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【数学】江西省吉安一中2013届高三下学期期中考试(文)


江西省吉安一中 2013 届高三下学期期中考试(文)
第 I 卷(选择题、填空题共 75 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的。 ) [ ]1. 已知 z 是复数,i 是虚数单位, 1 ? i )z 在复平面中对应的点为 P,若 P 对应的复 (

数是模等于 2 的负实数,那么 z= A. ?1 ? i [ A. 3 [ ]3. 以双曲线 ]2. 已知不等式 B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ? i

3m 2 a x?2 (-1, , 是 a 和 b 的等比中项, 2) m 那么 3 ? ? 0 的解集为 ax ? b a ? 2b 3
B. -3 C. -1 D. 1

x2 y2 ? ? 1 的离心率为首项,以函数 f ( x) ? 4 x ? 2 的零点为公比的等 4 5

比数列的前 n 项的和 S n ? A. 3 ? (2n ? 1) ?

3 2

B. 3 ?

3 2n

C. [

2 n ?1 2 ? 3 3

D.

4 2n ? 3 3

]4. 已知几何体 M 的正视图是一个面积为 2? 的半圆, 俯视图是正三角形, 那么这个几

何体的表面积和体积为

A. 6? 和

4 3 ? 3 4 3 ? 3

B. 6? ? 4 3 和

8 3 ? 3 4 3 ? 3

C. 6? ? 4 3 和

D. 4(? ? 3 ) 和

第 1 页 共 10 页

[

]5. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

) , x ? R ,则 f (x) 是

A. 最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D. 最小正周期为 的偶函数 2
C. 最小正周期为 [ ]6. 如果数列 a1 ,

a a a2 , 3 ,?, n ,?是首项为 1,公比为 ? 2 的等比数列, a1 a2 a n ?1

则 a 5 等于 A. ? 2 2 C. 16 2 [ B. ? 32 D. 32
x

]7. 在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a , y ? x ? a 的图象,可能正确的是

[

?ln(? x), x ? ?2, ? ]8. 如图是计算函数 y ? ?0,?2 ? x ? 3,的值的程序框图, ? x ?2 , x ? 3

第 2 页 共 10 页

在①、②、③处分别应填入的是 A. y ? ln(? x), y ? 0, y ? 2
x x

B. y ? 0, y ? 2 , y ? ln(? x) C. y ? ln(? x), y ? 2 , y ? 0
z

D. y ? 0, y ? ln(? x), y ? 2

x

[

]9. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲 a2 b2

线的两条渐近线的交点分别为 B,C,若 A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的 离心率为 A. [ ( A. 1

3

B.

5

C.

10

D.

13

]10. 使得函数 f ( x) ? )对 B. 2

1 2 4 7 x ? x ? (a ? x ? b) 的值域为[a,b](a<b)的实数对(a,b)有 5 5 5
D. 无数

C. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 )

第 3 页 共 10 页

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 11. 已知函数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 3 y 的最大值是___________。 ?y ? 3 ?
12. G (x) 表示函数 y ? 2 cos x ? 3 的导数, 在区间 ?? 概率为__________。 已 知 x ? (0,

? ? ? 随机取值 a,G(a) ? 1 的 , ? ? 上, ? 3 ?

13.

?
2

) 时 , s i xn? x ? t a xn , 若 p ?

3 ? 1 ? sin ? cos 、 2 18 2 18

q?

3 ? tan 20 ? 2 tan10? ,r ? ,那么 p 、 q 、 r 的大小关系为____________。 2 1 ? tan 10? 1 ? 3 tan 20 ?

14. 已知函数 f (x) 是( ? ? , ? ? )上的奇函数,且 f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称, 当 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? 1 ? ( ) ,则 f (2012 ) ? f (2013 ) ? _____________。
x

1 2

15. 已知 ?ABC 中,?A ,?B ,?C 的对边分别为 a、 c, a ? 1 ,2 cosC ? c ? 2b , b、 若 则 ?ABC 的周长的取值范围是_______________。 第 II 卷(共 75 分) 四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a sin (I)求证: a, c, b 成等差数列; (II)若 a ? b ? 4 , ?ABC 的最大内角为 120 ? ,求 ?ABC 的面积 17. (本小题满分 12 分) 从某学校高三年级共 1000 名男生中随机抽取 50 人测量身高,据测量,被测学生身高 全部介于 155cm 到 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第 二组[160,165) ,?,第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的 一部分。其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。
2

B A c ? b sin 2 ? 2 2 2

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(1) 求第六组、 第七组的频率, 并估计高三年级全体男生身高在 180cm 以上 (含 180cm) 的人数; (2) 学校决定让这五十人在运动会上组成一个高旗队, 在这五十人中要选身高在 185cm 以上(含 185cm)的两人作为队长,求这两人在同一组的概率。 18. (本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?a n ?满足 4S n ? (a n ? 1) 。
2

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 a n a n ?1

19. (本小题满分 12 分) 如下图所示,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中。 AB ? AA1 ,D 是 BC 上的一点,且

AD ? C1 D ,

(I)求证: A1 B // 平面 AC1 D ;

第 5 页 共 10 页

(II)在棱 CC1 上是否存在一点 P,使直线 PB1 ? 平面 AC1 D ?若存在,找出这个点, 并加以证明;若不存在,请说明理由。 20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 1 ) ,离心率 e ? ,若点 M ( x 0 , y 0 ) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点( 3 , 2 2 2 a b

在椭圆 C 上,则点 N (

x0 y 0 ,直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点, ? ) 称为点 M 的一个“椭点” a b

若点 A,B 的“椭点”分别是 P,Q,且以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O。 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若椭圆 C 的右顶点为 D,上顶点为 E,试探究 ?OAB 的面积与 ?ODE 的面积的大 小关系,并证明。 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? x ln x(a ? R)
2

(I)若 a ? 0 ,讨论函数的单调性; (II)若函数 f (x) 满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取
2

值范围; (III)当

1 y 1 ? ln y 的大小。 ? x ? y ? 1 时,试比较 与 e x 1 ? ln x

第 6 页 共 10 页

【试题答案】
一、选择题 1. A 7. D 二、填空题 11. -1 14. 1 12. 2. D 8. B 3. B 9. C 4. C 10. B 5. B 6. D

7 8

13. q ? p ? r

15. (2,3]

四、解答题(75 分) 16. (12 分) (Ⅰ)由正弦定理化为 sin A ?

1 ? cos B 1 ? cos A 1 ? sin B ? ? sin C 2 2 2

即 sin A ? sin A cos B ? sin B ? cos A sin B ? sin C

sin A ? sin B ? sin(A ? B) ? sin C
即 sin A ? sin B ? 2 sin C ? a ? b ? 2c ,故 a,c,b 为等差数列 (Ⅱ) ? 6分

?a ? b ? 2c ?a ? c ? 2 ?? ,且 a 为最大边 ?a ? b ? 4 ?b ? c ? 2

cos120 ? ?
故 S ?ABC ? 17. (12 分)

b2 ? c2 ? a2 1 ? ? 得c ? 5 b ? 3 2bc 2

10 分

1 15 bc sin A ? 3 2 4

12 分

(1)第六组 P ? 0.08 (6 分) 第七组

P ? 0.06

估计人数为 180 人 (2) P ?

2 (6 分) 5

18. (12 分) (1)整理得 a n ? a n?1 ? 2 又 a1 ? 1 得 a n ? 2n ? 1 (2) bn ? 4分 6分 8分

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

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Tn ?

n 2n ? 1

12 分

19. (12 分)

(Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于 E 点, 可证: A1 B // DE 得 A1 B // 平面 AC1 D (Ⅱ)P 为 CC1 的中点 20. (13 分) 6分

1 ?3 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? 2 x2 y2 ? 2 2 2 2 (Ⅰ)由已知 ?a ? b ? c 得 a ? 4 b ? 3 ,方程为 ? ?1 4 3 ?c 1 ? ? ?a 2 ?
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 )

3分

B( x2 , y 2 ) ,则 P(

x1 y1 x y ) Q( 2 , 2 ) , 2 2 3 3

(1)当直线 l 的斜率存在时,设方程为 y ? kx ? m

?y ? kx? m ? 2 2 2 由 ? x2 联立得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 3) ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ?? ? 48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? ? 8k m ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? 4k 2 ? ? 4( m 2 ? 3) x1 x 2 ? ? 3 ? 4k 2 ?



由以 PQ 为直径的圆过原点 O 可得 3x1 x2 ? 4 y1 y 2 ? 0

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整理得 (3 ? 4k ) x1 x2 ? 4km( x1 ? x2 ) ? 4m ? 0 ②
2 2

由①代入②得

3 ? 4k 2 ? 2m 2 ? ? 48m 2 ? 0
m 1? k 2

6分

?m 2 ? 0

点 O 到直线 AB 的距离 d ?

AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2

4 3 3 ? 4k 2 ? m 2 4 3|m| ? 1? k 2 2 3 ? 4k 2m 2
10 分

? S ?AOB ?

1 2 3m 2 | AB | ?d ? ? 3 2 2m 2

(2)当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l: x ? m ( ? 2 ? m ? 2 ) 联立椭圆方程得

y2 ?

3(4 ? m 2 ) 4
2

3(4 ? m 2 ) ?2 5 2 5 ?0?m? y?? 代入 3x1 x2 ? 4 y1 y 2 ? 0 得 3m ? 4 5 5

S ?AOB ?

1 1 | AB | ?d ? | m | ? | y1 ? y 2 |? 3 2 2

综上 ?ABO 的面积为定值 3 又 ?ODE 的面积 ? 所以二者相等 21. (14 分) (Ⅰ) a ? 0 f ( x) ? x ? x ln x

1 ? 2? 3 ? 3 2
13 分

f ' ( x) ? ? ln x
4分

f ' ( x) ? 0 ? x ? 1

由 f ' ( x) ? 0 得 f (x) 在(0,1)↗(1,+ ? )↘ (Ⅱ)由原式得 1 ?

1 ln x ? ?b x x 1 ln x 令 g ( x) ? 1 ? ? 可得 g (x) 在(0,1]↘[1,+ ? )↗ x x
? g ( x) min ? g (1) ? 0 即 b ? 0
(Ⅲ)由(2)知 g ( x) ? 1 ? 9分

1 ? ln x 在(0,1)↘ x

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1 ? ? x ? y ?1 e


g ( x) ? g ( y )

1 ? ln x 1 ? ln y ? x y

1 ? x ? y ?1 e y 1 ? ln y ? ? x 1 ? ln x


? 1 ? ln x ? 0 ? 1 ? ln x ? 0
14 分

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