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2.4二次函数图像与性质(3)


二次函数图象及其性质 (3)
y

y ? a( x ? h) ? k
2
4.
3. 2. 1. -3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

r /> 1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值和增减变化情况:

1)y=ax2

2)y=ax2+c

3)y=a(x-h)2

2 请说出二次函数y=ax? +c与y=ax? 的平移关系。 y=a(x-h)2与y=ax? 的平移关系 将抛物线y=ax? 沿y轴方向平移c个单位,得抛物线 y =ax? +c 将抛物线y=ax? 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2 3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线y=2(x+3)2如何 由y=2x2 平移而来

返回

(x ? 1) ? 2 的图象,指出它的开口方 2 向、对称轴及顶点。抛物线 y ? ? 1 x2经过怎样的变换可 2 1 2 以得到抛物线 y ? ? (x ? 1) ? 2? 2
2

画出函数 y ? ?

1

x y=-0.5(x+1)2-2

探 讨 1
y?? 1 2
2

… -4 -3 -2 -1 0 … -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 y O

… -4 -6.5 … 1 2 x

y??
(x ? 1) ? 2

1 2

x

2

x=-1

y??

1 2

x -2

2

探讨2 二次函数y=2x? y=2(x-1)? y=2(x-1)? , , +1的 图象的关系?

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y

y=2(x-1)2+1

y=2x2

5 4. 3. 2. 1.

y=2(x-1)2

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

y

y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.

y=2x2

y=2(x-1)2+1

-3.

-2

-1

0. -1

1.

2.

3.

x

返回

联系:
将函数 y=2x? 的图象向右平移1个 单位, 就得到 y=2(x-1)? 的图象; 在向上平移1个单位, 得到函数 y=2(x-1)? +1的图象. 相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点.

(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同. 不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.

及时总结
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值

顶点式
a>0 向上 (h ,k) x=h a<0 向下 (h ,k) x=h

当x<h时, 当x<h时, y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 当x>h时, 当x>h时, y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。

x=h时,y最小=k

x=h时,y最大=k

抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 得到的。 x:左加右减 y:上加下减

练习1:指出下面函数的开口方向,对称 轴,顶点坐标,最值。
1) y=2(x+3)2+5 3) y=-3(x-1)2-2 2) y=4(x-3)2+7 4) y=-5(x+2)2-6

练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2 B y=2x2-2

C y=-1/2(x+2)2-2

D y=-5(x-2)2-6

1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物 线的解析式可设为( ) Ay=a(x+3)2+5
Cy=a(x-3)2-5

By=a(x-3)2+5
Dy=a(x+3)2-5

你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3

2.抛物线c1的解析式为y=2(x1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x 轴对称,请直接写出抛物线c2的 解析式_____

3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无 论m为何实数,图象的顶点必在 ( )上 你答对了

A)直线y=-2x上 C)y轴上 y=2x上

B)x轴上 D)直线

吗?
3.D 4. y3> y1 > y2

4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中 a>0,b 为常数,点( 3 ,y1) 点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小

例题选讲 例1: 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一 根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛 物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最 高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
y A(1,3) 3 2 3 2 1 B O y

1 1 2 3 x

O

1

2

3 x

双基训练2
1.已知二次函数的图象的顶点为(1,-4.5),且经过点
(-2,0),求该二次函数的函数关系式。 2.(08内江) 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一 根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面 高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明

距较近的那棵树0.5米时,头部
刚好接触到绳子,则绳子的最

0.5m 低点距地面的距离为 _______.
1米

0.5米

2.5米

2米

1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______

回顾与反思
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值

顶点式
a>0 向上 (h ,k) x=h a<0 向下 (h ,k) x=h

当x<h时, 当x<h时, y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 当x>h时, 当x>h时, y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。

x=h时,y最小=k

x=h时,y最大=k

抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 得到的。 x:左加右减 y:上加下减

中考语录
中考是人生的第一个 十字路口,车辆很多, 但要勇敢地穿过去。


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