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【人教A版】高中数学 1.1.3正、余弦定理综合练习 新人教A版必修5


1.1.3 正、余弦定理综合练习 新人教 A 版必修 5
?基础梳理 1.(1)三角形三个角均为____角的三角形叫锐角三角形. (2)三角形 ABC 中,cos A·cos B·cos C>0,则该三角形必为__________三角形. 2. (1)三角形三个角中最大的角为____角的三角形叫直角三角形; 三角形三个角中最大 的角为____角的三角形叫钝角三角形. (

2)在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则该三角形必为__________三 角形. 2 2 2 3.在△ABC 中,若 c >a +b ,则△ABC 必是______三角形. 4. 有____条边相等或____个内角相等的三角形为等腰三角形; ____条边均相等或______ 个内角均相等的三角形叫等边三角形. 1 1 1 5.S△ABC= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2 已知 a=2,b=3,C=30°,则三角形 ABC 的面积 S△ABC=________. 基础梳理 1.(1)锐 (2)锐角 2.(1)直 钝 (2)解析:由正弦定理知:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,只需考察角 C 1 的大小即可,设 a=2k,b=3k,c=4k.由余弦定理可得:cos C=- <0, 4 所以 C 为钝角,该三角形必为钝角三角形. 答案:钝角 3.解析:∵cos C= 答案:钝角 4.两 两 三 三 5. 3 2

a2+b2-c2 <0,∴∠C 为钝角. 2ab

?自测自评 1.在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° 2.在钝角△ABC 中,已知 a=1,b=2,则最大边 c 的取值范围是(

)

A.1<c<3 B.2<c<3 C. 5<c<3 D.2 2<c<3

3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为(

)

A.

5 3 B. 18 4

C.

3 2

D.

7 8

自测自评 1.C 2.C 3.解析:设三角形的底边长为 a,则周长为 5a. ∴等腰三角形腰的长为 2a,由余弦定理可知 (2a) +(2a) -a 7 cos a= = . 2·2a·2a 8 答案:D
2 2 2

?基础达标 1.在△ABC 中,若

sin A cos B
a = b

,则角 B 的值为(

)

B.45° C.60° sin A cos B 1.解析:由 = 及正弦定理得: a b
sin A cos B = , sin A sin B ∴ cos B =1,tan B=1.又∵0°<B<180°, sin B

A.30°

D.90°

∴B=45°,故选 B. 答案:B 2 2.(2014·江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 c =(a π 2 -b) +6,C= ,则△ABC 的面积为( 3 )

A.3 B.

9 3 2

C.

3 3 2

D.3 3

π π 2 2 2 2 2 2.解析:因为 c =(a-b) +6,C= ,所以由余弦定理得:c =a +b -2abcos , 3 3 1 1 3 3 3 所以-2ab+6=-ab,即 ab=6,因此△ABC 的面积为 absin C= ×6× = ,故选 C. 2 2 2 2 答案:C a+c 2B 3.在△ABC 中,cos = ,则△ABC 是( 2 2c

)

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
3.B

4.在三角形 ABC 中,已知∠B=60°,最大边与最小边的比为 大角为( ) A.60° B.75° C.90° 4.B

3+1 ,则三角形的最 2

D.115°

5. (2014·福建卷)在△ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 3, 则△ABC 的面积等于________. 2 3 4 5. 解析:在△ABC 中,由正弦定理得 = ,解得 sin B=1,所以 B=90°, sin 60° sin B 1 1 2 2 所以 S△ABC= ×AB×2 3= × 4 -(2 3) ×2 3=2 3. 2 2 答案:2 3 ?巩固提高 1 6.(2014·天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a, 4 2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 6.解析:∵2sin 3 2 1 4

B=3sin C,∴2b=3c,∴b= c,代入 b-c= a 得 a=2c,由余弦

b2+c2-a2 1 定理得 cos A= =- . 2bc 4
1 答案:- 4 7.(2013·辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C 1 +csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B=( 2 )

A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

7.解析:由正弦定理可得 1 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B, 2 1 又因为 sin B≠0,所以 sin Acos C+sin Ccos A= , 2 1 所以 sin(A+C)=sin B= . 2 π 因为 a>b,所以∠B= . 6 答案:A 8.(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值 是________. 8.解析:由已知 sin A+ 2sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ 2b=2c,cos C=

a2+b2-c2 = 2ab
2 2

a2+b2-?

?a+ 2b?2 ? ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab
= 8ab ≥ 8ab

2ab 2



6- 2 ,当且仅当 4

3a =2b 即 =

a b

时等号成立. 3

答案:

6- 2 4

9.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 9.解析:(1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理得 3sin Asin C-cos Asin C=sin C. ? π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin?A- ?= . 6? 2 ? π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 解得 b=c=2. 10.在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 10. 解析: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= 100+36-196 1 = =- . 2×10×6 2 ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°, 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = . sin∠ADB sin B
2 2 2 2 2

AD2+DC2-AC2 2AD·DC

AB

AD

∴AB=

AD·sin∠ADB 10sin 60° = = sin B sin 45°

10× 2 2

3 2

=5 6.

1.正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具,正确选择适合试题特点的公式 极为重要,当使用一个定理无法解决问题时,要及时考虑另外一个定理. 2.三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的,应该养成应用三角公式列式 化简的习惯. 3.注意 A+B+C=π 式的运用,sin A=sin(B+C).


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