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【解析版】安徽省六安市舒城县晓天中学2016届九年级上第一次月考数学试卷


安徽省六安市舒城县晓天中学 2016 届九年级上学期第一次月考数学 试卷
一、选择题(共 10 小题) 2 1.一个直角三角形的两条直角边长的和为 20cm,其中一直角边长为 xcm,面积为 ycm ,则 y 与 x 的函数的关系式是( ) A.y=20x÷2 B.y=x C.y=x÷2 D.y=x(10﹣x) 2.下列函数中,是二次函数的是( A. B.y=x ﹣(x

﹣1)
2 2

) C. D.

3.已知点(3,y1) , (4,y2) , (5,y3)在函数 y=2x +8x+7 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 ( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 4.根据下列表格中的对应值,得到二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点的横坐标 x 的范 围是( ) x 3.23 3.24 3.25 3.26 y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A.x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 5.要从抛物线 y=﹣2x 的图象得到 y=﹣2x ﹣1 的图象,则抛物线 y=﹣2x 必须( A.向上平移 1 个单位 B.向下平移 1 个单位 C.向左平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位 6.若、 (4,5)是抛物线 y=ax +bx+c 上的两个点,则它的对称轴是( A.x=﹣ B.x=1 C.x=2 D.x=3
2 2 2 2 2 2

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7.抛物线 y=x ﹣4 的顶点坐标是( A . B. (﹣2,0) C. (1,﹣3)
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) D. (0,﹣4) )

8.抛物线 y=﹣3x ﹣x+4 与 x 轴交点的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

9.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax ;②y=bx ;③y=cx ;④y=dx ,则 a, b,c,d 的大小关系是( )

2

2

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2

A.a>b>c>d

B.a>b>d>c
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C.b>a>c>d

D.b>a>d>c
2

10.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则 abc,b ﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正 数的有( )

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

二、填空题(共 4 小题) 11.函数 y= 的自变量的取值范围是 .

12.已知抛物线 y=2x +mx﹣6 与 x 轴相交时两交点间的线段长为 4,则 m 的值是 13.抛物线 y=3x ﹣4 向上平移 3 个单位,再向左平移 4 个单位,得到的抛物线的解析式 是 .
2

2



14.已知函数

,当 m=

时,它是二次函数.

三、解答题(共 9 小题)

15.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程.下面的 二次函数图象刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个 月的利润总和 s 和 t 之间的关系) .根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式; 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元?

16.如图,隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 8m,宽是 2m,抛物线的解析式为 . (1)一辆货运车车高 4m,宽 2m,它能通过该隧道吗? 如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为 0.4m,那么这辆卡车是否可以通过?

17.已知二次函数 y=﹣x +4x+5,完成下列各题: 2 (1)将函数关系式用配方法化为 y=a(x+h) +k 的形式,并写出它的顶点坐标、对称轴. 求出它的图象与坐标轴的交点坐标. (3)在直角坐标系中,画出它的图象. (4)根据图象说明:当 x 为何值时,y>0;当 x 为何值时,y<0.

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18.如图,某学生推铅球,铅球出手(点 A 处)的高度是 0.6m,出手后的铅球沿一段抛物线运行, 当运行到最高 3m 时,水平距离 X=4m. (1)求这个二次函数的解析式; 该男同学把铅球推出去多远?

19.已知二次函数 y=x ﹣5x﹣6. (1)求此函数图象的顶点 A 和其与 x 轴的交点 B 和 C 的坐标; 求△ ABC 的面积. 20. 某水果批发商场经销一种水果, 如果每千克盈利 10 元, 每天可售出 500 千克. 经市场调查发现, 在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克. (1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?最多是多少? 若商场只要求保证每天的盈利为 6000 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元? 21.求证:m 取任何实数时,抛物线 y=2x ﹣(m+5)x+(m+1)的图象与 x 轴必有两个交点. 22.已知抛物线与 x 交于 A(﹣1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,求抛物线的解析 式. 23.如图,有长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米) ,围成中间隔有一道篱 2 笆的长方形花圃.设花圃的宽 AB 为 x 米,面积为 S 米 . (1)求 S 与 x 的函数关系式; 2 如果要围成面积为 45 米 的花圃,AB 的长是多少米?
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2

(3)能围成面积比 45 米 更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请 说明理由.

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安徽省六安市舒城县晓天中学 2016 届九年级上学期第一次月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题) 2 1.一个直角三角形的两条直角边长的和为 20cm,其中一直角边长为 xcm,面积为 ycm ,则 y 与 x 的函数的关系式是( ) A.y=20x÷2 B.y=x C.y=x÷2 D.y=x(10﹣x) 考点: 根据实际问题列二次函数关系式. 分析: 根据已知表示出两条直角边的长,再利用直角三角形的面积公式求出即可. 解答: 解:根据一直角边长为 xcm,则另一条直角边为 cm,根据题意得出: y=x÷2. 故选:C. 点评: 此题主要考查了直角三角形的面积应用,得出两条直角边的长是解题关键. 2.下列函数中,是二次函数的是( A. B.y=x ﹣(x﹣1)
2 2

) C. D.

考点: 二次函数的定义. 分析: 根据二 次函数的定义逐一进行判断. 解答: 解:A、等式的右边不是整式,不是二次函数,故本选项错误; B、原式化简后可得,y=2x﹣1,故本选项错误; C、符合二次函数的定义,故本选项正确; D、分母中含有未知数,不是整式方程,因而不是一元二次方程,故本选项错误; 故选 C. 2 点评: 本题考查了二次函数的定义,要知道:形如 y=ax +bx+c(其中 a,b,c 是常数,a≠0)的函 数叫做二次函数, 其中 a 称为二次项系数, b 为一次项系数, c 为常数项. x 为自变量, y 为因变量. 等 号右边自变量的最高次数是 2. 3.已知点(3,y1) , (4,y2) , (5,y3)在函数 y=2x +8x+7 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 ( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
2

考点: 二次函数图象上点的坐标特征. 分析: 先运用配方法求出二次函数 y=2x +8x+7 的对称轴为 x=﹣2,再根据二次函数的增减性可知, 当抛物线开口向上时,在对称轴的右边,y 随 x 的增大而增大即可求解. 解答: 解:∵y=2x +8x+7=2(x+2) ﹣ , ∴对称轴为 x=﹣2, 又∵二次项系数 a=2>0, ∴此函数的图象开口向上, ∵5>4>3, ∴y3>y2>y1. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,解题关键是(1)找到二次函 数的对称轴;掌握二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象性质. 4.根据下列表格中的对应值,得到二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点的横坐标 x 的范 围是( ) x 3.23 3.24 3.25 3.26 y ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A.x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 考点: 抛物线与 x 轴的交点. 分析: 仔细看表,可发现 y 的值﹣0.02 和 0.03 最接近 0,再看对应的 x 的值即可得. 2 解答: 解:由表可以看出,当 x 取 3.24 与 3.25 之间的某个数时,y=0,即这个数是 ax +bx+c=0 的 一个根. 2 二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点的横坐标 x 的范围是:3.24<x<3.25. 故选 C. 点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点,对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方 程关系正确理解的基础上的. 5.要从抛物线 y=﹣2x 的图象得到 y=﹣2x ﹣1 的图象,则抛物线 y=﹣2x 必须( ) A.向上平移 1 个单位 B.向下平移 1 个单位 C.向左平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 按照“左加右减,上加下减”的规律,可以求解. 2 2 解答: 解:按照“左加右减,上加下减”的规律,y=﹣2x 的图象向下平移 1 个单位得 y=﹣2x ﹣1 的 图象. 故选:B. 点评: 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减. 6.若、 (4,5)是抛物线 y=ax +bx+c 上的两个点,则它的对称轴是( A.x=﹣ B.x=1 C.x=2 D.x=3
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考点: 二次函数的性质. 专题: 函数思想.

分析: 由已知,点、 (4,5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点,所以只需求两对称点横坐标的 平均数. 解答: 解:因为抛物线与 x 轴相交于点、 (4,5) , 根据抛物线上纵坐标相等的两点,其横坐标的平均数就是对称轴, 所以,对称轴 x= =3;

故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的对称性.二次函数关于对称轴成轴对称图形. 7.抛物线 y=x ﹣4 的顶点坐标是( A . B. (﹣2,0) C. (1,﹣3) 考点: 二次函数的性质.
2 2

) D. (0,﹣4)

分析: 形如 y=ax +k 的顶点坐标为(0,k)直接求顶点坐标. 2 解答: 解:抛物线 y=x ﹣4 的顶点坐标为(0,﹣4) . 故选 D. 点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法. 8.抛物线 y=﹣3x ﹣x+4 与 x 轴交点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 抛物线与 x 轴的交点. 2 分析: 令 y=0,则得到关于 x 的一元二次方程 y=﹣3x ﹣x+4,根据根的判别式判断有几个解就是该 抛物线与 x 轴有几个交点. 解答: 解:当与 x 轴相交时,函数值为 0.即﹣3x ﹣x+4=0, 2 2 △ =b ﹣4ac=(﹣1) ﹣4×(﹣3)×4=49>0, ∴有 2 个不相等的实数根, 2 ∴抛物线 y=﹣3x ﹣x+4 与 x 轴有 2 个交点, 故 选:C. 点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点.x 轴上的点的纵坐标为 0;抛物线与 x 轴的交点个数与函 数值为 0 的一元二次方程的解的个数相同. 9.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax ;②y=bx ;③y=cx ;④y=dx ,则 a, b,c,d 的大小关系是( )
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A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d 考点: 二次函数图象与系数的关系.

D.b>a>d>c

专题: 压轴题. 分析: 图中函数均以原点为顶点,y 轴为对称轴,根据开口宽窄和方向解答. 2 解答: 解:由二次函数 y=ax 的性质知, 2 (1)抛物线 y=ax 的开口大小由|a|决定. |a|越大,抛物线的开口越窄; |a|越小,抛物线的开口越宽. 2 抛物线 y=ax 的开口方向由 a 决定. 当 a>0 时,开口向上,抛物线(除顶点外)都在 x 轴上方; 当 a<0 时,开口向下,抛物线(除顶点外)都在 x 轴下方. 根据以上结论知:a>b>0,0>c>d. 故选 A. 点评: 此题只要熟悉二次函数的性质,就可以解答. 10.二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则 abc,b ﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正 数的有( )
2 2

A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 开放型. 分析: 根据二次函数的性质,对 a、b、c 的值进行判断.利用二次函数图象与 x 轴的交点个数,对 2 判别式 b ﹣4ac 进行判断,利用对称轴公式对 2a+b 进行判断,将特殊值代入解析式,对 a+b+c 进行 判断. 解答: 解: (1)abc>0,理由是, 抛物线开口向上,a>0, 抛物线交 y 轴负半轴,c<0, 又对称轴交 x 轴的正半轴, >0,而 a>0,得 b<0,

因此 abc>0; 2 b ﹣4ac>0,理由是, 2 抛物线与 x 轴有两个交点,b ﹣4ac>0; (3)2a+b>0,理由是,0<﹣ <1,a>0,∴﹣b<2a,因此 2a+b>0;

(4)a+b+c<0,理由是, 由图象可知,当 x=1 时,y<0;而当 x=1 时,y=a+b+c.即 a+b+c<0. 2 综上所述,abc,b ﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值 为正数的有 3 个.

故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系,同时结合了不等式的运算,此题是一道结论 开放性题目,难度系数比较大. 二、填空题(共 4 小题) 11.函数 y= 的自变量的取值范围是 0≤x≤ .

考点: 函数自变量的取值范围. 分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于 0,分母不等于 0,可以求出 x 的 范围. 解答: 解:根据题意得:1﹣2x≥0 且 x≥0 +1≠0, 解得:0≤x≤ . 故答案为:0≤x≤ . 点评: 考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; 当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 12.已知抛物线 y=2x +mx﹣6 与 x 轴相交时两交点间的线段长为 4,则 m 的值是 ±4 . 考点: 抛物线与 x 轴的交点. 2 2 分析: 先令 y=0,则 2x +mx﹣6=0,设一元二次方程 2x +mx﹣6=0 的两根分别为 x1,x2,再根据根 与系数的关系得出 x1+x2 与 x1?x2 的值,根据两交点间的线段长为 4 即可 得出 m 的值. 解答: 解:令 y=0,设一元二次方程 2x +mx﹣6=0 的两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=﹣ ①,x1?x2= ﹣ =﹣3②,
2 2

∵抛物线与 x 轴相交时两交点间的线段长为 4, ∴|x1﹣x2|=4, 2 2 ∴(x1﹣x2) =16,即(x1+x2) ﹣4x1x2=16, 把①②代入得, (﹣ ) ﹣4×(﹣3)=16,解得 m=±4. 点评: 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题,熟知一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关 键. 13. 抛物线 y=3x ﹣4 向上平移 3 个单位, 再向左平移 4 个单位, 得到的抛物线的解析式是 y=3 (x+4) 2 ﹣1 . 考点: 二次函数图象与几何变换.
2 2

分析: 先求出原抛物线的顶点坐标,再根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标减求出新函数的顶 点坐标,然后利用顶点式形式写出即可. 2 解答: 解:抛物线 y=3x ﹣4 的顶点坐标为(0,﹣4) , ∵向左平移 4 个单位, ∴新抛物线的顶点的横坐标额 0﹣4=﹣4, ∵向上平移 3 个单位, ∴新抛物线的顶点的纵坐标为﹣4+3=﹣1, ∴新抛物线的顶点坐标为(﹣4,﹣1) , ∴得到的抛物线的解析式是 y=3(x+4) ﹣1. 2 故答案为:y=3(x+4) ﹣1. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,利用顶点的变换确定抛物线的变换更加简便.
2

14.已知函数

,当 m= ﹣1

时,它是二次函数.

考点: 二次函数的定义. 分析: 根据二次函数的定义列出关于 m 的方程,求出 m 的值即可. 解答: 解:∵y=(m﹣1)xm2+1 是二次函数, 2 ∴m +1=2, ∴m=﹣1 或 m=1(舍去此时 m﹣1=0) . 故答案为:﹣1. 点评: 此题考查了二次函数的定义,关键是根据定义列出方程,在解题时要注意 m﹣1≠0. 三、解答题(共 9 小题) 15.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利过程.下面的 二次函数图象刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个 月的利润总和 s 和 t 之间的关系) .根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关系式; 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元?

考点: 二次函数的应用. 分析: (1)本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题,应根据图象以及题目 中所给的信息来 列出 S 与 t 之间的函数关系式;

把 S=30 代入累计利润 S= t ﹣2t 的函数关系式里,求得月份; (3)分别 t=7,t=8,代入函数解析 S= t ﹣2t,再把总利润相减就可得出. 解答: 解: (1)由图象可知其顶点坐标为, 2 故可设其函数关系式为:S=a(t﹣2) ﹣2. ∵所求函数关系式的图象过(0,0) , 于是得: a(0﹣2) ﹣2=0, 解得 a= . ∴所求函数关系式为:S= (t﹣2) ﹣2,即 S= t ﹣2t. 答:累积利润 S 与时间 t 之间的函数关系式为:S= t ﹣2t;
2 2 2 2 2

2

把 S=30 代入 S = (t﹣2) ﹣2, 得 (t﹣2) ﹣2=30.
2

2

解得 t1=10,t2=﹣6(舍去) . 答:截止到 10 月末公司累积利润可达 30 万元. (3)把 t=7 代入关系式, 得 S= ×7 ﹣2×7=10.5, 把 t=8 代入关系式, 得 S= ×8 ﹣2×8=16, 16﹣10.5=5.5, 答:第 8 个月公司所获利是 5.5 万元. 点评: 此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用,我们首先要吃透题意,确定变量,建 立函数模型,尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键. 16.如图,隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 8m,宽是 2m,抛物线的解析式为 . (1)一辆货运车车高 4m,宽 2m,它能通过该隧道吗? 如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为 0.4m,那么这辆卡车是否可以通过?
2 2

考点: 二次函数的应用. 分析: (1)根据抛物线的对称性当 x=1 时代入抛物线的解析式,求出 y 的值再进行比较就可以求 出结论; 根据抛物线的对称性当 x=2.2 时代入抛物线的解析式,求出 y 的值再进行比较就可以求出结论; 解答: 解: (1)由题意由,得 当 x=1 时, ∵3.75+2=5.75>4, ∴能通过. 由题意,得 当 x=2.2 时, , ,

∵2.79+2=4.79>4, ∴能通过. 点评: 本题考查了抛物线的图象对称性的运用,有理数大小的比较的运用,由自变量的值求函数值 的运用. 17.已知二次函数 y=﹣x +4x+5,完成下列各题: 2 (1)将函数关系式用配方法化为 y=a(x+h) +k 的形式,并写出它的顶点坐标、对称轴. 求出它的图象与坐标轴的交点坐标. (3)在直角坐标系中,画出它的图象. (4)根据图象说明:当 x 为何值时,y>0;当 x 为何值时,y<0.
2

考点: 二次函数的性质;二次函数的图象;二次函数的三种形式. 分析: (1)用配方法整理,进而得出顶点坐标和对称轴即可; 让函数值为 0,求得一元二次方程的两个解即为这个二次函数的图象与坐标轴的交点的横坐标,让 x=0,可求得抛物线与 y 轴的交点坐标;找到与 y 轴的交点,x 轴的交点,对称轴,即可画出大致图 象; (3)由(1)和中的条件即可画出它的图象; (4)分别找到 x 轴上方和下方函数图象所对应的自变量的取值即可. 2 2 2 解答: 解: (1)y=﹣x +4x+5=﹣(x ﹣4x+4)+9=﹣(x﹣2) +9; 故它的顶点坐标为、对称轴为:x=2; 图象与 x 轴相交是 y=0,则: 0=﹣(x﹣2) +9, 解得 x1=5,x2=﹣1, ∴这个二次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(5,0) , (﹣1,0) ; 当 x=0 时,y=5, ∴与 y 轴的交点坐标为(0,5) ; (3)画出大致图象为:
2



4)﹣1<x<5 时 y>0;x<﹣1 或 x>5 时 y<0. 点评: 此题主要考查了二次函数的图象,用到的知识点为:抛物线与 x 轴的交点的纵坐标为 0,与 y 轴交点的横坐标为 0;函数值大于 0,相对应的自变量的取值是 x 轴上方函 数图象所对应的 18.如图,某学生推铅球,铅球出手(点 A 处)的高度是 0.6m,出手后的铅球沿一段抛物线运行, 当运行到最高 3m 时,水平距离 X=4m. (1)求这个二次函数的解析式; 该男同学把铅球推出去多远?

考点: 二次函数的应用. 分析: (1)由条件设二次函数的解析式为 y=a(x﹣4) +3,将(0,0.6)代入解析式求出其解即 可; 当 y=0 时,代入解析式求出 x 的值就可以得出结论. 解答: 解: (1)设二次函数的解析式为 y=a(x﹣4) +3,把(0,0.6)代入得 2 0.6=a(0﹣4) +3 , ∴ ,
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当 y=0 时, , 解得 , (舍去) .

答:该男同学把铅球推出去 4+2 米远. 点评: 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用,根据函数值求自变量的值的运用,解答 时求出函数的解析式是关键. 19.已知二次函数 y=x ﹣5x﹣6. (1)求此函数图象的顶点 A 和其与 x 轴的交点 B 和 C 的坐标; 求△ ABC 的面积. 考点: 抛物线与 x 轴的交点;二次函数的性质.
2

分析: (1)由顶点坐标公式可以求得顶点 A 的坐标,把二次函数的一般式方程转化为两点式,根 据解析式可以求得点 B、C 的坐标. 由两点间的距离公式求得 BC 的长度,然后由三角形的面积公式求解. 解答: 解: (1)∵二次函数 y=x ﹣5x﹣6 中的 a=1,b=﹣5,c=﹣6. ∴﹣ (
2 2

=﹣

= , ;

=

=﹣

,则顶点坐标是:A

∵y=x ﹣5x﹣6=(x﹣6) (x+1) , ∴该抛物线与 x 轴的交点 B 和 C 的坐标分别是:B(6,0) ,C(﹣1,0) ; 由(1)知,A( ∴ ,B(6,0) ,C(﹣1,0) , .即△ ABC 的面积是 .

点评: 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质.此题也可以利用配方法求该函数图象的 顶点坐标. 20. 某水果批发商场经销一种水果, 如果每千克盈利 10 元, 每天可售出 500 千克. 经市场调查发现, 在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克. (1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?最多是多少? 若商场只要求保证每天的盈利为 6000 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元? 考点: 二次函数的应用. 分析: (1)设每千克涨价 x 元,利润为 y 元,根据总利润=每千克利润×数量建立式子,求出 y 与 x 之间的关系即可求出结论, 把 y=6000 代入(1)的解析式,根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论. 解答: 解: (1)设每千克涨价 x 元,利润为 y 元,由题意,得 y=(10+x) (500﹣20x) , = ∴a=﹣20<0, ∴抛物线开口向下,当 x=7.5 时,y 最大值=6125. 当 y=6000 时, 6000=(10+x) (500﹣20x) , 解得:x1=10,x2=5, ∵要使顾客得到实惠, ∴x=5. 答:每千克应涨价为 5 元. 点评: 本题考查了总利润=每千克利润×数量建立二次函数的解析式的运用,二次函数的解析式的性 质的运用,由函数值求自变量的值的运用,解答时求出函数的解析式是关键. ,

21.求证:m 取任何实数时,抛物线 y=2x ﹣(m+5)x+(m+1)的图象与 x 轴必有两个交点 . 考点: 抛物线与 x 轴的交点. 专题: 证明题. 分析: 先令 y=0,判断出△ 的符号,根据二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的交点与一 2 元二次方程 ax +bx+c=0 根之间的关系进行解答即可. 2 解答: 证明:令 y=0,则 2x ﹣(m+5)x+( m+1)=0, 2 2 ∵△=[﹣(m+5)] ﹣8(m+1)=(m+1) +16>0, 2 ∴m 取任何实数时,抛物线 y=2x ﹣(m+5)x+(m+1)的图象与 x 轴必有两个交点. 2 点评: 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题,熟知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 2 的交点与一元二次方程 ax +bx+c=0 根之间的关系是解答此题的关键. 22.已知抛物线与 x 交于 A(﹣1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,求抛物线的解析 式. 考点: 待定系数法求二次函数解析式. 专题: 计算题. 分析: 设出抛物线的二根式方程,将 C 坐标代入求出 a 的值,即可确定出解析式. 解答: 解:设抛物线解析式为 y=a(x+1) (x﹣3) , 将 C(0,3)代入得:3=﹣3a,即 a=﹣1, 2 则抛物线解析式为 y=﹣(x﹣3) (x+1)=﹣x +2x+3. 点评: 此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 23.如图,有长为 24 米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米) ,围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃.设花圃的宽 AB 为 x 米,面积为 S 米 . (1)求 S 与 x 的函数关系式; 2 如果要围成面积为 45 米 的花圃,AB 的长是多少米? 2 (3)能围成面积比 45 米 更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请 说明理由.
2 2

2

考点: 一元二次方程的应用;二次函数的应用. 专题: 几何图形问题;压轴题. 分析: (1)可先用篱笆的长表示出 BC 的长,然后根据矩形的面积=长×宽,得出 S 与 x 的函 数关 系式. 根据(1)的函数关系式,将 S=45 代入其中,求出 x 的值即可. (3)可根据(1)中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案. 解答: 解: (1)由题可知,花圃的宽 AB 为 x 米,则 BC 为米 2 这时面积 S=x=﹣3x +24x.

由条件﹣3x +24x=45 化为 x ﹣8x+15=0 解得 x1=5,x2=3 ∵0<24﹣3x≤10 得 ≤x<8

2

2

∴x=3 不合题意,舍去 即花圃的宽为 5 米. (3)S=﹣3x +24x=﹣3(x ﹣8x)=﹣3(x﹣4) +48( ∴当 时,S 有最大值 48﹣3(
2 2 2 2

≤x<8 )

﹣4) =46 =10,花圃的长为 10 米,宽为 米,这时有

2

故能围成面积比 45 米 更大的花圃.围法:24﹣3× 最大面积 平方米.

点评: 本题考查了一元二次方程,二次函数的综合应用,根据已知条件列出二次函 数式是解题的关 键.要注意题中自变量的取值范围不要丢掉.


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