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2009年温州市力学竞赛评分标准


2009 年温州市力学竞赛评分标准
一、选择题(本题共 8 小题,在每小题给出的四个选项中,有的只有一个选项正确,有的有多个 选项正确,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分,共 40 分)

题目 答案

1 D

2 D

3 C

4 ACD

5 BD

6 AC

7 ABC

8 BC

二、计算题: (本共 7 小题,共 100 分) 9. (12 分) 解: 以两球为系统,这系统受的外力:G 总=2mg, NB 为容器底对系统支持力,NA,ND 为容器壁对系统弹力. 这四力平衡: ND=NA NB=G 总=2mg=20N 由牛顿第三定律:球对容器底 B 处压力大小等于 NB=20N 以底部球为对象: 在三角形 0102P 中:
2 2

(3 分) (1 分) (3 分)

NC 为另一个球对它弹力 NA=( NB-G)/tanθ 01P=2R-2r=2x18-2x10=16cm

2 2 02P= 010 2 -01 P = 20 -16 = 12cm

tanθ =02P/01P=12/16=3/4 ∴ NA=( NB-G)/tanθ = mg/ tanθ =

(3 分)

10 = 13.3N 34

(1 分) (1 分)

由牛顿第三定律,球对壁 A 处压力为 13.3N

10. (12 分)解: (1)设杆运动到竖直位置时,A、B 两球的速度均为 ? , 则对 AB 系统机械能守恒得: 解方程得: u =

mA gR - mB gR =

1 mA + mB ) u 2 ( 2
(1 分)

(2 分)

2 gR 3

(2)在竖直位置时,设杆对 B 球的弹力为 FB,轨道对 A 球的弹力为 FA 则对 B 球有: mB g + FB = mB 解得: FB = -

v2 R



(2 分) (1 分)

1 mg 3


负号表示杆对 B 球有向上的支持力

1 u2 对 A 球有: FA - mA g - mg = mA 3 R 11 解得 FA = mg 3

(2 分) (2 分)

由牛顿第三定律,A 对轨道的压力为 FA =

11 mg ,方向竖直向下。 3
1

(2 分)

11. (13 分)解答: (1) 小球离开小车后作自由落体运动, 设下落时间为 t , 则 h=

1 2 gt 2

(1 分 )

解得 t=

2h g

(1 分)

(2)分两种情况讨论: (i)平板车向右做匀减速运动的某一时刻,小球从左端 A 离开车。 当小球在车左端时,车向右的位移 S1= 车向左的加速度 a=

2L 3

(1 分) ( 1分 ) (1 分) (1 分)

F m

2 车向右的速度 v1= v0 - 2 aS1

小球离开车的左端后做自由落体运动,当小球落地瞬间,车的速度 v2= v1–at 联立解得车的速度 v2= v0 2

4 FL F 3m m

2h g

(2 分 )

( v 2 >0,车向右做匀减速运动; v 2 <0,车向左做匀加速运动) (ii)平板车先向右做匀减速运动,然后向左做匀加速运动的某一时刻,小球从右端 B 离开 车。 当小球在车右端时,车向左的位移 S2= 车向左的加速度仍 a=

L 3

(1 分)

F m
(1 分) (1 分)

2 车向左的速度 v3= v0 + 2 aS 2

小球离开车的右端后做自由落体运动,当小球落地瞬间,车向左的速度 v4= v3+at 联立解得车向左的速度
2 v4 = v0 +

2 FL F 2h + 3m m g

(2 分)

12(12 分)
根据动能定理 平抛运动

1 mv0 2 - 0 = mgH 2
v0t = L - R

(2 分 ) (2 分 ) (2 分 ) (2 分 ) (2 分 )

圆筒转动整数圈 解得: H = ( L - R) 4h
2

1 2 gt = h 2 wt = 2np

w=nπ

2g h

(n=1,2,3…)

(2 分 )

2

13. (16 分) (1)设此时小物块的机械能为 E1. 由机械能守恒定律得 E1 = mB g ( L - L sin q ) = mgL(1 而 hB增 = ( sm - L cos q ) + ( L sin q ) - L
2 2

3 / 2)

(5 分) (2 分) (3 分)

(2)设小物块能下滑的最大距离为 sm,由机械能守恒定律有 mA gsm sin q = mB ghB增 代入解得

sm = 4 ( 1 +
(2 分) (2 分)

3 L)

(3)设小物块下滑距离为 L 时的速度大小为 v,此时小球的速度大小为 vB,则

vB = v cosq
1 1 2 mA gL sin q = mB vB + mA v 2 2 2
解得

v=

20 3 gL 5

(2 分)

14. (15 分)解:令星球半径为 R,质量为 M,r 为除表层海洋外星球内层的半径,h 表示其表层 海洋的深度,有 R=r+h 。如图所示 海洋中水的总质量:

4 m = r 水 ?( p R3 3

4 3 4 p r ) = pr 水 (3R 2 h - 3Rh 2 + h3 ) 3 3
(3 分 ) (3 分 ) (3 分 ) (3 分 )
2

R>>h ,略去上式中 h 的高次项,得:

m = 4pr 水 R 2 h ……………….(1)

GM R2 G( M - m) 海洋底的重力加速度 g底 = r2 Rm g 表 = g 底 ,得 M = …………………(2) 2h
星球表面的重力加速度 g 表 =

(1) 、 (2)式联立得: g 表 = 2p GR r 水 = 2.7m / s

(3 分 )

注,此题也可以通过两个不同密度的球体的叠加来计算。

3

15. (20 分)如图所示时,设小环与重物的速率分别为 v1 和 v2;加速度大小分别为 a1 和 a2,则 1.由机械能守恒,可得

MgL sin q = 2?


1 2 1 2 ① mv1 Mv2 2 2


(3 分) (3 分)

v1 cosq = v2 sin q

联立①、②可得(考虑到 M=2m)

v1 = 2 gL sin 3 q
2.由牛顿第二定律: 对小环: T cosq = ma1

v2 = 2 gL sin q cos 2 q

(3 分)

③ ④ (3 分)

对重物: Mg - 2T sin q = Ma

小环相对重物与绳的结点作圆周运动,以该结点(即重物)为参照物,则有

v sin q = v1 (v 为 m 相对 M 的速度)⑤
a1 cosq - a2 sin q = v 2 / L ⑥

(5 分)

并考虑到 M=2m,联立各式得

T = 3mg sin q

(3 分)

4


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