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2016高考数列总复习(完整)


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数列基本概念 数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方 面的性质,依据这些性质将数列分类: 依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列; 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及

递推关系法) ; 数列通项: an 2、等差数列 1、定义 当 n ? N ,且 n

? f (n)

王新敞
奎屯

新疆

?2

时,总有

an?1 ? an ? d ,(d常) ,d 叫公差。

2、通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d

3、前 n 项和公式 由

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an , Sn ? an ? an?1 ? ?? a1 ,
a1 ? an n, 2
还可表示为 S n 可得

相加得

Sn ?

? na1 ?

n(n ? 1) d , (d ? 0) ,是 n 的二次函数。 2

特别的,由 a1 ? a2n?1

? 2an

S2n?1 ? (2n ?1)an 。

4、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的

等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

5、等差数列的性质: (1) m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 特别地,若 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an (2) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.
* (3)若项数为 2n n ? ? ,则 S偶 ? S奇

? ap ? aq ;
? ap ? aq .

?

?

? nd , .
S奇 n ? S偶 n ? 1

* (4)若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,

?

?

3、等比数列 1、 定义 当 n ? N ,且 n

?2

时,总有

an ? q(q ? 0) an?1

, q 叫公比。

2、 通 项 公 式 :

an ? a1qn?1 ? amqn?m ,

在等比数列中,若

m ? n ? p ? q ? 2r

, 则

am ? an ? ap ? aq ? ar 2 .
3、 、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中
2 项.若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.

4、 等比数列的前 n 项和的性质: (1) m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数
* 列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? ap ? aq .

(2) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列。
5、 前 n 项和公式: 由

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , qSn ? a2 ? a3 ? ?? an ? an?1 ,
q ? 1 时, S ?

两式相减,



a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , (q ? 1) 1? q 1? q

;当 q

? 1时

, sn

? na1



关于此公式可以从以下几方面认识:



不能忽视 S 类讨论。

?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

成立的条件: q

? 1 。特别是公比用字母表示时,要分



公式推导过程中,所使用的“错位相消法” ,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ,
1

{an }



Sn ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn

, 则

3 n n? xSn ? a1x2 ? a x 2 ? ? an? x 1 ? an x

相减得

Sn (1 ? x) ? a1x ? dx2 ? ?? dxn ? an xn?1 ,



x ? 1 时, Sn (1 ? x) ? a1 x ?
?1时
, Sn

a x ? an x n?1 dx 2 (1 ? x n?1 ) dx(1 ? x n?1 ) ? an x n?1 , Sn ? 1 ? 1? x 1? x (1 ? x)2
n(n ? 1)d 2


当x

? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 ?
第一节

等差数列的概念、性质及前 n 项和

题根一

等差数列{an}中, a6

? a9 ? a12 ? a15 ? 20
?

,求 S20 :

[思路]等差数列前 n 项和公式 S n

(a1 ? an )n n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

1、 由已知直接求 a1 ,公差 d. 2、 利用性质 m ? n ? [解题 ] 由 a6

p ? q ? am ? an ? a p ? aq
, a6

? a9 ? a12 ? a15 ? 20

? a15 ? a9 ? a12 ? a1 ? a20

,得

2( a1 ? a 2 0 ) ? 2, 0

? a1 ? a20 ? 10 ,? S n ?

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 100 。 2

[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。 [请你试试 1——1] 1、 等差数列{an} 满足 a1 ? a2 A、

? ? ? a101 ? 0

,则有 ( C、

) D、

a1 ? a101 ? 0
?

B、

a2 ? a 1 0 0 ?0

a3 ? a 9 9? 0

a51 ? 51

1、? S101

(a1 ? a101 ) ?101 ? 0 ,? a1 ? a101 ? 0 ? a3 ? a99 ? 0 ,选 2

C

2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求

S13 。

2、a3+a7-a10+a11-a4= a7

? 12 ,得 S13 ? 13a7 ? 156 。

第1变 [变题 1] 等差数列{an}共 10 项, a1 ? a2 [思路] [解题]

求和方法——倒序相加法

? a3 ? a4 ? 20

, an

? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,求 Sn.

已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想 Sn 公式推导方法。 已知 a1 ? a2 又

? a3 ? a4 ? 20 , an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 60 ,
(a1 ? an ) ? n 20 ? ?10 ? 100 , 2 2

4(a1 ? an ) ? 80 ,得 a1 ? an ? 20 ,? Sn ?

[收获] 1、 重视倒加法的应用, 恰当运用通项性质:m ? n ?

快捷准确; p ? q ? am ? an ? a p ? aq ,

3、 求出 a1 ? an 后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。

[请你试试 1——2] 1、 等差数列{an}前 n 项和为 18 ,若 1、n=27; 2、 求和

S3 ? 1 , an ? an?1 ? an?2 ? 3 ,
n

求项数 n .

S n ? C n ? 2C n ? ? ? nC n 。

1

2

2、倒加法

Sn ? n ? 2n?1 。

第2变

已知前 n 项和及前 m 项和,如何求前 n+m 项和

[变题 2] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求 Sn+m 的值。

[





]

Sn , Sm , Sm?n















m+n=m+n,













m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq 是否有关?
[解题] 即 由 Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+??+am=b 得 a n+1+an+2+??+am =b-a, 得

an ?1 ? am ( m ? n) ? b ? a 2 ?



an ?1 ? am b ? a ? 2 m?n

由(n+1)+m=1+(n+m), 故 S m? n

得 an+1+am=a1+am+n

a1 ? am ? n a ?a b?a (m ? n) ? n ?1 m (m ? n) ? (m ? n). 2 2 m?n
[请你试试 1——3]

1、 在等差数列{an}中,

S6 ? 15 , S9 ? 55 ,求 S15



1、200; 2、在等差数列{an}中, S3 2、4 。 第3变 [变题 3] [思路] [解题] 已知已知前 n 项和及前 2n 项和,如何求前 3n 项和

? 1 , S9 ? 3 ,求 S12



在等差数列{an}中, S10

? 20 , S20 ? 40 ,求 S30
? S10 , S30 ? S20 之间的关系。 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 , S20 ? S10 ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , ?(S20 ? S10 ) ? S10 ? 10 ?10d
,

由 S10 , S20 , S30 寻找 S10 , S20

设 数列 {an} 公 差 为 d , ? S10 ,

S30 ? S20 ? a21 ? a22 ? ? ? a30

(S30 ? S20 ) ? (S20 ? S10 ) ? 10 ?10d ,
所以

S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 成等差数列,公差

100d , 于是

2(S20 ? S10 ) ? S10 ? (S30 ? S20 ) ,得

S30 ? 3(S20 ? S10 ) ? 3? 20 ? 60 。
[ 收 获 ] 1 、 在 等 差 数 列 {an} 中 ,

S1 0, S 2 0? S10 , S 3 ? 0 S20 成 等 差 数 列 , 即 a1 ? a2 ? ? ? a10 ,

a11 ? a12 ? ? ? a20 , a21 ? a22 ? ? ? a30 ,??,成等差数列,且 S30 ? 3(S20 ? S10 ) 。
3、 可 推 广 为

S5n ? 5(S3n ? S2n )



S7 n ? 7(S4n ? S3n )



?

?



S(

k? 2

。 ? 1 S )k(k-1)n [ ? S n 1( ) 2k ? n

]

[请你试试 1——4] 1、在等差数列{an}中, a1 ? a2 1、12; 2、 在等差数列{an}中,a1 ? a2 2、40 3、在等差数列{an}中, S10 3、 0、110; 第 4 变 迁移变换 重视 Sx=Ax2+Bx 的应用 [变题 4] 在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>n),求 Sn+m 的值。

? 3 , a3 ? a4 ? 6 ,求 a7 ? a8

? ? ? a10 ? 10 ,a11 ? a12 ? ? ? a20 ? 20 ,求 a31 ? a32 ? ? ? a40

? 20 , S20 ? 30 ,求 S50 及 S100 。

[思路] 等差数列前 n 项和公式是关于 n 的二次函数, 若所求问题与 a1 , d 无关时, 常设为 S=An2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 两式相减 , 得 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n , 又 m>n , 所以

A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n ,

A(n ? m) ? B ? ?1,



Sm?n ? A(m ? n )2 ? B m ( ?n ? ) m (?n A ) [m ? ( n ?B ) ? ?] m ? ( n
第二节 等比数列的概念、性质及前 n 项和



)

[收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。

题根二

等比数列{an} ,

a5 ? 4, a7 ? 6 ,

求 a9 。

[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得 2、由等比数列性质,知成等比数列。 [解题 1] 由

a5 ? a1q4 ? 4, a7 ? a1q6 ? 9 ,

两式相除, 得

q2 ?

3 3 ? a9 ? a7 q 2 ? 6 ? ? 9 。 , 2 2

[解题 2] 由 a5 , a7 , a9 成等比,得

a9 ?

a7 2 62 ? ? 9。 a5 4

[收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础; 2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。 [ 请你试试 2 ——1]

等比数列{an} , 解:

a1 ? 0, q ? 2 ,若 a1 ? a2 ? a3 ?? a30 ? 230 ,则 a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ? _______。


等比数列中某些项的积的问题,利用性质解。

A ? a1 ? a4 ? a7 ?? a28

,

10 易见 A, B, C 成等比, 公比为 q? ? 2 B? a ? ?a 2 ? a 5 ? a 8 2, 9 C ? a3 ? a6 ? a9 ?? a30 ,





B2 ? A ? C



A ? B ? C ? 230

, 得

B3 ? 2

3

0

, 即

B ? 210



?C ? Bq? ? 210 ? 210 ? 220 。

第1变 [变题 2] 等比数列{an} , a1 ? a2

连续若干项之和构成的数列仍成等比数列

? a3 ? 2, a4 ? a5 ? a6 ? 6 ,求 a10 ? a11 ? a12 。

[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设 b1

? a1 ? a2 ? a3 , b2 ? a4 ? a5 ? a6 ,??, b4 ? a10 ? a11 ? a12 , ? 2, q ? 3 ,?b4 ? b1q3 ? 2 ? 33 ? 54 ,即 a10 ? a11 ? a12 ? 54 。
q ? ?1
时,

则 {bn } 是等比数列, b1

[ 收 获 ] 等 比 数 列 {an} ,

Sk , S2k ? Sk , S 3k ? S 2 k
k

,?? 成等比数列,但总有

Sk ? (S3k ? S2k ) ? (S2k ? Sk )2

。当 k 为偶数时, q

? 0 恒成立。

[请你试试 2——2]

1、等比数列{an} , 2、等比数列{an} , 1、 S6

q ? ?1 q ? ?1

时, S2 时, S2

? 2, S4 ? 6 ,求 S6 。 ? 1, S6 ? 21 ,求 S4 。

? 14

;2、

。 S4 ? 5 或 S4 ? ?4 (舍去)

第2变 [变题 3] 等比数列{an} 中, [思路]

S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差


S3 , S9 , S6 成等差,则 a3 , a9 , a6 成等差

S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 ? S6 ? 2S9 ,要证 a3 , a9 , a6 等差,只需证 a3 ? a6 ? 2a9 。 S3 , S9 , S6 成等差,得 S3 ? S6 ? 2S9 ,
? 3a1 , S6 ? 6a1 , S9 ? 9a1
得 , 由

[解题]由

当 q=1 时, S3

a1 ? 0



S3 ? S6 ? 2 S9,? q ? 1 。

由 S3

? S6 ? 2S9 ,

6 a1 (1? q3 ) a ? q ) 1 (1 ? ? 1? q 1? q

2 a ? (1 9 q ) 1 , 1 ? q

整理得

3 6 ,? q ? 0 ,得 1 ? q ? 2q , q3 ? q 6 ? 2 q 9

两边同乘以

a3 ,



a3 ? a6 ? 2a9 ,即 a3 , a9 , a6

成等差。

[收获] 1、等比数列{an} 中, S3 , S9 , S6 成等差,则 2 、 等 比 数 列 {an} 中 ,

a2 , a8 , a5 成等差。
an?d , am?d , ak ?d
( 其 中

Sn , Sm , Sk

成 等 差 , 则

m? d , n ? ,d ? k

* ? d , N )成等差 ?d Z *

3、 等比数列{an} 中, 则 an?d , am? d , ak ? d (其中 m ? d , n ? d , k ? d ? N an , am , ak 成等差, 成等差。 [请你试试 2——3] 1、 等比数列{an} ,

,d ?Z )

q ? 1 , a3 , a5 , a6

成等差, 求 a11 ? (a9

? a10 ) 的值。
,即 a11 ? (a9

解: S8 , S10 , S11 等差,则 S11 ? S10

? S10 ? S8 ,得 a11 ? a9 ? a10

? a10 ) =0;

第3变 [变题 4]数列 {an } 中,a1 也是等比数列。

{Sn } 是等比, {an } 也是等比数列 ?0
且 是等比数列, 公比 S1 , S2 ,?, Sn ,? , q(q 求证 {an } ( n ? 2 ) ? 1 ),

[思路]

? an ? Sn ? Sn?1

,欲证

{an } 为等比数列,只需证

an an ?1


为常数。

[解题]

(n ? 2) , ? an ? Sn ? Sn?1 ,an?1 ? Sn?1 ? Sn ,

an ?1 Sn ?1 ? Sn ? an Sn ? Sn ?1

, 而

Sn ? Sn?1 ? q ,

Sn?1 ? Sn?1 ? q2 ,?
公比为 q 。

an?1 Sn?1 ? q(q ? 1) (n ? 2 ? ?q, an Sn?1 (q ? 1)

), 故 {an } 从第二项起,构成等比数列,

第4变 问题 确到 1 元)

等比数列在分期付款问题中应用

顾客购买一售价为 5000 元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后 1 个月付款

一次,到第 12 次付款后全部付清。如果月利润为 0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精 分析一:设每期应付款 x 元,则 第 1 次付款后,还欠 第 2 次付款后,还欠 ???? 最后一次付款后,款已全部还清,则 移 项 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-??-x(1+0.8%)-x=0 ,
10

5000(1+0.8%)-x(元) [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)

第 3 次付款后, 还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x (元)

5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x ( 1+0.8% )

+ ? ? +x(1+0.8%)+x





x?

1 ? 1.00812 ? 5000 ?1.00812 1 ? 1.008 x? 5000 ?1.00812 ? (1.008 ? 1) ? 438.6 (元) 1.00812 ? 1
m

算得

一般地, 购买一件售价为 a 元的商品, 采用分期付款时, 要求在 m 个月内将款还至 b 元, 月利润为 p,

[a(1 ? p)m ? b][(1 ? p) n ? 1] 分 n(n 是 m 的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为 x ? (1 ? p)m ? 1
次还的钱也应计算 11 个月的利息,第二次还的钱应计算 10 月的利息??,于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+??+x(1+0.8%)+x, 分析三:设每次还款 x 元,把还款折成现在的钱,可得 解得 x

.

分析二:设每月还款 x 元,将商家的 5000 元折算成 12 个月后的钱要计算 12 个月的利息,而顾客第一

? 438.6 (元)

5000 ?

x x x ? ??? 2 1 ? 0.8% (1 ? 0.8%) (1 ? 0.8%)11

, 解得

x ? 4 3 8 . (元) 6 。

将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。 [请你试试 2——4]

某地现有居民住房的总面积为 a m2, 其中需要拆除的旧住房面积占了一半。 当地有关部门决定在每年 拆除一定数量旧住房的情况下, 仍以 10%的住房增长率建设新住房。 如果 10 年后该地的住房总面积正好比 目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积 x 是多少?(取 1.110 为 2.6) 由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-??-x(1+10%)-x=2a,即 x

?

(1.110 a ? 2a)(1.1 ? 1) , 1.110 ? 1



2.6a-16x=2a

?x ?

3 a 80



第三节

常见数列的通项求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a a 3 2 3 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n ?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解 : 由

an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1, 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 三、累乘法 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ( n ?1) 2

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

? n!.

评注:本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,进而 an

求出

an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

例 5 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . 则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) ② ①



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 a n! ? ??? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an?1 a 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 ? ?? ? 3 ? a2 , an?1 an?2 a2

通项公式。 四、数学归纳法

例 6 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2

[2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 ? [2(k ? 1) ? 1]2
由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。

根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N * 都成立。 评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。
第四节 常见数列求和方法

1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2.公式法:

?k
k ?1

n

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ?? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? 2 ? ? k ?1
n 3 3 3 3 3

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

n ? n!? (n ? 1)!?n!

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
2 2 2 2 2 2 6.合并求和法:如求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和。

7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11? 111? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ?

1 2 1 1 ) ? (x 2 ? 2 )2 ? ? ? (x n ? n )2 x x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,?前 n 项和 S n

思路分析:通过分组,直接用公式求和。

? 1 ? 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? 解:① ak ? 11 ? ? ?
2 k k个

1 k (10 ? 1) 9

1 1 S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] 9 9

1 10(10n ? 1) 10n?1 ? 9n ? 10 ? [ ? n] ? 9 9 81
2 ② Sn ? (x ?

1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x

(1)当 x ? ?1 时, S n ?

x 2 ( x 2n ? 1) x ?2 ( x ?2n ? 1) ( x 2n ? 1)(x 2n?2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2n ( x 2 ? 1)

(2)当 x ? ?1 时, S n ? 4n ③

a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 n( n ? 1)( 5n ? 2) 6

5 2 3 5 n(n ? 1)( 2n ? 1) 3 n(n ? 1) (1 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2

?

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1讨论。 2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。
0 2 n?1

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,?2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 积,可用错位相减法求和。 解 :

对应项

S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1 ?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n


a ? 1时, (1 ? a)S n ? 1 ?

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a) 2

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

当 a ?1 时, S n ? n 2 3.裂项相消法求和

22 42 (2n) 2 例 3.求和 S n ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解 :

ak ?

(2k ) 2 (2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

练习:求 S n ?

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n m n ?m 思路分析:由 Cn 可用倒序相加法求和。 ? Cn 0 1 2 n 证:令 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

(1) (2)
m n?m ? Cn ? Cn

n n?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? 5Cn ? 3Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? ? ? (2n ? 2)Cn 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?an ? , an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。 思路分析: an ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。 解: an ? ?2n ? 2(?1) n ,若 n ? 2m, 则S n ? S 2 m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2

? (?1)
k ?1

2m

k

S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)



n ? 2m ? 1, 则S n ? S 2m?1 ? S 2m ? a2m ? ?(2m ? 1)2m ? 2[2m ? (?1) 2m ] ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1)

? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2

(n为正偶数) ?? n(n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)
第四节 1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列 [思路] 1、写出 递推数列的通项公式及前 n 项和

{an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 ,求通项公式 an 。
a1 , a2 , a3 , a4 ? ,由不完全归纳法得 an 表达式。 ? 2an ? 1

2、构造新数列,转化成等比数列求解。 [解题] 在的 an?1 得 [收获] 两边加 1,则数列

{an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ,即 an ? 2 ? 2n?1 ?1 ? 2n ?1 即为所求。
数列为等差数列;当 q

an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推数列,当 p=1 时,

? 0, p ? 0 时,数列为等

比数列。下面给出

p ? 1 时递推式的通项公式的求法:
所以一定存在

方法 1、因为

p ? 1,

?

满足

? ? p? ? q

, 从而得

??

q , 1? p

此为函数

f ( x) ? px ? q 的不动点。 由 an?1 ? ? ? p a ( ? p ? )q ? (p n a ? ? ,得 ) {an ? ?} 是首项 n ? q?


a1 ? ? ,公比为 p 的等比数列,于是 an ? ? ? (a1 ? ? ) pn?1 ,
q 1? p
代入上式,得 通项公式为



an ? ? ? (a1 ? ? ) pn?1

,将

??

an ?

q q ? (a1 ? ) p n?1. 1? p 1? p

?????? (I)

方法 2、 由 an?1

令 bn ?an ?1 ? ? pan ? q , an ? pan?1 ? q , 得 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) , an
n ?1





bn ? pbn?1 , 则 {bn } 是 首 项 为 b1 , 公 比 为

q 的等比数列,



an ? a1 ? ? bk
k ?1

? a1 ? ? a1 ?

b1 (1 ? p n ?1 ) 1? p (a2 ? a1 )(1 ? p n?1 ) (n ? 2) 1? p
(*) ;当 n=1 时,(*)式也成立。

[请你试试 4——1] 数列 {an } 满足

a1 ? 9 , 3an?1 ? an ? 4
?4


, 求

an 。
n ?1

由 3an?1 ? an

1 4 ? 1? an ?1 ? ? an ? ,可得 an ? 1 ? 8 ? ? ? ? 3 3 ? 3?



或由 3(an?1 ? 1) ? ?(an

?1) 求。

[变题 1] 数列

{an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an 2an ? 1

求通项公式 an 。

[思路] 常见解法:先求数列

?1? ? ? 的通项公式 ? an ?

[解题]由将已知关系式取倒数得

1 1 1 ? ? ?1 , an?1 2 an

由(#)式 得

1 ?1? ? 2?? ? an ?2?

n ?1

,所以

an ?
[收获]

1 2 ? 21? n



an ?1 ?


pan 型递推数列的通项公式的求法: ran ? s
x? px rx ? s
, 得

x1 ? 0



x2 ?

p?s r

为 两 不 动 点 。 由 于

1 1 s 1r ? ? ? ? , an?1 ? x 1 a ?n 1 p a n p
设 bn

?

s r 1 ? bn ? , , 则 bn ?1 ? 此为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 模型。 p p an
模型,由(I)式 可求得

同样,

1 an ?1 ? x2



可化为

an?1 ? pan ? q( p ? 1)

an

。 更 为 特 殊 的 是 p=s 时 ,

1 1 1 r 1 ? ? ? , 设 bn ? an ?1 ? x1 a a p an n ? 1 n
倒数求解 ,原因恰是为此 。 [变题 2] (06 年江西理第 22 题)数列

则数列

{bn } 是等差数列

。我们常取 an ?1

?

pan 的 ran ? p

{an } 满足 a1 ?

3 3nan?1 , an ? (n ? 2, n ? N * ) 2 2an?1 ? n ? 1



通项公式 an 。

[解答]

an ?

1 2 1 1 3nan?1 n 1 n ?1 2 ? ? ? ? ,即 bn ? ? bn ?1 ? ? bn ? 1 ? ? (bn ?1 ? ) , 3 3 3 3 2an?1 ? n ? 1 an 3 an?1 3

又 a1

?

3 2 2 ?1? ,得 b1 ? ? 1,所以 bn ? ( ? 1) ? ? ? 2 3 3 ? 3?
[请你试试 4——2]

n ?1

,得

an ?

n ? 3n 。 3n ? 1

函数 通项公式

f ( x) ?

x 3x ? 1

,数列 {an }

满足 a1

? 1 , an?1 ? f (an ) , (n ? N * )

, (1)求 {an } 的

(2)设 Sn ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ,求 Sn 。 an ;

提示: an

?

1 n ; Sn ? 。 3n ? 2 3n ? 1

[变题 2] 数列 {an } 中, a1

? 0, an ?

an?1 ? 4 ,(n ? 2) an?1 ? 2

,求

an

[思路 1] 令

x?

x?4 x?2

,得

?a ? 4? x1 ? 4, x2 ? ?1 ,即两不动点,可得 ? n ?1 ? 是等比数列, ? an ?1 ? 1 ?

[解法 1] 由 an

?4 ?

an?1 ? 4 ?3an?1 ? 12 3(an?1 ? 4) , ?4 ? ?? an?1 ? 2 an?1 ? 2 an?1 ? 2
则 bn

令 bn

? an ? 4 ,

??

3bn ?1 an ?1 ? 2

????????(a )

由 an

?1 ?

an?1 ? 4 2(an?1 ? 1) , ?1 ? an?1 ? 2 an?1 ? 2


令 cn

? an ? 1 ,

cn ?

2cn ?1 an ?1 ? 2

????????(b)

(a) 式除以(b)式



?b ? bn b a ?4 3 b ? ? ? n ?1 ,即 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ? ?4, c1 a1 ? 1 cn 2 cn ?1 ? cn ?
n ?1

b 3 ? 3? 公比为 ? 的等比数列,? n ? ?4 ? ? ? ? 2 cn ? 2?
n ?1

?

an ? 4 , an ? 1

? 3? ?4 ? ? ? ? 4 20 ? 2? ? an ? ? 4? . n ?1 n ?1 ? 3? ? 2? 4 ?? ? ? ?1 4??? ? ? 2? ? 3?
[思路 2]

1 1 和 均可化为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推式, an ?1 ? x1 an ?1 ? x2


[解法 2]

a ?2 1 2 1 ? ? n?1 ?? ? . an ? 4 3(an?1 ? 4) 3(an?1 ? 4) 3

令 bn

?

1 , an ? 4



2 1 bn ? ? bn ?1 ? , 3 3

由(I)式 得

n ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? ? 1 1 ? 2? 1 ? 1 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? bn ? ? ? ? ? 5 20 ? 3 ? an ? 4 2 2 ? 4 1? ? ? 3 ? 1? 3 ? 3?

?

所以

an ? 4 ?

1 1 1 ? 2? ? ? ?? ? 5 20 ? 3 ?
n ?1

? 4?

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[解法 3]



1 3 1 1 ?? ? ? , an ? 1 2 an?1 ? 1 2

亦可求得 an

? 4?

20 ? 2? 4??? ? ? 3?
n ?1

.

[收获] 求解 an ?1

?

pan ? q 型递推数列的通项公式的方法: ran ? s
, 设其两根为



x?

px ? q rx ? s

x1 , x2

即两不动点。于是 ?

? an?1 ? x1 ? ? 是等比数列, a ? x ? n?1 2 ?

并且

1 1 和 均可化为 an?1 ? pan ? q( p ? 1) 型递推式 an ?1 ? x1 an ?1 ? x2



[变题 3] 设数列 {an } 前 n 项和为 Sn [思路] 将已知关系中 [解题] 由 Sn

? 4an ? 3n ? 2 ,求 an 及 Sn 。

Sn 的化为 an ,再进一步变形。
即 a1

? 4an ? 3n ? 2 ,得 a1 ? 4a1 ?1,

1 ? . 3

an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 3n ? 2 ? [4an?1 ? 3(n ?1) ? 2]
an ? 4 an ?1 ? 1 . 3

? 4an ? 4an?1 ? 3

,



这是 an

? pan?1 ? q

型递推式,由(#)式得

? ? n ?1 ?1 1 ? ?4? 4n?1 an ? ?? ? ? ? ? 3 ? 10 ? . ? n 4 4? ? 3 3 3 ? ? ? 1? 1? ? 3 ? 3? 1
? 4? ? Sn ? 4an ? 3n ? 2 ? ?10 ? 10 ? ? ? 3n. ? 3?
n

第 1 变 递推式 2、累积错位相消法求数列通项 [变题 4] 数列 [思路] 观察 [解题]

an?1 ? f (n)an

{an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n an ,求通项公式 an 。
存在的关系,思考解题方法。

a1 与 a2 、 a2 与 a3

n?1 n?1 ??, 各式相乘得 an ? 2 a1 ? 2 。 ? a2 ? 2a1 ,a3 ? 2a2 ,a4 ? 2a3 , an ? 2an?1 ,

[收获] 1、若 f(n)为常数, 则 {an } 为等比数列。2、 an?1 下:

? f (n)an 型递推式,通项公式求解方法如

an a a ? f (n ? 1), n?1 ? f (n ? 2),? 2 ? f (1). an?1 an?2 a1
各式两边分别相乘,得 当 n=1 时, (II)仍成立 [变题 5] 在数列 {an } 中, a1

an ? a (1) f ( 2 ? ) f ? ( n 1 f

1) ,

???????????(II)

? 1, nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?an ) ,
(2)令 bn

(1)

求 {an } 通项公式

?

4an?1 an 2 an? 2 2

,求 {bn } 的前 n 项和 Sn 。

[思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。 [解题] (1)将题中递推式转化为:

nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ?an ) ? 2(a1 ? a2 ? ?? an?1 ) ? 2an ? (n ?1)an ? 2an .


an ?1 ?

n ?1 an n

.由 (II) 式 得 {an } 通项公式 an

2 3 n ? a1 ? ? ? ? n. 1 2 n ?1

(2) 由

{an } ? n ,



bn ?
n

4an?1 4 (n ? 1) 1 1 ? 2 ? ? . 2 2 2 2 an an? 2 n (n ? 2 ) n n ( ? 2 )2
n

所以数列 {bn } 前 n 项和 :

Sn ? ? bk ? ? [
k ?1 k ?1

1 1 ? ] 2 k (k ? 2)2

5 2n 2 ? 6 n ? 5 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? ? ? ? . 3 2 4 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n2 (n ? 2)2 4 (n ? 1)2 ? (n ? 2) 2
第2变 3、累加错位相消法求数列通项 [变题 6] 已知数列 {an } 中, a1

an?1 ? an ? f (n) 型递推数列
? 1 , an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1)n

求 {an } 的通项公式。

[思路] 将题中递推式变形

an ?1 ? an ?

1 1 ? ,利用错位相消法。 n ?1 n 1 1 ? , n ?1 n
1 1 ? 2 3




将题中递推式表示为: an ?1

? an ?


于 是

a2 ? a1 ? 1 ?

1 2

a3 ? a2 ?

1 1 a4 ? a3 ? ? 3 4

, ? ? ,

an ? an ?1 ?
各式相加得

1 1 ? n ? 2 n ?1

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1,



1 1 1 1 1 1 1 ) ? (? ? ) (? ? ? ) ? ( ? ) 2 2 3 3 4 n ? 2n ? 1 1 1 ? 1?1? ? 2? 即为所求通项公式。 n ?1 n ?1 an ? a1 ? ( 1?

[收获] 对于数列 {an } ,设 bn

? an?1 ? an , n ? 1,2,?

则称数列 {bn } 是 {an } 差数列, 则

b1 ? b2 ? ?? bn?1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? an ? a1,
? a1 ? ? f (k ), (n ? 2) ????
k ?1 n ?1

得 an

? a1 ? ? bk .
k ?1

n ?1

所以 {an } 的通项公式为 an

(III).

当 n=1 时,也满足(III)式。

[变题 7]

在数列 {an } 中, a1

an ? 2 , nan?1 ? (n ? 1)

, 求 {an } 通项公式。 n(n+1),经过变量替换,可化为

[ 思路] 题中关系式不是 an?1

? an ? f (n) 型的递推式,但两边同除以

an?1 ? an ? f (n) 型递推式。
[解题] 在递推式

nan?1 ? (n ? 1) an
bn?1 ? bn ?

两边同除以 n(n+1) , 得

an?1 an 1 ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

令 bn

?

an n
n ?1



a1 1 ? 2 。由(III)式得 bn 表达式为: , b1 ? 1 n(n ? 1)

bn ? b1 ? ?

n ?1 1 1 1 ? b1 ? ? ( ? ) k ?1 k ?1 k (k ? 1) k ?1 k

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3? . 2 2 3 n ?1 n n

于是 {an } 通项公式为

an ? nbn ? n( 3?

1 )? n 3? 1 . n

[请你试试 4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、??,的通项公式。 由原数列得一阶差数列 4、 8、 16、 32、 ??, 易得 cn

{bn } :3、7、15、31、63、??;由 {bn } 得

二阶差数列

{cn } :

n?1 得 bn , 最后得原数列通项公式 an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , ?n?2。

第3变

an?1 ? pan ? q(n) 型递推数列
? an ? f (n) 型递推式
, 求

4、两边同除以 [变题 8]

pn?1

,经过变量替换,化为 an?1

数列 {an } 满足

a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n ? 3
n ?1

an 。

[思路] 递推式两边同除以 2 [解题] 在 an?1 令

,经过变量替换,可化为 an?1 两边同除以

? an ? f (n) 型递推式。

? 2an ? 2n ? 3
bn ?1 ? bn ?

2 n ?1 ,



an ?1 an 2n ? 3 ? ? n ?1 2n ?1 2n 2

bn ?

an 2n

,则
n ?1

2n ? 3 , 2n ?1

此为模型

an?1 ? an ? f (n) 。
1 2n ? 1 ? n . 2 2 8.

于是 bn

? b1 ? ?

a 2k ? 3 , b1 ? 1 ? 1. k ?1 2 k ?1 2



bn ? 1 ?
n ?1

所以

3 2n ? 1 n an ? bn ? 2n ? ( ? n ) ? 2? 2 2

2?

1 n6 ?

[收获] 在 an?1

? pan ? q(n),( p ? 1) 中,

当 q(n)是常数 q 时,即为模型 an?1

? pan ? q( p ? 1) 。
, 令



an?1 ? pan ? q(n),( p ? 1)
an q(n) , ? f ( n) , p n p n ?1

两边同除以

pn?1

,



an ?1 an q(n) ? ? p n ?1 p n p n ?1

bn ?



bn?1 ? bn ? f (n)

即可求出

{bn } 的通项公式,从而得 an ? pnbn =

3 2n ? 1 p n ( ? n ). 2 2
[变题 9](2006 年全国理第 22 题)设数列 {an } 前 n 项和为 S n 通项

?

4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? ,n=1,2,??,求 3 3 3

an 。
Sn ? 4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? 3 3 3 ? a1 ? 4 1 2 a1 ? ? 22 ? 3 3 3

[ 解 答 ]

? a1 ? 2

。 因 为

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
? an ? 4an?1 ? 2n ?
n

,所以由题设得:

4 1 2 4 1 2 an ? ( an ? ? 2n ?1 ? ) ?( an ?1 ? ? 2n ? ) 3 3 3 3 3 3

an an ?1 2n ? ? 4n 4n ?1 4n
,得

,即

1 ?1? bn ? bn?1 ? ? ? ? bn ? 1 ? n 2 ?2?
[规律小结] 根据数列性质 an

an ? 4n ? 2n 。

? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 可得出递推关系,然后再根据结构特征求通项公式。

[请你试试 4——5] 1、数列 {an } 满足

a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3? 5n

, 求 求

an 。 an
n

2、数列 {an } 的前 n 项和

Sn ? an?1 ? n2 , a1 ? 0 ,
n

1、两边同除以 2

n ?1

a ?1 an 3 ? 5 ? ,得 n ? ? ?? ? 2n?1 2n 2 ? 2 ?


3 ?5? ,即 bn ?1 ? bn ? ? ? ? 2 ?2?

,得

an ? 5n ? 2n?1 。

2、由

Sn ? an ,

an ? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? n2 ? [an ? (n ?1)2 ] ? an?1 ? an ? 2n ?1 ,

。 ? an?1 ? 2an ? 2 n? 1

第3变 4、两边取对数,变形转化为模型 an?1 [变题 10] 数列 {an } 中 a1
n

q an?1 ? p a ? 0, a ) 型 n , ( p n ? 0

? f (n)an
,令 bn

? 10, an?1 ? n an

? lgan ,

(1)求数列 {bn } 的通项公式, (2)设

T ??

bk ?1 ,求 lim T 。 n ?? k ? 2 bk ?1
b1 ? 1, bn ?1 ? lg an?1 ? lg
n

[思路] 利用对数运算法则变形转化。 解: (1)由已知得
an

?

1 an 1 lg ? bn ,即模型 an?1 ? f (n)an , n n

由(II)式,得 bn

1 1 1 1 1 1 ? b1 ? ? ? ? ? ? 。 1 2 3 n ? 1 1? 2 ? 3? (n ? 1) (n ? 1)!

(2) 由

bn ?1 ? bn ?1

1 n! ? 1 , 1 (n ? 1)n (n ? 2)!



T ??

bk ?1 1 1 1 ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 n(? ?1 n) k ? 2 bk ?1

n

? 1?
[收获]

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? . 2 2 3 n ?1 n n



1 lim T ? lim(1 ? ) ? 1 。 n ?? n ?? n

an?1 ? panq ,( p ? 0, an ? 0) ,当 q=1 时,{an } 为等比数列。当 q ? 1 时,对递推式两边取常
an?1 lg ?q a ln ? g p

用对数,得

,l 令 g

bn ? lgan

,



bn?1 ? qbn ? lg p

,此为模型

,即题根 an?1 ? pan ? q( p ? 1 )



第4变 5、利用特征根求通项公式 [变题 11] 在数列

an?1 ? pan ? qan?1 型
an

{an } 中, a1 ? 0, a2 ? 1 , 4an?1 ? 4an ? an?1

,求

[ 思路 ]

在数列 {an } 中,已知 时 , 存 在

a1 , a2 ,且 an?1 ? pan ? qan?1 ,求其通项公式方法介绍如下:当

p ? q ?1

?1 , ?2

满 足

an?1 ? ? a 1 n ? ? (a2 n ? ? an? ) 1

( 1

* ), 即

an?1 ? (?1 ? ?2 )an ? ?1?2 an?1
关系知 ?1 , ?2 是二次方程 式中的 是

,与

an?1 ? pan ? qan?1 比较系数,得

{? ?

?1 ? ?2 ? p
1 2 ?q

,由根与系数的

t 2 ? pt ? q ? 0 两实根,此方程称为递推式的特征方程。易见,只需将递推 t 2 , t ,1 即可得特征方程。由
或 (*)式知数列

an?1 , an , an?1

换成

an ? ?1an?1 是等比数列,于

an?1 ? ?1an ? ?2n?1 (a2 ? ?1a1 )

?1 p ? q ? 1 时,将 an?1 ? ? 2 an ? ? n1 (a ? ) 。当 2 ? a2 1

p=1-q 代入递推式,得 an?1 ? an 等比数列,从而 an?1 ? an

? ?q(an ? an?1 )

,则

{an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 为首项,-q 为公比的

? (?q)n?1 (a2 ? a1 )

,利用错位相消法即可求解。

[解题] 递推式特征方程为

4? 2 ? 4? ? 1 , 解 得 ?1 ? ?2 ?
,数列 ?an ?1 ?

1 2

,所以递推式可表示为

1 1 1 an ?1 ? an ? (an ? an ?1 ) 2 2 2

? ?

1 1 1 ? an ? 是首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 2 2 2 ?

的等比数

1 ?1? 列,所以 an ?1 ? an ? ? ? 2 ?2?
于是

n ?1

, n ? 1, 2, ??,两边同除以 2 n ?1 ,得 2n?1 an?1 ? 2n?2 an ? 1,
n ?2

?2

n?2

? an ?

是首项为 0,公差为 1 等差数列,故 2

? an ? n ?1,? an ?

n ?1 。 2n ?2

[收获] 一般的, 在数列 {an } 中, 已知

2 且 an?1 ? pan ? qan?1 , 它的特征方程 ? ? p? ? q ? 0 a1 , a2 ,

两 根 为 ?1 , ?2 , 则 , 当 ?1

? ?2 时

, 通项公 式

an ? ( An ? B)?1n?1 ; 当 ?1 ? ?2 时

,通 项 公 式

an ? A?1n?1 ? B?2n?1, n ? 1, 2, ??,其中 A,B 为常数,可由 a1 , a2 推出。
利用这一结论可方便的推出通项公式 an 。 [变题 12] 在数列 解: 特征方程 ?
2

{an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ? 7an?1 ?12an
? 7? ? 12
两根为 ?1

,求

an

n?1 n?1 设 an ? A ? 3 ? B ? 4 , 由 a1 ? 1, a2 ? 2 , ? 3, ?2 ? 4 。

得 A=2,B=-1, 故

an ? 2 ? 3n?1 ? 4n?1,(n ? 1, 2,?) 。
[请你试试 4——6] ,求

1、在数列

{an } 中, a1 ? 1, a2 ? 3 , an?2 ? 6an?1 ? 9an {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 , an ? 2
2

an 。

2、在数列

?a a

3 n ?1 2 n

,求

an 。

1、特征方程 ?

? 6? ? 9

两根为 ?1

? ?2 ? 3 ,设 an ? ( An ? B) ? 3n?1 ,由 a1 ? 1, a2 ? 3 ,

得 A=0,B=1, 故

an ? 3n?1 。
n

2 、取对数,

lgan?2 ? 3lgan?1 ? 2lgan ,令 bn ? lga
??, an

,则

b1 ? lga1 ? 0 , b2 ? lg2 ,且

bn?2 ? 3bn?1 ? 2bn ,

? 10(2

n?1

?1)lg 2




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