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函数的概念教学设计


函数的概念教学设计
四川省成都市双流县棠湖中学 唐小文 【课标教材解读】 (一)教学内容:本课题是人教 A 版必修 1 中 1.2 的内容;与以往相比,教材对函数概 念的处理方式发生了很大的变化。 改变了以往线映射后函数的顺序, 直接通过三个背景实例, 在问题的引导下分析概括出运用集合与对应语言描述的函数定义。 这样, 既衔接了初中阶段 将函数看成变量间的依赖关系的认识

,又进一步提升到运用集合与对应的语言来刻画函数。 为了理解函数概念的本质,教材从函数的三要素、函数的符号、函数表示三个角度对函数概 念进行细化, 最后将函数概念推广到映射。 这样处理的目的是将函数重点放在对函数概念本 质的理解上。 (二)教材地位和作用:函数是高中数学中一个非常重要的内容,也是高中数学学习的 一条主线,它贯穿整个高中数学学习过程中,其中重要性体现在: 1、函数源于现实生活,在生产生活和科学技术中有广泛应用。 2、函数是高中七大主干知识之一,又是沟通代数、几何、数列、不等式、三角函数等 内容的桥梁,同时也是今后进一步学习高等数学的基础。 3、函数的学习过程中蕴含大量重要的数学思想方法,如函数方程思想、分类讨论思想、 数形结合思想等等。 4、函数的学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程,通 过学习可以进一步提高了学生的数学思维能力。 5、函数概念的发展与生产生活及科学技术的实际需要紧密相关,随着研究的深入,函 数的概念不断得到严谨、精确的表达,在这一过程中,几代数学家对科学真理和方法的追求 探索的科学精神都是具有启发性和激励性的教育素材。 6、这一节所学习的函数概念既是对初中所学函数概念的一次升华和在认识,是对集合 语言的一次重要应用;又是以后继续学习函数的性质、数列等等知识的必备理论基础。在函 数学习中是承上启下的关键章节。 【教学目标】 知识与技能目标: 理解函数的概念,会用函数的定义判断函数,会求一些最基本的函数的定义域、值域。 过程与方法目标: 通过积极参与函数概念的学习,亲身经历函数概念的获得过程,培养学生观察问题,提 出问题的探究能力,进一步培养学生抽象、概括、归纳、及从“特殊到一般”的分析问题的 能力: 德育情感目标: 通过对函数概念形成的探究过程,培养学生发现问题,探索问题,不断超越的创新品质, 同时展现数学人文精神,体现数学文化价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 【课时分解目标】
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1、知道函数是描述变量之间的依赖关系的一种重要数学模型; 2、能够模仿教师的例子提出生活中具有函数关系的实例; 3、能用集合与对应的语言来描述函数的定义,能对具体函数指出定义域、对应法则、值域; 4、会求一些简单函数(带根号,分式)的定义域和值域; 5、能够从函数的三要素的角度去判定两个函数是否是同一个函数。 【教学重点难点】 重点:正确理解函数的概念,能从初中函数定义提升到用集合与对应的语言刻画函数定义; 难点:函数概念的理解,用集合与对应的语言刻画函数定义的抽象性; 【评价设计】 表现性评价:学生的学习热情与课堂参与程度(对表情、态度、气氛等及时评价) ; 交流式评价:合作讨论,归纳总结能力(对问答、质疑、纠错、改错等及时评价) ; 呈现性评价: 学生回答问题的正确率, 板书的规范和正切率 (对投影、 展示、 板演适时评价) ; 【教学过程设计】

一、课前预习、生成问题
为了使得课堂教学更有针对性,更有效率,在课前我给出预习提纲。让学生通过自主 学习完成预习提纲中的问题,对知识形成初步认识。老师应结合教学的重难点,以及学生预 习时可能产生的问题来设计课堂。 【预习提纲】 请阅读教材 15-18 页思考下列问题: 1、在初中学习的函数是怎么定义的?我们学过哪些类型的函数?请举例说明; 2、 请结合教材内容表述任现阶段对函数的定义, 并与初中函数定义作比较, 思考其差异; 3、请举例简述函数的三要素,求函数定义域的方法; 4、完成 19 页练习的 1、2、3 题. 【设计意图】 预习是为了使学生通过自主学习形成知识的初步印象, 预习中产生的问题 能激发学生的求知欲.提纲中设置的问题体现了新旧知识的联系,使学生明确应有的知识储 备.还体现了由特殊到一般的思维发展过程, 引领学生思考这之间的区别和联系.同时培养了 学生自主学习的能力. 【学生生成问题】 学生生成问题 1:阅读了教材上函数的概念,觉得很模糊,太抽象,不知所云。 学生生成问题 2:不明白符号 f 以及 y ? f ( x) 到底什么意思。 学生生成问题 3:如何理解定义域、值域?定义中的集合 B 和值域是有何不同? 【设计意图】这些问题来源于学生,可以激起学生的求知欲,同时也指明了本堂课的学

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习目标,让学习更具针对性.

二、创境设问、引入课题
问题 2.1:我们在初中学习过函数的概念,它是如何定义的呢?在初中已经学过哪些函数? (在学生回答的基础上出示投影) 我们已经学习了一些具体的函数, 那么为什么还要学习函数呢?先请同学们思考下面的 两个问题:
2 问题 2.2:由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数?函数 y=x 与函数 y ? x 表示同

x

一个函数吗? 学生思考、讨论后,教师点拨:仅用上述函数概念很难回答这些问题,我们需要从新 的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题:函数的概念 【设计意图】问题 1 的创设激活学生的原有知识,形成学生的“再创造”欲望;问题 2 用已有概念不太容易回答的问题,引发学生的认知冲突,有着承上启下的作用。既是对初 中已学的函数概念的进一步深入,又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好铺垫。

三、观察分析、探索新知
学生生成问题 1:阅读了教材上函数的概念,觉得很模糊,甚至觉得不明所以。 【活动设计】学生在上一堂学科自习课首先预习教材并完成《预习导读单》思考《问题 生成单》 。各学习小组的数学学科长收集学生生成问题,由科代表汇总。老师从中整理归纳 出学生普遍存在的问题。学生生成的问题 1 本就很“模糊” ,学生自身无法解决,所以主要 由老师引导讲解。问题 1 的解决是以实际问题为载体,以信息技术的作图功能为辅助。在三 个实例的教学中,重点在于引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例 1,体会用解析 式刻画变量之间的对应关系, 关注 t 和 h 的范围; 通过实例 2 体会用表格刻画变量之间的对 应关系,关注 t 和 S 的范围;通过实例 3 体会用图像刻画变量之间的对应关系。

1.实例分析
(1)一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为 845m,且炮弹距地 面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是:
h ? 130t ? 5t 2

(﹡)

问题 3.1:在这个过程中有几个变量?它们有怎样的关系?请结合(﹡)式表述初中函 数的定义。 在炮弹运动的过程中有两个变量, 一个是炮弹飞行的时间 t , 一个是炮弹的飞行高度 h , 对于时间 t 的每一个值,都有唯一的一个高度 h 的值与之对应,我们把 h 看成是 t 的函数。 问题 3.2:你能计算出炮弹飞行 5 秒、10 秒、20 秒时距地面多高吗?
h(5) ? ? ; h(10) ? ? h(20) ? ?

问题 3.3:在这个过程中,时间 t 的变化范围是什么?炮弹距离地面高度 h 的变化范围 是什么? 炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 0 ? t ? 26} ,炮弹距地面的高度 h 的变化范

3

围是数集 B ? {h 0 ? h ? 845} . 从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(﹡),在 数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应. 【设计意图】 通过生活中一个函数模型的例子, 让学生充分回忆初中所学的函数知识, 在体会函数应用的同时深刻理解函数的本质是刻画两个变量之间的相互“依赖”关系。同时 初步体会运用集合来表示两个变量的方法的简洁性。 回顾了函数的概念之后,再看看下面的俩例子: (2)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图(1)中 的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~2001 年的变化情况. S 30 26 25 25 20 15 10 5 O
1979 1981

1983

1985 1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

t

图(1) (3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活 质量越高. 表 1 中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来,我国城镇 居民的生活质量发生了显著变化. 表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

时间(年) 城镇居民家庭 恩格尔系数 (%)

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

问题 3.4:上述两个例子可以构成函数吗?如果可以,它们的变量是什么?它们之间的 关系是怎样的? 是函数,都有两个变量,且对自变量的任意一个值,按照给定的对应关系,都有唯一的 因变量与之对应。
4

问题 3.5:观察分析图(1)中曲线,时间 t 的变化范围是多少?臭氧层空洞面积 s 的 变化范围是多少?尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

} 根据图中曲线可知,时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 1979 ? t ? 2001 ,臭氧层空洞
面积 s 的变化范围是数集 B ? { S 0 ? S ? 26} . 对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照图中曲线,在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空 洞面积 S 和它对应. 问题 3.6: 恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相 似?如何用集合与对应的语言来描述这个关系?请仿照(1) (2)描述表中恩格尔系数和时 间(年)的关系. 根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A ? {t 1991 ? t ? 2001, t ? N } ,恩格尔系 数 y 的变化范围是数集 B ? {53.8, 52.9, 50.1, 49.9, 48.6, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9} .并且,对于数集 A 中的任意一个时间 t,根据表 1,在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数 y 和它对应.
?

2、归纳概括
问题 3.7:分析、归纳以上三个实例,变量之间的关系有什么不同点和共同点? 【学生活动】 让学生分小组讨论交流, : 由已经解决了的同学主动发言阐述自己的理解, 再由老师点评。通过两个小问题的处理帮助学生理解。 归纳以上三个实例,可看出: 不同点是: 实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,实例(2)是用图像刻画变量之间的 对应关系,实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系. 共同点是: ①都有两个非空数集 A,B; ②两个数集之间都有一种确定的对应关系; ③对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都有唯一确定的 y 值和 它对应. 记作 f : A ? B. 引导学生思考:在三个实例中,大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依 赖关系,其中一个变量都是另一个变量的函数, 问题 3.8:你能否根据这三个函数的共同点,用集合与对应的语言来叙述出函数的概 念? 【学生活动】 :让学生分组讨论交流,讨论归纳出: (1)函数的概念: 一般地,设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A
5

到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x ), x ? A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值,函数值的集合 { f ( x ) x ? A} 叫做函数的值域,显然,值域是集合 B 的子集 学生生成问题 2:不明白符号 f 以及 y ? f ( x) 到底什么意思。 符号 f 就是指的一种对应关系,或者可以理解成一种规定。 f : A ? B 就是指从集 合 A 到 B 的一种对应关系、一种规定; 理解下列关系 f : A ? B ,其中 x ? A, y ? B 。 1、 f : x ? y ?

1 x ?1

2、 f : x ? y ?

x

而 y ? f ( x) 即为“ y 是 x 的函数”的符号表示,但并不是一定指函数的解析式,它 还可以是表格、 图像等函数关系。 同时注意 y ? f ( x) 和 y ? f (a)( a 是常数) 的不同。 f (a ) 是 指 当 x ? a 时 函 数 y ? f ( x) 的 函 数 值 。 除 了 y ? f ( x) 来 表 示 函 数 外 还 常 用 等来表示函数 g ( x) , F ( x? , x ) ) ( (2)函数的本质: 两个非空数集间的一种确定的对应关系. (3)函数的构成要素: 问题 3.9::结合上面三个函数的例子,你觉得要构成函数,要有哪些要素? 构成函数的三要素:定义域、对应法则、值域 强调:①值域由定义域和对应关系唯一确定; ②f(x)是函数符号,f 表示对应关系,f(x)表示 x 对应的函数值,绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.在不同的函数中 f 的具体含义不同, 由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、 图象、表格等.函数除了可用符号 f(x)表示外,还可用 g(x),F(x)等表示. 学生生成问题 3:如何理解定义域、值域?定义中的集合 B 和值域是有何不同? 定义域就是指定义中的集合 A ,如果函数可以写出解析式,那么定义域一般指使得 式子有意义的自变量 x 的取值范围。而值域 C ? { f ( x) | x ? A} ,它与定义中的集合 B 的关 系是: C ? B 。教材 50 页图一可以很清楚的反映这个关系。 问题 3.10:请说出我们学习过的的一次函数,反比函数,二次函数的对应法则、定义 域和值域:(完成下列表格) 函数 一次函数 y ? ax ? b
k x

对应法则

定义域

值域

反比函数 y ?

6

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c

【设计意图】通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数,使学生加深理解函数

的本质及构成函数的基本要素.
教师问题 1 是为了让学生进一步理解“对应”的关系。用“投信”的实例来讲解对应关 系会让学生觉额更形象更容易理解。 问题 1 的变式就是将这样的理解通过选择题的方式表现 出来。可以由小组内部自行解决老师再做点评。 问题 3.11:函数的定义中有哪些关键词语,该如何理解? 注意“任意一个数”“都有”“唯一确定”等关键词语。对它们的理解可以借助教材 、 、 50 页那 3 个图表。 “函”在古代是指“信函” ,我们可以这样理解:多封信可以投给一个人; 一封信可以投给一个人,但一封信却不能投给多个人。

四、思考辨析、深刻理解
回答问题 2.2:由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数? 例 1、 (1) y ? 1 (x ? R)是函数吗?为什么?请用函数的定义甲乙解释。 (2) y ? ? x ( x ? 0) 和 y ?

x - 3 ? 1 ? x 是函数吗?为什么?

变式、下列图像中不能作为函数 y=f(x)图像的是( B ) y y y y

O

x

O

x

O

x
O

x

A

B

C

D

问题 4.1:如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系? 可依据定义,依据定义中的哪几个要点?要注意函数概念中的哪些关键词? 由学生总结得到: (1)理解函数的定义应注意: ①符号“f:A→B”表示从 A 到 B 的一个函数; ②函数是非空数集 A 到非空数集 B 上的一种对应; ③集合 A 中数的任意性,集合 B 中数的唯一性. (2)判断函数的标准可以简化成:两个非空数集 A,B,一个(允许多对一,但不能一对 多的)对应关系. 问题 4.2: 在三个实例中, 按照一定的对应关系, 能看作从 B 到 A 的函数吗?为什么? 【设计意图】:使学生更深刻理解函数的概念,培养学生的数学应用意识.

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例 2、已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ? (1)求函数的定义域;

1 , x?2

(2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a ? 0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

2 3

问题 4.3:如何判断几个函数是否是同一函数?
2 回答问题 2.2:函数 y=x 与函数 y ? x 表示同一个函数吗?

例 3、下列函数中哪个与函数 y ? x 是相同函数? (1) y ?

x

x2 , x

(2) y ?

3

x3 ,

(3) y ?

x 2 , (4) y ? ( x ) 2

变式:判断下列两个函数是否是同一函数并说明理由。
f ( x ) ?| x |, x ? {?1,0,1}
g( x ) ? x 2 , x ? {?1,0,1}

五、提炼总结、分享收获
本节课我们收获了什么? 1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念,并引进了函数符号 y=f(x). 2. 突出了函数概念的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系. 3.明确了构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域.

六、布置作业、拓展延伸
必做题:教材 P19 练习 2、3 选作题:教材 P24 习题 1.2 2,、4 思考题:(1)教材 P19 思考; (2)判断下列两个函数是否是同一个函数:

(1) f ( x) ?| x |, g ( x) ? ( x ) 2
(3) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1

(2) f ( x) ?

x2 , g ( x) ? x 0 x

(4) f ( x) ? x 2 ? 2 x, g (t ) ? t 2 ? 2t

(3) 举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函 数,同时说出函数的定义域、对应关系和值域; (4)查阅资料,写一篇关于函数概念发展过程的小论文。

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【板书设计】 函数的概念 一、实例分析 二、归纳概括 1.函数的概念 2.函数的本质: 非空数集到非空数集的一种对应 3. 函数的构成要素: 定义域、对应关系、值域; 三、板书例子 例 1、投影展示 例 3、投影展示 例 2、板书

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