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2013年上海高三数学四区(静安杨浦青浦宝山)联考二模试卷理科含答案


2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2x ?

3 ? 0 ,则 CU A ? 2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位),则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? 4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 ? 是 . . .

?

?

.

?m x ? y ? 3 ? 0 有唯一一组解,则实数 m 的取值范围 ?(2m ? 1) x ? y ? 4 ? 0
开始 输入 p n=1 S=0 n=n+1 n<p?
? 否 是

5 . 已 知 函 数 y ? f (x) 和 函 数 y ? l o g ( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线 2

x ? y ? 0 对称,则函数 y ? f (x) 的解析式为
2

.

6. 已知双曲线的方程为 为 7.函数 f ( x) ? .

x ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距 3

离 S=S+2?n

sin x ? cos x cos(? ? x) 的最小正周期 2 sin x cos x ? sin x
.

T?

输出 S 结 束 (第 9 题图) . 数

8.若 (1 ? 2 x) n 展开式中含 x 3 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整

n?

. 9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母 线长为

cm .

11. 某中学在高一年级开设了 4 门选修课, 每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门, 对于该年级的甲、 乙、 丙 3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是 12 . 各 项 为正 数 的 无穷等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n ,若 lim 是 . (结果用最简分数表示).

Sn ? 1 , 则 其 公比 q 的 取 值 范围 n ?? S n ?1

13.已知两个不相等的平面向量 ? , ? ( ? ? 0 )满足| ? |=2,且 ? 与 ? - ? 的夹角为 120°,则| ? |的最 大值是 .

5 ? 1 ? 10 ? 5 ? 9 15 14. 给出 30 行 30 列的数表 A :? ? 13 20 ?? ? ? ?117 150 ?

9 15 21 27 ?

13 20 27 34 ?

? ? ? ? ?

183 216 ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ?, 其特点是每行每列都构成等差数列, 216 ? ? ? ? 1074? ?

记 数 表 主 对 角 线 上 的 数 1, , , , ,0 7 4 顺 序 构 成 数 列 ? n ? , 存 在 正 整 数 s、t (1 ? s ? t ) 使 按 10 21 34 ? 1 b

b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)

?
2

, ? ) , sin ? ?
(B) ?

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于?????????( 5 4 1 . 7
(C) 7 . (D) ? 7 .



1 . 7

16.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin ? ,则“ a ? 2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切” 的 ??????????????????????????????( )

(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分又不必要条件. 17. 若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos? , sin ? ) ,则 ??????????(
2 2 (A) a ? b ? 4 . 2 2 (B) a ? b ? 4 . (C)



1 1 1 1 ? 2 ? 4 . (D) 2 ? 2 ? 4 . 2 a b a b

18.已知集合 M ? ( x, y) y ? f ( x) ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y ) y ?

?

?

? ?

1? ? x?

② M ? ( x, y) y ? e ? 2
x

?

?


③ M ? ( x, y) y ? cos x

?

?

④ M ? ( x, y) y ? ln x

?

?
(D)①③④.

其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????( (A)②③ . (B)③④ . (C)①②④.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1 BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C ,过点 C 作 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a . (1)若 F ( x ) ? f ( x) ?

2 是偶函数,在定义域上 F ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; bx ? 1

(2)当 a ? 1 时,令 ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ,问是否存在实数 ? ,使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数,在

?? 1,0? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知点 A(1,0) , P 、 P 、 P 是平面直角坐标系上的三点,且 AP 、 AP 、 AP 成等差数列,公差 1 2 3 2 3 1 为d ,d ? 0 . (1)若 P 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P 在直线 3x ? y ? 18 ? 0 上时,求点 P 的坐标; 1 3 3 (2) 已知圆 C 的方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2 (r ? 0) , 过点 A 的直线交圆于 P、P3 两点,P2 是圆 C 上 1 另外一点,求实数 d 的取值范围; (3)若 P 、 P 、 P 都在抛物线 y 2 ? 4 x 上,点 P 的横坐标为 3 ,求证:线段 PP 的垂直平分线与 x 轴的 1 2 3 2 1 3 交点为一定点,并求该定点的坐标.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n , n ? N ? . (1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ?

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和为 C n ,若 C n ?bn , n ? 2

可以写成 t p ( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 ?C n ? 中的项是否存在“指数型 和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

2013 年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进 行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解 答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度 决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给 分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [?1,3] ; 2. 2 ; 3. 2013.04

4 ; 3

4. m ?

1 ; 3

5. y ? 2 ? 1 ;
x

6.1 ;

1 C4 1 P43 3 63 7. (文、理)? ;8. (文)4(理)5 ;9. ;10. 17 ;11. (文) 2 ? (理) 3 ? ;12.?0,1? ; 64 4 8 4 4 4 3 13.(文) (1, ??) (理) ;14.(文)②③⑤(理) (17,25) . ② 3

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16.(文)B (理)A ; 17. B ;18.(文)C(理)A 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (文)解:(1)如图正四棱锥底面的边长是 1.5 米,高是 0.85 米 S

V ?

1 1 sh ? ? 1.5 ? 1.5 ? 0.85 ? 0.6375 m 3 3 3
O

0.85

m 所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0.6375 .
(2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE ,

3

E 1.5

SE ? SO2 ? EO2 ? 0.852 ? 0.752
1 S 侧 ? 4 ? ? 1.5 ? SE 2
(理) 19.(1)(理)解法一:建立坐标系如图 平面 B1BCC1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0)

1 ? 4 ? ? 1.5 ? 0.85 2 ? 0.75 2 ? 3.40 m 2 2

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板.

因为 E (2,1,2) C (0,2,0) ,?EC ? (?2,1,?2) , 可知直线 EC 的一个方向向量为?d ? (?2,1,?2) . 设直线 EC 与平面 B1 BCC1 成角为 ? , d 与 n1 所成角为 ? ,则

sin ? ? cos? ?

n1 ? d n1 d

?

1 9 ?1

?

1 3

1 3 19(1)解法二: EB1 ? 平面 B1BCC1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1BCC1 内的射影,故 ?ECB1 为直线 EC 故EC 与平面 B1 BCC1成角大小为 arcsin
与平面 B1 BCC1 所成角, 在 Rt?EB1C 中, EB1 ? 1, B1C ? 2 2 , 故 tan?ECB1 ?

EB1 1 2 ? ? B1C 2 2 4

故EC与平面B1BCC1成角大小为arctan
19(2)(理科)

2 4

解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,因为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所以 ?

?? 2 x ? y ? 0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) ? y ? 2z ? 0
n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6
6 . 6

cos? ?

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos

19(2)解法二:过 E 作平面 ABC 的垂线,垂足为 E ? , ?EGE ? 即为所求 E ? ? AB ,过 E ? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE

G ?E AD GE ? 2 2 ? ? ? 即 GE ? ? AE ? AF 1 5 5 EE ? ? 5 在 Rt?EE ?Q 中 tan ?EG E ? ? GE ? 所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

2? , OP ? 2, OC ? 1 3 2? 2 2 2 由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos 3
解:(1)在△ POC 中, ?OCP ?

? 1 ? 13 . 2 ? (2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ? ? ? , 3
得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?
2

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3 ? CP 4 ? ?OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

??)

(文)记△ POC 的周长为 C (? ) ,则

C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4

sin( ? ? ) ? 2 3 3

?

=

? 4 ? 3 1 4 ?? ? cos? ? sin ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 3? 3? 3 ? ?

∴? ?

? 4 3 时, C (? ) 取得最大值为 ?2. 6 3
1 2? CP ? OC sin , 2 3

(理)解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

? ?

4 ? 1 4 4 ? 3 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 3 2 3 3

4 3

sin ? (

2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 2 2 3

? sin 2? ?
∴? ?

? 3 3 3 2 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3
2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2

解法二: cos

2 2 2 2 即 OC ? PC ? OC ? PC ? 4 ,又 OC ? PC ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4

当且仅当 OC ? PC 时等号成立, 所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (文)解:(1)依题意, a ? 2 3 , C(2 3,0) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ?12 4 ,得 y ? ? 3 , ?y ? x ? 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) ,? OC ? 2 3

1 1 OC ? y1 ? y 2 ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6 ; 2 2 ? y ? kx ? 2 ? 2 (2)如图,由 ? x 2 y 2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 12kx ? 0 , ? ? (12k ) ? 0 ? ?1 ?12 4 ? 依题意, k ? 0 ,设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,线段 PQ 的中点 H ( x0,y0 ) , x ? x2 ?6 k 2 ? 2 则 x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? 2 ? , D (0, ? 2) , 2 2 3k ? 1 3k ? 1 2 ?2 2 3 由 k DH ? k PQ ? ?1,得 3k ? 1 ? k ? ?1 ,∴ k ? ? 6k 3 ? 2 3k ? 1 2 2 (理)解:(1) F ( x) ? x ? a ? 是偶函数,?b ? 0 bx ? 1
∴ S ?ABC ? 即 F ( x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2

又 F ( x) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a( x ? 1) ? x ? 2
2 2

当 x ? 1时 ? a ? R 当 x ? 1 时, a ? 当 x ? 1 时, a ?

x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2 ,a ? 2 3 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ? 2 3 ? ( x ? 1) ? ?2, x ?1 x ?1

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2 (2) ? ( x) ? f ( f ( x)) ? ?f ( x) ? x ? (2 ? ? ) x ? (2 ? ? )
4 2

? ? (x) 是偶函数,要使 ? (x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ?? 1,0? 上是增函数,即 ? (x) 只要满足在区间 ?1,???
上是增函数在 ?0,1? 上是减函数.
2 令 t ? x ,当 x ? ?0,1? 时 t ? ?0,1? ; x ? ?1,??? 时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,??? 时,

t ? x 2 是增函数记 ? ( x) ? H (t ) ? t 2 ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) ,故 ? (x) 与 H (t ) 在区间 ?0,??? 上有相同的增减
性,当二次函数 H (t ) ? t ? (2 ? ? )t ? (2 ? ? ) 在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1? 上是减函数,其对称轴方
2

程为 t ? 1 ? ?

2?? ? 1 ? ? ? 4. 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
2 4 2 2 (文)解:(1)? y ? f ( f ( x)) ? x ? 2ax ? a ? a 过原点, a ? a ? 0

? a ? 0或a ? ?1 得 f ( x) ? x 2 或 f ( x) ? x 2 ? 1
(2)(3)同理 21 (理)解(1) AP ? 1 ,所以 AP ? 5 ,设 P ? x, y ? 1 3 3

解得 x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P 的坐标为 ? 5, ?3? 或 ? 6, 0 ? 3 (2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 t ?

?? x ? 1?2 ? y 2 ? 25 ? 则? ,消去 y ,得 x2 ? 11x ? 30 ? 0 ,?(2 分) ?3x ? y ? 18 ? 0 ?
(3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 13 ?(6 分)

(ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆上或圆外, 2d ? AP3 ? AP1 ? P1 P3 , 又已知 d ? 0 , 0 ? P P ? 2r ,所以 1 3

?r ? d ?0 或 0? d ? r
max

(ⅱ)当 r ? 13 时,点 A ?1,0 ? 在圆内,所以 2d

?

13 ? r ? r ? 13 ? 2 13 ,

又已知 d ? 0 , 0 ? 2d ? 2 13 ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 (3)因为抛物线方程为 y ? 4 x ,所以 A ?1,0 ? 是它的焦点坐标,
2

结论: 0 ? r ? 13 时,? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ; r ? 13 时,? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13 当 当

点 P 的横坐标为 3 ,即 AP ? 8 2 2 设 P ? x1, y1 ? , P ? x3 , y3 ? ,则 AP ? x1 ? 1, AP ? x3 ? 1 , AP ? AP ? 2 AP , 1 3 1 3 1 3 2 所以 x1 ? x3 ? 2 x2 ? 6

y ? y1 y3 ? y1 4 ,则线段 PP 的垂直平分线 l 的斜率 kl ? ? 3 ? 1 3 4 x3 ? x1 y3 ? y1 y ? y1 y ?y ? ? 3 1 ? x ? 3? 则线段 PP 的垂直平分线 l 的方程为 y ? 3 1 3 2 4 直线 l 与 x 轴的交点为定点 ? 5,0 ?
直线 PP 的斜率 k ? 1 3 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (文)解:(1)令 n ? 1 得 1 ? a 2 ? a1 ? 又 a1 ? 2 ? a 2 ?

1? 2 2 ,即 a 2 ? a1 ? ; 3 3

8 3

n(n ? 1) ? nan ?1 ? S n ? , ? 2 ? 3 (2)由 a 2 ? a1 ? 和 ? 3 ? n(n ? 1) (n ? 1)a n ? S n ?1 ? ? 3 ? 2 2n ? a n ?1 ? a n ? , ? na n ?1 ? (n ? 1)a n ? a n ? 3 3 2 2 所以数列 {an } 是以 2 为首项, 为公差的等差数列,所以 a n ? ( n ? 2) . 3 3
解法一: 数列 {an } 是正项递增等差数列, 故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 , k 2 ? 2 , 若 则由 a 2 ? 此时 a k3 ? 2 ? ( ) ?
2

a 8 4 得q ? 2 ? , 3 a1 3

32 32 2 10 ? ( n ? 2) 解得 n ? ? N * ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 , ,由 9 9 3 3 2 n ?1 n ?1 ? (m ? 2) , 3 ? 2 n?1 ? m ? 2 ,对任 则由 a 4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 组成等比数列,所以 2 ? 2 3

4 3

何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2

n ?1

? 2 ,即 a kn 是数列 {an } 的第 3 ? 2 n ?1 ? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以

kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 .???(10 分) 解法二: 数列 {an } 是正项递增等差数列,故数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,设存在
2 ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a kn } 是等比数列,则 ak2 ? ak1 ? ak3 ,即

2 ?2 ? 2 ? 3 (k 2 ? 2)? ? 2 ? 3 (k3 ? 2) ? ?k 2 ? 2? ? 3?k3 ? 2? ? ? 因为 k 2、k3 ? N * 且k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 , 即可设 k 2 ? 2 ? 3t , t ? 2, t ? N , 当数列 {a kn } 的公比 q
最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 kn ? 3 ? 2n ?1 ? 2 . (3)由(2)可得从 {an } 中抽出部分项 ak1 , ak2 ,?, akn ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ?) 组成的数列 {a kn } 是等 比数列,其中 k1 ? 1 ,那么 {a kn } 的公比是 q ?

2

k2 ? 2 ,其中由解法二可得 k 2 ? 3t ? 2, t ? 2, t ? N . 3 k ? 2 n ?1 2 k ? 2 n ?1 3t ? 2 ? 2 n ?1 ) ?2 a kn ? 3 ? ( 2 ) ? (k n ? 2) ? k n ? 3 ? ( 2 ) ? 2 ? kn ? 3 ? ( 3 3 3 3 ? k n ? 3 ? t n?1 ? 2 , t ? 2, t ? N

所以 k1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3(1 ? t ? t 2 ? ? ? t n?1 ) ? 2n ? 3 ? t n ? 2n ? 3 (理)解:(1) an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 =2,所以 ?bn ? 为等比数列. ? ? bn Sn ? 3n Sn ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? ; an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
? a 2 ? a1 an?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2
, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为 (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1
n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由t
p

? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数, 所以存在正整数 g, h ,使得 t
p 2

?1 ? 2 , t ? 1 ? 2h ,
g

p 2

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 , 所 以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 , 相 应 的 n ? 3 , 即有

C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;
②当 p 为奇数时,t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ,由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数之和,仍为奇 数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成立,此时没有“指数型和”.


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