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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像4


1.5

函数 y ? A sin( ?x ? ? )的图象

第一课时

问题提出

1.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的 三角函数,在物理中,简谐运动中的单 摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形 如 y ? A sin( ?x ? ? )的函数.我们需

要了解 它与函数y=sinx的内在联系.

?、A是影响函数图象形态的重要 2.?、 参数,对此,我们分别进行探究.

? y ? sin( x ? ? ) 的图象的影响 探究一:对

? 例1:用五点作图法作出函数 y ? sin( x ? ) 和 3 ? y ? sin( x ? ) 在一个周期内的图象,并与函数 4
y

y=sinx的图象进行比较,两图象有什么关系?
y ? sin x
y ? sin( x ?
7? 6

?
4

)

? o ?? ?
3

? 2? π
2 3

7? 4 2π x

64

y ? sin( x ?

?
3

)

结论
y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是把正 弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当

?>0时)或向右(当 ?<0时)平行 移动|? |个单位长度而得到.

? 探究二:(

? >0)对

y ? sin ? x 的图象的影响

例2:用五点作图法作出函数 y ? sin 2 x 和 1 y ? sin x 在一个周期内的图象,并与函数 2 y=sinx的图象进行比较,两图象有什么关系?

结论

函数 y ? sin ? x 的图象,可以看作是 把函数 y ? sin x 的图象上所有点的 横坐标缩短(当 ? >1时)或伸长(当0 1 <?<1时)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) 而得到的.

探究三:A(A>0)对 y ? A sin x 的图象的影响

例3:用五点作图法作出函数 y ? 2sin x 和 1 y ? sin x 在一个周期内的图象,并与函数 2 y=sinx的图象进行比较,两图象有什么关系?

结论
y ? A sin x 的图象,可以看 函数 y ? sin x 的图象上所 作是把函数 有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到的.

归纳小结 平 ? 向左 ( 移 y ? sin x
变 换

>0)或向右( ? <0)

平移| ? |个单位

y ? sin( x ? ? )

图象上所有点的横坐标缩短 周 (ω>1)或伸长(0<ω<1) 期 y ? sin x y ? sin ? x 变 1 到原来的 倍(纵坐标不变) 换 ?

振 图象上所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短 (0<A<1) 幅 y ? sin x y ? A sin x 变 到原来的A倍(横坐标不变) 换

y ? A sin( ?x ? ? ) 与 y ? sin x 的图象关系 探究四: 平 向左( ? >0)或向右(? <0) 移 y ? sin x y ? sin( x ? ? ) 变 平移| ? |个单位 换
周 期 变 换 振 幅 变 换
图象上所有点的横坐标缩短 (ω>1)或伸长(0<ω<1) 到原来的

1

y ? sin(? x ? ? )

?

倍(纵坐标不变)

图象上所有点的纵坐标伸长 (A>1)或缩短 (0<A<1)

y ? A sin(? x ? ? )

到原来的A倍(横坐标不变)

练习 教材P55 1T (4) 2T

k ?Z

例1.作出函数 y ? 3sin(2 x ? ) x ? R 3 的简图并说明它与y=sinx图象之间的 关系. 方法1:用五点作图法画函数简图(小结). 方法2:用图象变换法作函数简图. 步骤方法如下:

?

用五点法作 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的步骤是:

第一步:列表
? ? ? ? ? ? x ? 2? ? ? ? ? ? ? ? x ?? 0 ? 2
3? ? ? 2? ? 3? 2 2?

? ? ? ?
2?

y

0

A

0

?A

0

第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑的曲线连接这些点而成图象. 返回

平 移 y ? sin x 变 换 周 期 变 换 振 幅 变 换

? 向左平移 3

个单位

? y ? sin( x ? ) 3
? y ? sin(2 x ? ) 3

图象上所有点的横坐标缩短

1 到原来的 (纵坐标不变) 2
图象上所有点的纵坐标伸长 到原来的2倍(横坐标不变)

? y ? 2sin(2 x ? ) 3

思考:函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象由函 3 数
y ? sin 2 x
向左平移

?

? y ? sin 2 x 6 y ? sin(2 x ? ) 3 一般地,函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象 由函数 y ? sin ? x 的图象怎么平移得到?
个单位

的图象怎么平移得到? ?

? 向左平移 y ? sin ? x ?

个单位

y ? sin(? x ? ? )

周 期 y ? sin x 图象上所有点的横坐标缩短 变 1 到原来的 (纵坐标不变) 换 2 平 移 变 换 振 幅 变 换

y ? sin 2 x

? 向左平移 6

个单位

? y ? sin(2 x ? ) 3

图象上所有点的纵坐标伸长

到原来的2倍(横坐标不变)

? y ? 2sin(2 x ? ) 3

理论迁移

例1 要得到函数 y ? sin( 3x ? 5 ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 3x 的图象 (D ) ? A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 ? C.向左平移个 15 单位 ? D.向右平移个 15 单位

?

例2 说明它是由函数 y ? sin x 的图象进行怎 样变换而得到的?
y

? 画出函数 y ? sin(2 x ? 4 )的简图,并

p o p 3p ? 8 82 8

5p 7 p 8 8

π



x

p y = sin(2x + ) 4

探究:简谐运动的图象 简谐运动的图象的解析式是: y ? A sin(? ? ? ) x ?[0, ??) 其中A ? 0, ? ? 0 此时称: 振幅: A 相位: ? x ? ?
2?

周期: T ?

1 ? 频率: f ? ? T 2?

?

初相: ?

应用1:利用五点法或图象变换法作函数图象. 1 ? 例2:已知函数 y ? 3sin( 2 x ? 4 )

(1)用”五点法”作函数图象.
(2)说出此图象是由y=sinx的图象经 过怎样的变换得到的? (3)求此函数的周期、振幅和初相. (4)求此函数的对称轴、对称中心和单 调递增区间.

应用2:求三角函数的解析式
? 例3.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 2

的最小值为-2,其图象相邻的最高点与 最低点横坐标差是3π,又图象过(0,1)点, 求函数的解析式.

练习:已知曲线 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0)

上的一个最高点的坐标为 ( , 2 ) ,由此 2 到相邻最低点间的曲线与轴交于点 ? ? 3? ( , 0) 若 ? ? ( ? , )
(1)试求这条曲线的函数表达式. (2)写出此函数的单调区间.
2
2 2

?

例4.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 的半个周期的图象. y (1)写出f(x)的解析式. 2 (2)若g(x)与f(x)的图 象关于直线x=0对称, -1 O 1 3 写出g(x)的解析式.

x

练习:如图是函数

的一个周期的图象,又函数g(x)与之关 于直线x=2对称,写出g(x)的表达式.
y 2

? y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 2

-1 -2

1

3

5

7

x

例5.如图是函数

求 A, ? , ? 的值,并确定函数的解析式.

? y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 2
y 3
5? 6

法1:逐一定参法.
法2:相位法.
?

?
6

? 0 3

x

法3:图象变换法.

-3

法1:逐一定参法步骤. 1.由最值求振幅A 2.由周期T求ω. 3.由相位点(确定是五点中第 几点,最好取最值点)求 ? 法2:相位法步骤 1.由最值求振幅A 2.由两相位点(确定它们是五 点中第几点,最好取最值点) 建立方程求 ? , ?

例6.已知函数 f ( x ) ? a ? 2b sin( x ? )
4

?

的图象过点(0,1), 当x∈[0,π/2]时,f(x) 的最大值为 2 2 ? 1
(1)求f(x)的解析式.

(2)由f(x)的图象是否可以经过平移变 换可得到一个奇函数的图象?并说明 理由.

小结作业

1.函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象可以由函数 y ? sin x 的图象经过平移变换而得 ? 到,其中平移方向和单位分别由 的符 号和绝对值所确定.

2.对函数y ? sin( x ? ? )的图象作周期变换, ?. 它只改变x的系数,不改变 的值

3.函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象可以由函 数 y ? sin x 的图象通过平移、伸缩变换 而得到,但有两种变换次序,不同的变 换次序会影响平移单位. 4.余弦函数y = cos( wx + j )的图象变换与 正弦函数类似,可参照上述原理进行.

作业:
P55练习: 1 . P57习题1.5 A组:1.(1)(2) (做书上)


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