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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 7-7


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1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 中点,则直线 CE 垂直 于( ) A.AC C.A1D B.BD D.A1A

解析:以 A 为原点,AB、AD、AA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空 间直角坐标系, 设正方体棱长为 1, 则 A(0,0,0), C(1,1,0), B(1,0,0), D(0,1,0),
?1 1 ? A1(0,0,1),E?2,2,1?, ? ?

→ ? 1 → → 1 ? → ∴CE=?-2,-2,1?,AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0),A1D=(0,1,-1),
? ?

→ A1A=(0,0,-1). → → 1 1 显然CE· BD=2-2+0=0, → → ∴CE⊥BD,即 CE⊥BD. 答案:B

2.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的

1

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中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 NO、AM 的位置关系是 ( ) A.平行 C.异面垂直 B.相交 D.异面不垂直

解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0),M(0,0,1), → → → → O(1,1,0),N(2,1,2),NO=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1),NO· AM=0,则直 线 NO、AM 的位置关系是异面垂直. 答案:C

3.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 2a 和 AC 上的点, A1M=AN= 3 , 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( A.相交 C.垂直
2

)

B.平行 D.不能确定

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2a 解析:∵正方体棱长为 a,A1M=AN= 3 , → 2 → → 2→ ∴MB=3A1B,CN=3CA, → → → → 2 → → 2→ ∴MN=MB+BC+CN=3A1B+BC+3CA= → → 2 → → 2→ 1 → 2 → 3(A1B1+B1B)+BC+3(CD+DA)=3B1B+3B1C1. → → → ? → → → ? 1 ?2 ? 又∵CD是平面 B1BCC1 的法向量,且MN· CD=? B1B+ B1C1?· CD=0, 3 ?3 ? → → ∴MN⊥CD, ∴MN∥平面 B1BCC1. 答案:B

4.如图,已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC⊥BC,D 为 AB 的中点, AC=BC=BB1.求证: (1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面 CA1D. 证明:如图,以 C1 点为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

3

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设 AC=BC=BB1=2, 则 A(2,0,2), B(0,2,2), C(0,0,2), A1(2,0,0), B1(0,2,0), C1(0,0,0),D(1,1,2). → (1)由于BC1=(0,-2,-2), → AB1=(-2,2,-2), → → 所以BC1· AB1=0-4+4=0, → → 因此BC1⊥AB1,故 BC1⊥AB1. → (2)连接 A1C, 取 A1C 的中点 E, 连接 DE, 由于 E(1,0,1), 所以ED=(0,1,1), → 又BC1=(0,-2,-2), → 1→ 所以ED=-2BC1,又 ED 和 BC1 不共线, 所以 ED∥BC1,又 DE?平面 CA1D, BC1?平面 CA1D,故 BC1∥平面 CA1D.

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