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山西省忻州市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


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忻州一中 2014-2015 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学(文)试题
注意事项: 1.考生务必用 0.5mm 黑色中性笔答题. 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.选择题(本大题

共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设集合 M={ x∈Z|?4<x<2 },N={x|x <4},则 M∩N 等于( ) A. (?1,1) B. (?1,2) C.{?1,1,2} D.{?1,0,1} ? z ? 2.已知 i 是虚数单位, z 是 z=1+i 的共轭复数,则 2 在复平面内对应的点在( z A.第一象限 B.第二象限 3.下列命题中,真命题是( ) A. ?x ∈R, x 2 ≥x B.命题“若 x=1,则 x 2 =1”的逆命题 C.命题“若 x≠y,则 sinx≠siny”的逆否命题 D. ?x ∈R, x 2 ≥x 4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值等于( A. 1 2
2014 2

)

C.第三象限

D.第四象限

)

1 B. 2015 2

C.

1 2
2016

1 D. 2017 2 )

5.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 45?,且满足 e1 ? ? ?e2 ? e1 ? ,则实数 ? 的值是( A.1 B. 2 2 3 C. 3 D.2 )

6.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0) ,则{x|f(x?2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 7.函数错误!未找到引用源。的零点个数为( A.错误!未找到引用源。 D.0 8.已知圆锥曲线 mx +y =1 的离心率为 2,则实数 m 的值为(
2 2

)

B.错误!未找到引用源。 C . 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

)

A.?1 B.?2 C.?3 D.1 9.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概 率为( ) 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 D. 3 2
1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10.已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为 a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为( A. ) B.

3 2 a 2
2

3 2 a 2
2

C. 3a

D. 3a

11.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3 则?AOB 的面积 为( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2 2 12.已知 R 上可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x ?2x?3)f ?(x)>0 的解集为( ) A. (-∞,-2)∪(1,+∞) B. (-∞,-2)∪(1,2) C. (-∞,-1)∪(1,0)∪(2,+∞) D. (-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式 1 ? 2 x ? 1 ? 3 的解集为 .

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 14.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? ?1, ?
则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 . .

? 4 ? 15.若 sin( ??)= ,则 cos(2?+ )= 3 5 3

16 . 已 知 过 点 (1, 1) 的 直 线 与 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 相 交 于 A, B 两 点 , 则 AB 的 最 小 值 为 .

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 三、解答题:(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) → 已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m =(a,b), → → n =(sinB,sinA), p =(b-2,a-2). → → (1)若 m ∥ n ,求证:△ABC 为等腰三角形; π → → (2)若 m ⊥ p ,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3

18.(本小题满分 12 分) 2015 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽 车中按进服务 区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将他们在某段高速公路的车 速(km/t)分成六段:

[60, 65), [65, 70), [70, 75), [75,80), [80,85), [85,90) 后得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅱ)若从车速在 [60, 70) 的车辆中任抽取 2 辆,求车速在 车辆恰有一辆的概率.

[65, 70)



19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列?
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和 Sn.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E?ABCD 中,AE⊥DE,CD⊥平面 ADE,AB⊥平面 ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3. (Ⅰ)求棱锥 C ? ADE 的体积; (Ⅱ)求证:平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 平面 BCE ?

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com EF 若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. ED

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M (-2,-1),离心率为 直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断直线 PQ 的斜率是否为定值,证明你的结论.

x2 y2 a b

2 .过点 M 作倾斜角互补的两条 2

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? b ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 2 . x ?1

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对函数 f ( x) 定义域内的任一个实数 x ,都有 xf ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的 取值范围. 附加题 n-1 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1) ·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100= 2 1 2.设 a ? 0, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 ,则 + 的最小值为 a b-1
3



.

3.已知函数 f(x)=x +sinx,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围 为 .

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014-2015 学年度第二学期期末考试试题 高 二 数 学(文)参考答案 一、选择题 DCDBB BCACA 二、填空题 CD 14、 [?5,11] 7 15、 25

13、 {x ? 1 ? x ? 0 或 1 ? x ? 2}

16、4

三、解答题 17.解:(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB. a b 由正弦定得知,sinA= ,sinB= (其中 R 为△ABC 外接圆的半径), 2R 2R a b 代入上式,得 a· =b· ,∴a=b.故△ABC 为等腰三角形. 2R 2R → → (2)∵ m ⊥ p ,∴m·p=0,∴a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab. 由余弦定理 c =a +b -2abcosC 得 4=(a+b) -3ab,即(ab) -3ab-4=0. 解得 ab=4,ab=-1(舍去). 1 1 π ∴△ABC 的面积 S= absinC= ×4×sin = 3. 2 2 3 18.解: (Ⅰ)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 77.5 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:
2 2 2 2 2

2分

5分 7分

9分 10 分

2分

0.01? 5 ? 0.02 ?5 ? 0.04 ?5 ? 0.06 ?( x ?75) ? 0.5 ,解得 x ? 77.5
即中位数的估计值为 77.5 6分

(Ⅱ)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为: m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) , 车速在 [65, 70) 的车辆数为: m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) 8分

设车速在 [60, 65) 的车辆设为 a , b ,车速在 [65, 70) 的车辆设为 c, d , e, f ,则所有基本事件有:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), ( a, f ) (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ) (c, d ), (c, e), (c, f ) (d , e), (d , f ) (e, f )
其中车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的事件有: 共 15 种 10 分

5

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(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ) 共 8 种
所以,车速在 [65, 70) 的车辆恰有一辆的概率为 P ? 19.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得?
?a1=1, ? ? ?d=-1. ?

8 . 15

12 分 2分

? ?a1+d=0, ?2a1+12d=-10, ?

解得?

故数列{an}的通项公式为 an=2?n.

6分

(2)设数列?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,

即 Sn=a1+ +?+ n-1,① 2 2 故 S1=1, = + +?+ n.② 2 2 4 2 所以,当 n>1 时,①?②得

a2

an

Sn a1 a2

an

Sn
2

=a1+

a2-a1
2

+?+

an-an-1 an
2
n-1

?

2

n

9分 11 分

1 ? 2-n 1 ? 2?n n ?1 1 ? =1?? + +?+ n-1?? n =1??1? n-1?? n = n. 2 ? 2 2 ?2 4 ? 2 ? 2 所以 Sn= n-1.当 n=1 时也成立. 2 综上,数列?
?

n

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和 Sn=

n
2

n-1

.

12 分 B ??????1 分 A M

C

20.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:在 RtΔADE 中,

AE ?

AD2 ? DE 2 ? 3 3

D F EF

因为 CD ? 平面 ADE , 所以棱锥 C ? ADE 的体积为

VC ? ADE ?

1 3

SΔADE ? CD ?

1 AE ? DE ? ? CD ? 9 3 . 3 2
??????4 分

(Ⅱ)证明:因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD ? DE ? D , 所以 AE ? 平面 CDE . 又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE . (Ⅲ)结论:在线段 DE 上存在一点 F ,且 解:设 F 为线段 DE 上一点,且

??5 分

??????7 分

???????8 分

EF ED

?

1 3

,使 AF // 平面 BCE .????9 分

EF ED

?

1 3



6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 1 过点 F 作 FM //CD 交 CE 于 M ,则 FM = CD . 3 因为 CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , 所以 CD //AB . 又因为 CD ? 3 AB 所以 MF ? AB , FM //AB ,所以四边形 ABMF 是平行四边形, 则 AF //BM . 又因为 AF ? 平面 BCE , BM ? 平面 BCE , 所以 AF // 平面 BCE . 4 1 21 解: (Ⅰ)由题设,得 2+ 2=1,??① ??????12 分 ??????11 分

a

b



6 3 (Ⅱ)记 P (x1,y1)、Q (x2,y2). 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 2 2 2 2 (1+2k )x +(8k -4k)x+8k -8k-4=0, 2 2 8k -8k-4 -4k +4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= ,x1= . 2 2 1+ 2k 1+2k 设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), 2 -4k -4k+2 同理得 x2= .??????????????????9 分 2 1+2k 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 1+2k 故 kPQ= = = = =1, x1-x2 x1-x2 x1-x2 8k 2 1+2k 因此直线 PQ 的斜率为定值.?????????????????12 分

a -b 2 = , ??② a 2 2 2 由①、②解得 a =6,b =3, 2 2 x y 椭圆 C 的方程为 + =1.??????????????????6 分

2

2

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x 22 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ,∴ f ?( x) ? x . ?????1 分 x ?1 ( x ? 1) 2
由 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上,可得 f (1) ? 1 ,?????????3 分 又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ?1 ,可得 f ?(1) ? ?1 .?????????4 分

? a ?1 ? ?a?2 ? 2 故有 ? ,解之可得 ? ?????????????6 分 ?b ? ?1 ? 2b ? a ? ?1 ? ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ?

2 x ? x ln x 2 ? ln x ? m, ( x ? 0) ,由 xf ( x) ? m ,即 x ?1 x ?1
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 g ( x) ?

(1 ? ln x)( x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x 2 x ? x ln x ???8 分 ? , 则 g ?( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
1 ? 0( x ? 0) ,∴ h( x) 在区间 (0,??) 上是减函数, x

令 h( x) ? 1 ? x ? ln x, 则 h?( x) ? ?1 ?

故当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ;当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 , 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g / ( x) ? 0 ,?????????10 分 ∴ g ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 . 要使

2 x ? x ln x ? m 成立,只需 m ? 1 , x ?1
??12 分

故 m 的取值范围是 (1,??) . 附加题

1.数列{an}的通项公式为 an=(-1) ·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于 2 1 2.设 a ? 0, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 ,则 + 的最小值为 . 3? 2 2 a b-1
3

n-1

.?200

3.已知函数 f(x)=x +sinx,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围 2 为 .(?2, ) 3

8


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