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幂函数(1)


幂 函 数

说出下列函数的名称 正比例函数 y ? kx (k ? 0) k y ? (k ? 0, x ? 0) 反比例函数 x y ? kx ? b (k ? 0) 一次函数 2 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 二次函数 y ? c (c为常数) 常数函数 x y ? a (a ? 0且a ? 1) 指数函数 y ? loga x (a

? 0且a ? 1) 对数函数 ? y ? x (?为常数) 我们见过这样形式的函数吗?

问题引入:函数的生活实例
问题 1 :如果张红购买了每千克 1 元的苹果 w千克, y?x 那么她需要付的钱数p = w元,这里p是w的函数 。 问题2:如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 2 y?x 是S = a?, 这里S是a的函数。 问题3:如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 3 是 V = a? , 这里V是a的函数 。 y?x 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ,那么正方形的 1 边长a= S , 这里a是S的函数 。 y ? x2 问题5:如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车 ?1 t 的平均速度v = km/s , 这里v是t的函数 。 y ? x?1
1 2

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表 示,则它们的函数关系式将是:

思考:以上问题中的关系式有什么共同特征? (1) y ? x 2 (1)都是以自变量x为底数; (2) y ? x (2)指数为常数; 3 (3) y ? x (3)自变量x前的系数为1; 1 (4)只有一项。 (4) y ? x 2 ?1 y ? x (5)

y ? x 中 x 前面的系数是1,后面没有其它项。

一、幂函数的定义: ? 一般地,我们把形如 y ? x 的函数叫做 x为自变量, ? 幂函数,其中 为常数。 ? ?
x ?2 2 2

练习1:判断下列函数哪几个是幂函数?
1 (5) y ? x

( 1 )y ? 3 ;   (2) y ? x ;   (3) y ? 2 x ;   (4) y ? x ? 1;

思考:指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别? 答案(2)(5)

二、幂函数与指数函数比较
名称 式子 指数函数: y=a
(a>0且a≠1)
x

常数 a为底数 α为指数

x
指数 底数

y
幂值 幂值

幂函数: y= xα

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数

幂函数

快速反应

y ? 0.2

x

y?x

1 2

(指数函数)

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2

?

?

2 m ?3

是幂函数,

求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数

? m ? m ?1 ? 1
2

解之得: m ? ?2或m ? 1

? m ? ?2或m ? 1

练习1:
已知函数 f ( x) ? ?m ? 3m ? 3?x 是幂函数, 并且是偶函数,求m的值。
2 m2 ?2

解:因为f ( x) ? m ? 3m ? 3 x
2

?

?

m2 ?2

是幂函数

? m ? 3m ? 3 ? 1 解之得: m ? 2或m ? 1
2

又因为f ( x)是偶函数

? m ? 1不符合题意 , 舍去 ?m ? 2

练习2 :已知幂函数y ? f ( x)的图像过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

解 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(2, 2 )
这种方法 叫待定 系数法

?

? 2 ? 2 , 即2 ? 2?
1 2

?

1 ?? ? 2

?所求的幂函数为y ? x .

1 2

练习3:已知幂函数f(x)的图像经过点(3,27), 求证:f(x)是奇函数。

证明 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(3, 27)
?
3

?

? 27 ? 3 ,即3 ? 3 ?? ? 3 3 ? f ( x) ? x 3 3 ? f ( x)的定义域为R, f (? x) ? (? x) ? ? x
? f ( ? x) ? ? f ( x)

?

? f ( x)是奇函数

二、五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

函数

y ? x的图像

定义域: 值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数
单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像
2

定义域:

R

值 域: [0,??) 奇偶性: 在R上是偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

?1 y ? x 函数 的图像

定义域:{x x ? 0} 值 域:{ y

y ? 0}

在{x x ? 0}上是奇函数 奇偶性:

单调性: 在(0,??)上是减函数
在(??,0)上是减函数

如何画y ? x 和y ? x 的图像呢?
3

1 2

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

函数 y ? x 的图像
3

定义域:

值 域:

R R

奇偶性: 在R上是奇函数 单调性:在R上是增函数

函数 y ? x 的图像

1 2

定义域: [0,??)

值 域: [0,??) 奇偶性: 非奇非偶函数
单调性: 在[0,??)上是增函数

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常 数α取值的不同而不同.

y=x
定义域 值域 R R

y = x2
R [0,+∞) 偶函数

y=

x3

y? x
[0,+∞) [0,+∞)

1 2

R R 奇函数

y?x 0? (0,+?) ? ??, 0? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

非奇非偶 函数

在(-∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数,在(0, 数 +∞)上是 增函数 公共点

在R上 在(0,+∞) 在( -∞,0), 是增函 上是增函数 (0, +∞)上是 减函数 数

(1,1)

下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
3 2 y ? x y ? x (1) (2) y ? x (3)

(4) y ? x

1 2

(5) y ? x

?1

y?x
(-2,4)

2
4

y?x
3

3
(2,4)

y=x

2

y?x
(1,1)
2 4 6

1 2

(-1,1)

1

y?x

-4

?1

-2

(-1,-1)

-1

-2

-3

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.

练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习(4)

1)

1.3

0.5



1.5

0.5

?2 < 5.1 5.09 2)
1 4

?2

3)

0.5

> 0.4
2 ? 3

1 4

4)

0.7



0.8

2 ? 3

例2 : 例 1.证明幂函数f ( x) ?

x在[0,??)上是增函数.

证明: 任取x1 , x2 ? [0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
? x1 ? x2 x1 ? x2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2
方法技巧:分子有理化

因为0 ? x1 ? x2 , 所以x1 ? x2 ? 0, x1 ?

x2 ? 0,

所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) ? x在[0,??)上的增函数 .

例3 若 ? m ? 4 ?

1 ? 2

? ? 3 ? 2m ? ,
? 1 2

1 ? 2

则求m的取值范围.

解 : 幂函数f ( x) ? x 的定义域是(0, ??) 且在定义域上是减函数, ? 0 ? 3 ? 2m ? m ? 4 1 3 ?? ? m ? ,即为m的取值范围. 3 2

理论
归纳:幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为 上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为 水平的射线; 指数小于0,在第一象限为 双曲线型;

1

0

1

归纳:幂函数图象在第一象限的分布情况
? ?1
? ?0
0 ?? ?1
在上 (1,??) 任取一点 作 x 轴的 垂线,与 幂函数的 图象交点 越高, ? 的值就越 大。

0 ?? ?1

? ?1

? ?0

小结: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随 常数α取值的不同而不同.

1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0

a=1

作业: 利用单调性判断下列各值的大小。

(1)1.3 与1.5
1 4

0.5

0.5

(2)5.1 与5.09
1 4

?2

?2

(3) ? 1.79 与 ? 1.81


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