当前位置:首页 >> 初中教育 >>

二次函数系数abc的关系


y o x

二次函数的 图象和性质

抛物线位置与系数a,b,c的关系:

⑴a决定抛物线的开口方向: y a>0 开口向上 a<0 开口向下
x

⑵c决定抛物线与y轴交点(0,c)的位置: ① c>0 <=>图象与y轴交点在y轴正半轴; ② c=0 <=>图象过原点; ③ c<0

<=>图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习: 指出下列二次函数与y轴交点的位置: 1.y=x 2 ? 8x ? 7 2.y=-2x 2 ? 9x ? 17 3.y=mx 2 ? kx-4k 2

y

x

⑶a,b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x = ? 2 a
① ② ③ a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧; b=0 <=> 对称轴是y轴; a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧
y

o

x

华东师范大学出版社

数学

1.试判断a, b, c的符号
y

o

x

练习: 1.若抛物线y ? ax 2 ? bx ? c的图象如图1,说出a,b, c的符号。 2.若抛物线y ? ax 2 ? bx ? c经过原点和第一二三 象限,则a,b,c的符号分别是
3.若抛物线y ? ax 2 ? bx ? c的图象 如图2所示,则一次函数y=ax+bc 的图象不经过 。 y



y o
图2

x

o

图1

x

数学 在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 (C )
华东师范大学出版社

y
o x o

y
x o

y
x o

y
x

A

B

C

D

华东师范大学出版社 数学 一次函数 y= ax + b 图象过二、三、四象限,则

二次函数y = ax2 + ybx - 3的大致图象是 ( yC ) y y
o x o -3 x o -3 x o -3 x

-3

A B C D 2.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象 如下,与x y 轴的一个交点为(1,0),则下列 各式中不成立的是( B ) A.b2-4ac>0 B.abc>0 -1 1 o C.a+b+c=0 D.a-b+c<0

x

(4)抛物线与直线x ? 1交点

y

X=1
y ? a?b?c ? 0

y ? a?b?c ? 0

o

x
y ? a?b?c ? 0

抛物线与直线x ? ?1的交点

y
y ? a ?b ?c ? 0 y ? a ?b ?c ? 0

o
y ? a ?b ?c ? 0

x

X=-1

练习: 二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象如图,用(<,>,=)填空: a 0,b 0,c 0,a+b+c 0,a-b+c 0,

y

-1 o

1 x

二次函数有最大或最小值由a决定。

2 b 4ac ? b 当x= ? 时,y有最大(最小)值 2a 4a

y

y

.

能否说出 它们的增 减性呢? . x
x

.
x

△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况:

① △>0<=>抛物线与x轴有两个交点; ② △=0<=>抛物线与x轴有唯一的公式点;
③ △<0<=>抛物线与x轴无交点。

y o x

y o x

y

o

x

△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况: ① △>0<=>抛物线与x轴有两个交点;
② △=0<=>抛物线与x轴有唯一的公式点; ③ △<0<=>抛物线与x轴无交点。

y o x

y o x

y

o

x

训练题: ()y ? x ? 2x ? 2; 1
2

1.判断下列二次函数与x轴交点情况: (2) y ? 2 x ? x ? 3
2

(3)y ? ?x ? 2x ? 1
2

华东师范大学出版社

数学

练习:填空
2

(1)函数y=ax +bx +c(a ? 0)的函数值恒为正的 条件为:
2

, 恒为负的条件为:
2

。 。

(2)已知抛物线y=ax +bx +c的图象在x轴的下方, 则方程ax +bx +c ? 0的解的情况为
2

(3)二次函数y=ax +bx +c中,ac<0,则抛物线与x轴 有 交点。

称二次函 2 数的 当抛物线y ? ax ? bx+c与x轴有两个交点时, 交点式

另外:

即? ? 0时,设交点坐标为(x1, 0);(x 2, 0), 则有: y=ax2 ? bx+c ? a(x ? x1) x-x 2) ( ?
?b ? ? ?b ? ? 交点间的距离 x1 -x 2 ? ? 2a 2a

2 ? ? b ? 4ac ? ? ? 2a a a
2

b x1 ? x 2 ? ? ; a

c x1 ? x 2 ? a

c x1 ? x 2 ? a
? a,c的符号决定抛物线与x轴交点的位置, 若a,c同号,抛物线与x轴的交点在y轴的同侧, 若a,c异号,抛物线与x轴的交点在y轴的两侧。

1.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 y 的是 (B ) 2-4ac>0 - b <0 A.b B. 2a
-1 o 1

4ac-b2 >0 C.a+b+c=0 D. 4a 2.若把抛物线y = x2 - 2x+4向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则( B ) A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=9 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18

x

3.若二次函数y=x2 + ax+2a-1的最小值是2,则a的 值是 ( ) A. 2 B. -1 C. 6 D.2或6

4.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第 -- 二、三、 象限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 (A )
y o x o B -3 y x o C -3 y x o D -3 y x

A

-3

(4)抛物线y ? x 2 ? 2m ? 1)x ? m 2与x轴有两个交点, ( ? 则m y有最 那么 a ;b 。
2 2

(5)抛物线y=ax +bx +c中,b ? ac,且x ? 0时,y ? ?4, 值为 ;c 。 ;

(6)已知抛物线y=ax 2 +bx +c过 原点和第二三四象限,

1.k 为何值时,抛物线y ? ?3x ? 2x+k与x轴( ) 1
2

交于两点(2)相切(3)相离 2.已知抛物线y ? x ? p ? 2)x ? p-4( )证明: ( 1
2

无论p取何值,抛物线与x轴均交于两点;(2) 若两交点间的距离为2,求p。

3、二次函数y ? x ? 4x ? m-3,无论x取何值都有:
2

y>0,求m的取值范围。
练习: 若二次函数y ? mx 2 ? 4x ? 4,无论x取何值都有: y<0,求m的取值范围。
2

4.抛物线y ? 5x ? 5x ? m图象与x轴交于A(x1, 0), B x 2, ( 0),且x ? x 2
2 1 2

9 ? ,求m的值。 5

5.抛物线y ? ? x ? m ? 2)x ? (m ? 1)的图象如下:() ( 3 1
2

求m的取值范围(2)在()的情况下, ? OB ? 6,求 1 OA C的坐标(3)求 AB ;(4)求S?ABC

y C A o B

x

作业: 无论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点。

1.已知抛物线y ? x 2 ? (m ? 1 x ? (m ? 1 2 ) 2 ),求证:

2.已知抛物线y ? m+6)x 2 ? (m ? 1 x ? m ? 1的图象 ( 2 ) 与x轴总有两个交点,求m的取值范围。
3.已知抛物线y ? 2x ? 3x ? m与x轴交于A, B两点,且
2

1 线段AB的长为 ,()求m的值;(2)若抛物线顶 1 2 点为p,求?ABP的面积。

4.已知抛物线y=2(k +1)x ? 4kx ? 2k ? ()k 31
2

为何值时,抛物线与x轴交于两点(一点或没 有交点);(2)k为何值时,抛物线与x轴的 两个交点在原点两侧。

5.已知抛物线y ? x ? m ? 3)x ? m()试证: ( 1
2

抛物线与x轴总有两个交点(2)m为何值时, 两个交点间的距离为3?

6.已知函数yx ? kx ? 3的图象的顶点为C,与x轴交于
2

A,B两点,且 AB ? 4,( )求k;(2)P为抛物线上 1 以动点(除C外),求使得S?ABC ? S?ABP的P的坐标。

m 3m 2 7.抛物线y ? x ? mx+ 与y ? x ? mx在同一个 2 4 坐标系中的图象如下,其中一条与x轴交于A,B,(1) 1 1 2 试判断是那一条抛物线经过A,B;(2)若 ? ? , OB OA 3
2

2

2

求抛物线的解析式。

y

A

o

B

x

华东师范大学出版社

数学

5.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+(a+c)x+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( D)

y o x o

y x o

y x o

y x

A

B

C

D

6.抛物线y ? ax 2 ? bx ? c的图象如图1,判断a,b,c, a+b+c,a-b+c的符号。 ②b<a+c,③4a+2b+c>0,④2c<3b,⑤a+b>m(am+b)(m ? 1)中正 确的有哪些?说明理由。

7. 07年天津)抛物线y ? ax 2 ? bx ? c的图象如图2,①abc>0, (

y y -1 o 1 x

-1

o X=1

2

x


相关文章:
2014二次函数系数a、b、c与图像的关系
∴ c>0 ∴ abc<0, 故④ 错误; ∴ 正确结论的序号为② ③. 故选:B. 点 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定: 评: (1)a 由抛物线开口方向确定:...
二次函数系数a、b、c与图像的关系----精选练习题
∴ c>0 ∴ abc<0, 故④ 错误; ∴ 正确结论的序号为② ③. 故选:B. 点 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定: 评: (1)a 由抛物线开口方向确定:...
二次函数系数a、b、c与图像的关系
∴c>0 ∴abc<0, 故④错误; ∴正确结论的序号为②③. 故选:B. 点评: 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上...
二次函数与abc的关系
二次函数abc的关系_数学_初中教育_教育专区。热爱数学吧,让每一个问题都凝聚...(a≠0)的系数 a,b, c 与抛物线的关系 学后反思 学到的知识 学到的方法...
二次函数图像与系数a,b,c的关系
二次函数图像与系数a,b,c的关系_初三数学_数学_初中教育_教育专区。二次函数...点 7.y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,那么下面六个代数式: abc,b2...
二次函数系数a、b、c与图像的关系
∴c>0 ∴abc<0, 故④错误; ∴正确结论的序号为②③. 故选:B. 点评: 二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上...
二次函数的图像与系数a、b、c的关系
二次函数的图像与系数a、b、c的关系_数学_自然科学_专业资料。一、二次函数...c 的图象如图所示,那么下列判断正确的是( ) (A)abc>0 (C)2a+b>0 (B)...
二次函数的图像与系数a、b、c的关系
二次函数的图像与系数a、b、c的关系_设计/艺术_人文社科_专业资料。二次函数...-1 C. 1 图象的对称轴是直线 x 说法: P (3,0) ,则 a b ① abc ?...
二次函数的图像与系数a、b、c的关系2
二次函数的图像与系数a、b、c的关系2_数学_自然科学_专业资料。一、二次函数...ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象如图所示, 有下列 4 个结论: ① abc ...
二次函数系数a、b、c与图像的关系1.1
二次函数系数a、b、c与图像的关系1.1_数学_自然科学_专业资料。二次函数系数...(a≠0)的图象如下图所示,有下列 5 个结论: ① abc<0;②a-b+c>0;③...
更多相关标签:
二次函数与系数的关系 | 二次函数根与系数关系 | 二次函数与abc的关系 | 二次函数中abc的关系 | 二次函数待定系数法 | 待定系数法求二次函数 | 待定系数法解二次函数 | 二次函数系数 |