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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第4章-第3节 平面向量的数量积]


课后限时自测
A组 一、选择题 1.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 【解析】 B. 10 ∵a⊥b, C.2 5 D.10 ) 基础训练

∴a· b=0,∴x=2,∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 5+5= 10. 【答案】

B )

2.(2014· 广州模拟)若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 B.3 C.2 【解析】 D.0

∵a⊥c,∴a· c=0,

又∵a∥b,则设 b=λa, ∴c· (a+2b)=(1+2λ)c· a=0. 【答案】 D

3.已知三个向量 a,b, c 两两所夹的角都为 120° ,且|a|=1,|b|=2,|c| =3,则向量 a+b 与向量 c 的夹角 θ 的值为( A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】 ∵(a+b)· c=a· c+b· c )

9 =1×3×cos 120° +2×3×cos 120° =-2, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2 = 12+2×1×2×cos 120° +22= 3, ?a+b?· c 3 = =- 2 , |a+b|· |c| 3×3 9 -2

∴cos θ=

∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=150° . 【答案】 D

→ 4. (2013· 合肥名校三模)在平面四边形 ABCD 中, 若 AC= 5, BD=2, 则(AB

→ → → +DC)· (AC+BD)=(

)

图 4-3-1 A.1 C.3 B.2 D.4

→ +DC → )· → +BD → )=(AC → +CB → +BC →- 【解析】 由向量的加法和减法可知(AB (AC → )· → +BD → )=AC → 2-BD → 2=5-4=1. BD (AC 【答案】 A

5.(2013· 马鞍山两校高三第二次联考)对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题 中真命题是( )

A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c 【解析】 当 a· b=0 时,a 与 b 也可能垂直,故选项 A 是假命题;

当 a2=b2 时,|a|=|b|,故选项 C 是假命题; 当 a· b=a· c 时,b 与 c 也可能垂直,故选项 D 是假命题,选 B. 【答案】 二、填空题 6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1- t)b,若 b· c=0,则 t=________. 【解析】 |a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° . B

1 t ∵c=ta+(1-t)b,∴b· c=ta· b+(1-t)b2=t×1×1×2+(1-t)×1=2+1-t t =1-2. t ∵b· c=0,∴1-2=0,∴t=2. 【答案】 2

7.(2014· 武汉调研)已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 (1)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为________. 【解析】 (1)∵2a+b=(3,1),

∴|2a+b|= 32+12= 10. ∴与 2a+b 同向的单位向量 2a+b ?3 10 10? ?. =? , 10 ? |2a+b| ? 10

(2)∵b-3a=(-2,1),∴|b-3a|= 5,|a|=1, (b-3a)· a=(-2,1)· (1,0)=-2, ∴cos〈b-3a,a〉= 【答案】 ?b-3a?· a -2 2 5 = =- 5 . |b-3a||a| 5 2 5 (2)- 5

?3 10 10? (1)? , 10 ? ? 10 ?

8.(2013· 浙江高考)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R. π |x| 若 e1,e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于________. 【解析】 3 依题意,|e1|=|e2|=1,e1· e2= 2 ,

x2 x2 ? |x|?2 ∴?|b|? = = ? ? ?xe1+ye2?2 ?xe1?2+?ye2?2+2xye1· e2 = x2 3 x2+y2+2xy·2 = x2 x2+y2+ 3xy



1 1 = . 3y ?y 3?2 1 ?y?2 ? + ?+ 1+?x? + x ? ? ?x 2 ? 4

?y 3? 1 1 因为? + ?2+ ≥ , ?x 2 ? 4 4 ? |x|? 所以 0<?|b|?2≤4. ? ? |x| |x| 则 0<|b|≤2,故|b|的最大值为 2. 【答案】 三、解答题 2

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → -tOC → )· → =0,求 t 的值. (2)设实数 t 满足(AB OC 【解】 → =(3,5),AC → =(-1,1),则 (1)由题设知AB

→ +AC → =(2,6),AB → -AC → =(4,4). AB → +AC → |=2 10,|AB → -AC → |=4 2. 所以|AB 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → =(-2,-1),AB → -tOC → =(3+2t,5+t). (2)由题设知OC → -tOC → )· → =0, 由(AB OC 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- 5 . 10.(2013· 江苏高考)已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 【解】 (1)证明 由题意得|a-b|2=2,

即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), ?cos α+cos β=0, 所以? ?sin α+sin β=1, 由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π. 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1, 1 5π π 得 sin α=sin β=2,而 α>β,所以 α= 6 ,β=6. B组 能力提升

α·β 1.(2012· 广东高考)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β=β·β.若两

π π n 个非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈(4,2),且 a?b 和 b?a 都在集合{2 |n∈Z}中,则 a?b=( 5 A.2 3 B.2 )

1 C.1 D.2 a· b |a||b|cos θ |a|cos θ a?b=b· b= |b|2 = |b| ,①

【解析】

b· a |b||a|cos θ |b|cos θ b?a=a· a= |a|2 = |a| .② π π ∵θ∈(4,2), 2 ∴0<cos θ< 2 . 1 ①×②得(a?b)(b?a)=cos2θ∈(0,2). n 而 a?b 和 b?a 都在集合{2|n∈Z}中,结合选项 A、B、C、D 分析可知,只有 D 符合. 【答案】 D

2.(2013· 天津高考)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD →· → =1,则 AB 的长为________. 的中点.若AC BE → =AB → +AD → ,BE → =BC → +CE → =AD →- 【解析】 设 AB 的长为 a(a>0),因为AC 1→ 1 1 ? → 1→? 1→ → 1→2 → 2 →· → =(AB → +AD → )· ?AD-2AB?= AB· AB ,于是 AC BE AD-2AB +AD =-2a2+4a+ 2 ? ? 2 1 1 1,由已知可得-2a2+4a+1=1. 1 1 又 a>0,∴a=2,即 AB 的长为2. 【答案】 1 2

3.已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ). → |=|BC → |,求sin θ+2cos θ的值; (1)若|AC sin θ-cos θ → +2OB → )· → =1,其中 O 为坐标原点,求 sin θ· (2)若(OA OC cos θ 的值.

【解】

∵A(1,0),B(0,1),C (2sin θ, cos θ),

→ =(2sin θ-1,cos θ),BC → =(2sin θ,cos θ-1). ∴AC → |=|BC → |, (1)|AC ∴ ?2sin θ-1?2+cos2θ= ?2sin θ?2+?cos θ-1?2, 1 化简得 2sin θ=cos θ,所以 tan θ=2, 1 +2 sin θ+2cos θ tan θ+2 2 ∴ = = =-5. sin θ-cos θ tan θ-1 1 -1 2 → =(1,0),OB → =(0,1),OC → =(2sin θ,cos θ), (2)OA → +2OB → =(1,2), ∴OA → +2OB → )· → =1, ∵(OA OC 1 ∴2sin θ+2cos θ=1.∴(sin θ+cos θ)2=4, 3 ∴sin θ· cos θ=-8.


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