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上海市崇明县2014届高三第一学期期末考试数学(文理)试题


崇明县 2013 学年高三第一学期期末考试试卷 高三数学(文理科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置,写在试卷上或答 题纸上非规定位置一律无效; 2. 答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚; 3. 本试卷共 23 道试题,满分 15

0 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分,只需将结果写在答题纸上) 1、已知虚数 z 满足等式 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 z= 2、若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ? ? 等于 3、直线 x ? 2 y ? 1 的一个法向量可以是 4、已知全集 U ? R, A ? x x 2 ? 2 x ? 0 , B ? x log 2 x ? 1 ? 0 ,则 A ? ?Cu B ? = 5、某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人,为了 解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老 年职工人数为 6、函数 y ? 2
?x

?

?m 0 6? ? x ? ? ? 3? ? ,该方程组的解为 ? ? ? y? ??? ? ? ? ,则 mn 的值等 ? 0 3 n? ? ? ? 4 ?

?

?

?

?

? 1? x ? 0 ? 的反函数是
1 CA ? ? CB, 则 ? ? 3

7、 ?ABC 中,若 AD ? 2 DB, CD ? 8、若 tan ?

?? ? 1 ? ? ? ? , 则 sin ? cos? ? ?4 ? 2
2m ? 1 ? mx ?a ? 0, a ? 1? 是奇函数,则函数 y ? f ?x ? 的定义域为 x ?1

9、已知函数 f ? x ? ? log a

10、(文科)在一个袋子中装有分别标注 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同, 现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为 6 的概率等于 (理科)将 A、B、C、D 四本不同的书分给甲乙丙三个人,每个人至少分到一本书,则不同分法的种 数为

1 ? ? 11、(文科)在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 5 的项的系数是 x ? ?
(理科) 1 ? 3 12、已知双曲线

8

(用数字作答)

?

? ? a?b
6

,则 a+b= 3 (其中 a、b 为有理数)

x2 y 2 F1F2 在 F1P ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别是 F1 , F2 , 设 P 是双曲线右支上一点, a 2 b2

上的投影的大小恰好为 F1P ,且它们的夹角为 arccos

4 ,则双曲线的渐近线方程为 5

13、在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个序,类似地,我们在复数集 C 上也可 以定义一个称为“序”的关系,记为“ ? ” ,定义如下:对于任意两个复数 z1 ? a1 ? b1i, z2 ? a2 ? b2i,

?a , b , a , b
1 1 2

2

? R, i为虚数单位 ? , " z1 ? z2 " 当且仅当 " a1 ? a2 "或" a1 ? a2且b1 ? b 2 " ,下面命题①

1 ? i ? 0;②若 z1 ? z2 , z2 ? z3 ,则 z1 ? z3 ;③若 z1 ? z2 ,则对于任意 z ? C , z1 ? z ? z2 ? z ; ④对于复数 z ? 0 ,则 z ? z1 ? z ? z2 其中真命题是 14、已知 t ? ?1, 当 x ? ?? t , t ? 2? 时,函数 y ?

x 4

x x

的最小值为-4,则 t 的取值范围是

二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分,每小题给出四个选项,其中有且只有一个结论是正确的,
选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得 5 分,否则一律得零分) 15、设 a ? R 则 "

a ?1 ? 0" 是“ a ? 1 ”成立的...................................( a ? a ?1
2

)

A.充分必要条件 C .必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

16、已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,则 lim S n 的 值为........................................................................( A. )

2 3

B.

17、对于函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? A. f ? x ? 在 ?

?
12

4 3 ) ? sin 2 ( x ?

C .

?
12

8 3

D.

16 3
)

) ? 1 ,下列选项正确的是................(
B. f ? x ? 的图像关于原点对称 D. f ? x ? 的最大值为 1

?? ? ? , ? 内是递增的 ?4 2?

C . f ? x ? 的最小正周期为 2π

18、已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值 等于........................................................................( )

A. ? 4 ? 2

B. ? 3 ? 2

C .?4? 2 2

D. ? 3 ? 2 2

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤) 19、(本大题共 74 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分)

(1)解方程: log3 x 2 ? 3 ? 1 ? log3 ( x ? ) (2)(文科)已知集合 A=(-1,3) ,集合 B= x x ? 3 x ? 0 , 集合 C= x a ? 1 ? x ? a ? 1, a ? R ,
2

?

?

5 3

?

?

?

?

并且 C ? A ? B ,求 a 的取值范围。 (理科)已知命题 ? : 2 ? x, 命题 ? : x ? m ? 1, 且命题 ? 是 ? 的必要条件,求实数 m 的取值范围

20、(本大题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是该三角形的面积 (1)若 a ? ? sin

? ?

B B 1? B B? ? ? cos ,? ? , b ? ?1, sin ? cos ?, a // b, 求角 B 的度数 2 2 2? 2 2? ?
2? ,S= 8 3 ,求 b 的值 3

(2)若 a=8,B=

21、 (本大题 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第三小题 6 分) 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1 ? x ? y ? 2 2 ? 0 相切。 (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN ? x 轴于 N,若动点 Q 满足 OQ ? mOA ? (1 ? m)ON , (其中 m 为非零常数) ,试求动点 Q 的轨迹方程 C2 (3)在(2)的结论下,当 m ?

3 时,得到动点 Q 的轨迹曲线 C,与 l1 垂直的直线与曲线 C 交于 2

B、D 两点,求 ?OBD 面积的最大值。

22、 (本大题 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第三小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,且 a1 ? (1)证明数列 ?

1 n ?1 , an?1 ? an 2 2n

? an ? ? 是等比数列 ?n?

(2)求通项 an 与前 n 项的和 S n ; (3)设 bn ? n?2 ? S n ?, n ? N ? , 若集合 M= n bn ? ? , n ? N ? 恰有 4 个元素, 求实数 ? 的取值范围.

?

?

23、(本大题 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第三小题 6 分) (文科)已知函数 f ? x ? ? 2 x ? b, g ? x ? ? x ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R 恒有 f ? x ? ? g ? x ? 成立。
2

(1)记 h? x ? ?

g ?x ? , 如果 h? x ? 为奇函数,求 b,c 满足的条件 f ?x ? g ?x ? , 若 h? x ? 在 ?2, ? ? )上为增函数,求 c 的取值范围; f ?x ?
2

(2)当 b=0 时,记 h? x ? ?

(3)证明:当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? x ? c ? 成立; (理科)已知函数 f ? x ? ? 2 x ? b, g ? x ? ? x ? bx ? c(b, c ? R ), 对任意的 x ? R 恒有 f ? x ? ? g ? x ? 成立。
2

(1)当 b=0 时,记 h? x ? ?

g ?x ? , 若 h? x ? 在 ?2, ? ? )上为增函数,求 c 的取值范围; f ?x ?
2

(2)证明:当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? x ? c ? 成立; (3)若对满足条件的任意实数 b,c,不等式 g ?c ? ? g ?b ? ? M c 2 ? b 2 恒成立,求 M 的最小值。

?

?

崇明县 2013 学年第一学期高三数学参考解答
一、填空题

1、

2、

3、

4、

5、



6、 11、(文) 二、选择题 15、 三、解答题 19、(1)解:由原方程化简得 16、D (理)

7、 12、

8、

9、 13、①②③

10、 (文) , (理) 14、

17、B

18、D

即:

所以,

,解得



(2)(文科)解:

,所以



由于

,所以

,所以

(2)(理科)解:

由于命题 是 的必要条件,所以

,所以



20(1)解:角

的对边分别为





,所以

,从而



(2)由 所以 又 。

得,

,解得



21、解:(1)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 ,则

所以,圆

的方程为

(2)设动点

,

,

轴于

,

由题意,

,所以

即:





代入

,得动点 的轨迹方程



(3)

时,曲线

方程为

,设直线的方程为

设直线与椭圆

交点

联立方程



因为

,解得

,且

又因为点 到直线的距离

.(当且仅当



时取到最大值)

面积的最大值为

.

22、解:(1)因为

,当

时,









)为常数,

所以

是以

为首项,

为公比的等比数列。

(2)由

是以

为首项,

为公比的等比数列得,

所以



由错项相减得



(3)因为

,所以

由于

所以,





因为集合

恰有 4 个元素,且



所以



23、(文科)解:(1)因为任意的

恒有

成立,

所以对任意的

,即

恒成立。

所以

,从而

.,即:





的定义域为

,因为

为奇函数,

所以对于任意



成立。解得



所以



(2)当

时,记





因为



上为增函数,所以任取



时,

恒成立。

即任取





成立,也就是

成立。

所以

,即 的取值范围是



(3)由(1)得,





所以

,因此

.

故当

时,有

.

即当

时,

.

(理科)解:(1)因为任意的

恒有

成立,

所以对任意的

,即

恒成立。

所以

,从而

.,即:





时,记





因为



上为增函数,所以任取





恒成立。

即任取





成立,也就是

成立。

所以

,即 的取值范围是



(2)由(1)得,





所以

,因此

.

故当

时,有

.

即当

时,

.

(3)由(2)知,





时,有



,则



所以

,由于

的值域为



因此当

时,

的取值范围是





时,由(1)知,

.此时

或 0,



从而

恒成立.

综上所述,

的最小值为




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