柯西不 等式均是 


( 2 2 6 0 1

5 )   曾  荣 
解g i t f ,   +b   +c   =   1 ( 1   +1   +1 2 ) ( 口   +b  
+c 2 ) ≥  ( 1 ×口+1 ×b+1 ×c ) 2  
=  

个重 要 内容 , 它对于 不等式 的证 明及 函数最 

值 求解都有着重要 的作用 . 而在平时学习 中 , 柯  西不等式 ( 这里仅研究 n= 2 , 3 时 的情 形 ) 如作 
为一个研究性课题 , 用来 扩充学生 的知识面 , 对  于学生数学学 习能力 的提 高也有着很好 的帮 助 

1 ( 口 + b + c )   = 号 .  
. 

当且仅当 口 =b = c = 詈时, 口   +6 2 +c   取 
gt l : ] ] q l t 4 例 2 已知 t / , , b E   R, 且 t / , + ’ b +1 = 0 , 求( t / ,  


作用. 本 文重点介 绍如 何用柯西 不等式 求条件 
最值 .   柯西不等式 1 . 设 t / , 1 、 t / , 2 、 b 1 、 b 2 ∈ R, 则 

2 )   +( b 一3 )  的最小值 . ( 9 9 年“ 希望 杯” )   解: ( 口 一2 )   +( b 一 3 )   =   1( 1   +1 2 ) [ ( 口一  

( I I 1 b 1 +a 2 b 2 )   ≤( 口 } +口 i ) ( 6 } +6 i ) ,  
当且仅 当 口 1 : b 1 =口 2 : b 2 时等号成立 ;  
2 . 设 口 1 、 口 2 、 口 3 、 b 1 、 b 2 、 b 3 ∈R,  

2 )   +( b一3 )   ] ≥[ 1 ×( t / , 一2 )+1 ×( b一3 ) 3 2 =  

则( 口 1 b 1 +a 2 b 2 +口 3 b 3 )   ≤( 口 } +口 i +口 ; ) ?  
( 6 } +6   +6 ; ) ,  
当且仅 当 口 1 : b 1 =口 2 : b 2 =口 3 : b 3 时 等号成 
立 .  

{( 口 + 6 — 5 )   = 1 8 .  
当且仅 当 t / , =一1 , 6= 0时 , ( t / , 一2 )   +( 6  


3 )   取得最 小值 1 8 .   例 3 设 扒Y 、 : ∈R  , 且  +Y+名 =1 , 求 




柯 西不等式 的证 明方法 很多 , 本 文介 绍一 
种 向量 证 法 .  

+   :   的最 小值 .  

证明 : ( 1 ) 构造 向量  =( t / , 1 , a 2 ) , 苫=( b 1 ,  
6 2 ) , ? . ?  ? - g=I  I . I - gI c o s 0 ,  
? . .

解 :   + 号 v  z + 詈   = (   + ’ , + : ) ( ’  + %  V 号   +  
詈 ) = [ (  )   + (  )   + (  )   ] [   )   +  

I  - 一 b   l ≤ I   卜 I   I ,  

? . .

( I I 1 b 1 +a 2 b 2 )   ≤( 口 } +口 i ) ( 6 } +6 i ) ;  

q f   - 4 r )   +   ) 2 ] ≥ (   +  
3 6 .  

( 2 ) 构 造 向量 - d=( 口 1 , 口 2 , a 3 ) , 苫=( b 1 , b 2 ,  

b 3 ) , ? . ? - d ? - g =I - dI . I - g I c o s O  . I  ? 苫 I ≤I - d I .  

I - g l , . ? . ( I 1 , 1 b 1 +a 2 b 2 +口 3 b 3 )   ≤( 口 } +口 i +口 ; ) ?   ( 6 } +6 i +砖) .  


当且仅 当  =   1,’ , =

{ , : =   时 ,  + 号  

+   取得最小值 3 6 .  
二、 求最大值 



求 最 小 值 

伪1  若 0 <口 , b , c <1 , 且 口+b +c = 2 ,   则 口   +b   +c   =的最 小 值 是  年。 希望 杯” )   . ( 9 8  

倒 4 设 实 数 m、 n 、  、 y满 足 m +n   =t / , ,  

+ , , 2 = 6 , 则撇 +   的 最大值为 (  
年“ 希望杯 ” )  
?

) . ( 0 0  
29 ?  

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2 O O 3年 第 1 1 期 
( A)   (  

中学数 学研 究 

+  
? . .

c ( √  

c √  

( c   / 垒  
a b ’ . - . m x+   ≤  

( D ) v / - -  ̄ -  
, 故选 ( D) .  

( \ / 南)   ] = l   x   2 = 2 .  
? ‘ ’   南 +   南 + _ 。 南 ≤     佗 . ‘  
当且仅 当  =, , == =   时,   +   +  
( 9 7年 

解: ? . ? ( , n   +   )   ≤( , 7 I   +/ t 2 ) (   +, , 2 ) =  
例 5 如果 口+6+c =1 , 那么 v 厂  

v 厂  

+v 厂 而

的最 大 值 是
+  


— —

+-  取得最大值厂 2 .  
三、 其 它 

“ 希望杯 ” )   解: (  
× ̄ , -  

+   +1 ×、 /  

i )  = ( 1   )  


+1 × ̄ /  

例 7 实数. 茹 、 , , 满足方程  +, , 2 气  一 4 y  
)  +  

≤( 1 2+1   +1 2 ) [ (   (  
- .

)  +(  
+   ≤3  

9 , 则 ,=2 x一 3 , , 的最大 值 与最小 值 的 和等 
. ( 9 9 年“ 希望 杯” )   解: 方程可配方为 : (  一3 )   +( , , +2 )   = 4 ,  

)   ] = 3 ( 3 a+ 3 b + 3 c +3 ) =1 8 ,  
. 

于 

+ 

.  

当且 仅 当 口=6=c =   时, v 厂  

+  

? .



4 =(  一3 ) 2 +( , , +2 )   =   2 2 +( 一 3 )   ]  
2 (   一3 ) 一3 ( , , +  

+  

取得最大值 3  .  
互 +  

(   一3 )  +( , , +2 )  

例 6 已知 趴 y 、 = ∈尺  , 且 


2 ) ]   =   ( 2  一 3 y一1 2 )   ,  
?


南 = 2 , 求   +   +   1 + 一 z 2 的 最 大  



( 2 x一3 y一1 2 )   ≤5 2 ,  
1 2一 、 /   ≤ 2  一3y<  ̄1 2+ 、 /   .  

?




值.  


? . 

m .  +  

=( 1 2+√5 2 ) +( 1 2 一√5 2 )  


解 : 由 题 意 易 知 :   _+ 1  l -+ 南 =  
’ ?

2 4.  

纵观 以上各例 , 在 利用柯西不等式放缩前 ,  

( 南 + 南 + 南 )  
:  

对所求 最值式 都进行 了适 当变形 , 目的都是 为 
了构造 出柯 西不等 式适合 的条件 , 其 中不 乏一 

属 +   属 +   些高难 度 的技巧 , 像例 6 、 例7 那样, 但 只要 我 
c   c   z  
们 在 教 学 中有 针 对 性 地 进 行 渗 透 , 即可 收 到 很  
好 的 效果 .   .  

证 明分 式 不 等 式 的 关键 是 去 分 母 
苏 州市 第一 中学  ( 2 1 5 0 0 6 )   刘祖 希 
文E 1 ] [ 2 ] [ 3 ] E 4 2 从不 同角 度介绍 了如何 使 
用均值不等式证 明轮换对 称不等式 , 实际表 明 ,  
?3 0 -  

轮换对 称不等 式 中相 当一部分是 分式不 等式 .  

经过一番探究 , 笔者 发 现 , 关 键在去 分母 , 即根 


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