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高中数学人教B版必修二解析几何学案


桓仁第二高中

高一年级必修二学案

第二章 一、直线及其方程 (一)平面直角坐标系中的基本公式 1.两点的距离公式

解析几何初步

y B A

平面直角坐标系中,已知点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , 则 A 、 B 两点的距离 d ( A,B) ?

O

x

? 3) , 例 1(1)已知点 A(2, 4) , B(?2, ,则 d ( A B) ? , , 0) (2)已知点 A(1 2) , B(3 4) , C (5, ,则 ?ABC 的面积为

; .

例 2 已知

? ABCD ,求证: AC 2 ? BD2 ? 2( AB2 ? AD2 ) .

* 定理:平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的平方和. * 坐标法:建立平面直角坐标系,利用点的坐标,将几何问题转化为代数问题,通过逐 步计算来解决的方法. 2.中点坐标公式 已知点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,则线段 AB 的中点 M 的 坐标 ( x, y ) 满足:

y B A

O

x

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例3 若

? ABCD 的三个顶点 A(?3, 0) ,B(2,- 2) ,C (5,2) , 则顶点 D 的坐标是
.

.

变式:若一个平行四边形的三个顶点分别为 (?3, 0) , (2,-2) , (5, ,则第四个顶点的 2) 坐标是 * 重心坐标公式 已知 ?ABC 的三个顶点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , C ( x3 ,y3 ) , 则 ?ABC 的重心 G 的坐标是

y B A

O

x
C

实战训练 1.点 (2, ?3) 关于点 (?1,5) 的对称点的坐标是 . ,y? .

2.已知点 M (1,1) 平分线段 AB ,且 A( x,3) , B (3, y ) ,则 x ?

3.已知点 A(?1, 2) , B(2, 7) ,在 x 轴上的点 P 满足 | PA |?| PB | ,则点 P 的坐标 是 .

4.已知点 A(4,1) , B(?3, 2) ,在 y 轴上一点 C 满足 ?ABC 的面积为 12,则点 C 的坐标 是 .

5.已知 ?ABC 的重心为 P (4, 2) ,顶点 A(4, ?1) , AB 边的中点为 M (3, 2) ,则 BC 边 的长为( A.5 ) B.4 C.10 D.8

2 2 6.已知 0 ? x ? 1 ,0 ? y ? 1 , 使得不等式 x ? y ?

x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2
.

? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 ? 2 2 中的等号成立的 x , y 满足条件

7. 用 坐 标 法 证 明 : 对 于 矩 形 A B C D 在 平 面 内 的 任 意 一 点 M , 都 有 等 式 所
2 2 2 A M2 ? C M ? B M ? D M 成立.

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(二)直线的方程 1.“直线的方程”与“方程的直线”

2.直线的倾斜角 (1)定义:在平面直角坐标系中,一条直线向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正 角叫做直线的倾斜角. 规定:当直线与 x 轴重合或平行时,直线的倾斜角为 0(或 0°). (2)倾斜角的范围 [0, ? ) (或 [0 ,180 ) ).
? ?

3.直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即

k ? tan ? ( ? ≠90°),倾斜角为 90°的直线没有斜率.
(2)斜率的坐标公式:经过点 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率 k ? 1 2

例 1 (1)若三点 A(2,3) , B(3, ?2) , C ( , m) 共线,则 m ?

1 2



5) (2)斜率为 2 的直线上有 A(3, , B (a, 7) , C (?1,b) 三点,求 a , b .

提醒: ①直线的倾斜角 ? 当倾斜角 ? 是锐角时,斜率 k 在 当倾斜角 ? 是钝角时,斜率 k 在 ,但斜率 ;

②直线的倾斜角与斜率的变化关系: 范围内随着倾斜角 ? 的增大而 范围内随着倾斜角 ? 的增大而 k ; .

O

? 2

? 。 α

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例 2 三条直线 l1 、 l2 、 l3 的位置如图所示,它们的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 ,则 k1 、 k2 、

k3 的大小关系为

.

l1

y

l2 l3

O
4.直线的方程 (1)点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,斜率为 k ,则直线方程为

x

* 直线的截距: 若一条直线与 x 轴交于点 ( a, 0) ,则称直线在 x 轴上的截距为 a ; 若一条直线与 y 轴交于点 (0, b) ,则称直线在 y 轴上的截距为 b . 注意:截距 ? 距离. 例 3 过点 (2,1) ,在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线有 . 条,这样的直线的斜率是

(2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ,则直线方程

(3)两点式:已知直线经过点 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ,则直线方程为 1 2

(4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 、 b ,则直线方程为

(5)一般式:

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例 4(1)过点 (2,1) ,斜率为 ?1 的直线方程为 (2)过点 (2,1) ,平行于 y 轴的直线方程为 (3)斜率为 5,在 y 轴上的截距为 ?2 的直线方程为 (4)斜率为 ?3 ,在 x 轴上的截距为 ?2 的直线方程为 ;



; ;

(5)已知 ?ABC 的三个顶点 A(1 2) , B(3 4) , C (5, ,则 AB 边的中线所在直线的 , , 0) 方程为 .

例 5 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 ?4 ,且它与坐标轴围成的三角形的面积为 8,求直线

l 的方程.

例 6 已知两条相交直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点为 P(2,3) , 求过两点

Q1 (a1 , b1 ) 、 Q2 (a2 , b2 ) ( a1 ? a2 )的直线方程.

例 7(1)若 AC ? 0 , BC ? 0 ,则直线 Ax ? By ? C ? 0 一定不经过第 (2)直线 y ? kx ? 2 必过点 (3)直线 y ? kx ? 2k ? 3 必过点
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象限;

; .

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(三)两条直线的位置关系 1.两条直线相交、平行、重合的条件 (1)有斜率的两直线: l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则有: ... ① l1 // l2 ? ② l1 ? l2 ? ③ l1 与 l2 相交 ? ④ l1 与 l2 重合 ? (2)直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的公共点的坐标是方程组 1

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解. ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
方程组有唯一解 ? 方程组无解 ? 方程组有无数多解 ?

* 一般式的直线: l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则有: 1 ① l1 // l2 ? ② l1 ? l2 ? ③ l1 与 l2 相交 ? ④ l1 与 l2 重合 ?

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例 1(1)若直线 3x ? (1 ? a) y ? 5 ? 0 与直线 x ? y ? 0 平行,则 a ? (2)若直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 2 ? 0 与直线 3x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m ? (3)过点 (?1,3) ,与直线 l : y ? 2 x ? 3 平行的直线方程为 线 l 垂直的直线方程为 ;

; ; ,与直

(4) 已知点 A(?7, 4) ,B(?5, 6) , 则线段 AB 的垂直平分线方程为

.

* 与直线 y ? kx ? b 平行的直线方程形如: 与直线 y ? kx ? b 垂直的直线方程形如: * 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程形如: 与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程形如: 例 2 已知 ?ABC 的两条高线所在直线的方程分别为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 0 ,且顶 点 A(1, 2) ,求 BC 边所在直线的方程.

例 3 已知三条直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? ky ? 3 ? 0 , kx ? y ? 4 ? 0 交于一点,求 k .

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例 4(1)点 A(2,3) 关于点 (?1, 2) 对称的点 B 的坐标是



(2)求点 A(3,5) 关于直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 对称的点 B 的坐标;

(3)求直线 2 x ? y ? 3 ? 0 关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 对称的直线方程.

例 5 已知直线 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 和点 A(2, 0) , B(?2, ?4) . (1)在 l 上求一点 P ,使 | PA | ? | PB | 最小; (2)在 l 上求一点 P ,使 | PA | ? | PB | 最大.

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2.距离 (1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

(2)两条平行直线 A x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( C1 ? C2 )之间的距离 1

d?
例 6(1)点 P(?1, 2) 到直线 2 x ? y ? 5 的距离为 (2)平行线 3x ? 2 y ? 5 ? 0 与 6 x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离为 ; ;

, , , ( 3 ) 若 点 A(1 2) 、 B(3 4) 与 过 点 C (5 0)的 直 线 l 的 距 离 相 等 , 则 直 线 l 的 方 程
为 .

3.(补充)直线系 过直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线方程形如: 1

例 7 ( 1 ) 经 过 两 条 直 线 2x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ?1 ? 0 的 交 点 , 且 平 行 于 直 线

4 x ? 2 y ? 7 ? 0 的直线方程为



? 和 ( 2 ) 经 过 两 条 直 线 2 x ? 3y ? 1 0 0 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 垂 直 于 直 线 3x ? 2 y ? 4 ? 0 的直线方程为
.

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二、圆的方程及其应用 (一)圆的方程: 1.圆的标准方程:

例 1 根据下列条件,求圆的方程: (1)圆心在点 C (?2,1) ,且过点 A(2, ?2) ; (2)圆心在点 C (1,3) ,且与直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切; (3)过点 (0,1) 和点 (2,1) ,半径为 5 ; (4)以 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 为直径端点.

2.圆的一般方程:

探究:关于 x , y 的二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ?
2 2

.

例 2(1)圆 x ? y ? 4x ? 6 y ?12 ? 0 的圆心坐标为
2 2

,半径为 ,半径为 .



(2)圆 4 x ? 4 y ? 8x ? 4 y ?15 ? 0 的圆心坐标为
2 2

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例 3(1)求经过点 A(5, 2) , B(3, 2) ,圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上的圆的方程;

(2) ?ABC 的三个顶点为 A(0,5) , B(1, ?2) , C (?3, ?4) ,求 ?ABC 外接圆的方程.

例 4 已知一曲线是与两定点 O (0, 0) 、A(3, 0) 的距离之比为

1 的轨迹, 求该曲线的方程. 2

例 5 赵州桥的跨度是 37.02 米,圆拱高约为 7.2 米,求这座圆拱桥所在的拱圆方程.

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(二)点与圆、直线与圆、圆与圆之间的那些事儿 1.点与圆的位置关系:
2 (1)已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: x - a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? : ? 2 2

点 M 在圆 C 外 ? 点 M 在圆 C 内 ? 点 M 在圆 C 上 ? (2)已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C:x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 : 点 M 在圆 C 外 ? 点 M 在圆 C 内 ? 点 M 在圆 C 上 ? 例 1 过点 M ? m ? 2, m ? 3? 总能作出圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 5m ? 0 的两条切线, 则
2 2

实数 m 的取值范围是

.

2.直线与圆的位置关系:
2 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C:x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? 有相交、相离、相切三 ? 2 2

种位置关系. 可从代数和几何两个方面来判断: (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) :

? ? 0 ? 直线与圆 d ? r ? 直线与圆
* 直线与圆所截得的弦长

; ? ? 0 ? 直线与圆

; ? ? 0 ? 直线与圆

.

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 ; d ? r ? 直线与圆 ; d ? r ? 直线与圆 .

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例 2 1) ( 过点 P(3,2) 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 5 相切的直线方程是



(2)过点 P(3,5) 向圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 所引的切线方程是



(3)斜率为 2, 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切的直线方程是

.

* 过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程是 . 一般的,过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程是 .
2 2 2

过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程是 .
2 2

例 3 已知圆 C : x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 AB ? 17 ,求直线 l 的方程.

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例 4 设圆满足条件:①截 y 轴所得的弦长为 2;②被 x 轴分成的两端圆弧,其弧长的比 为 3:1;③圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为

5 . 求这个圆的方程. 5

例 5 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、Q 两点,且 OP ? OQ
2 2

( O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径.

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3.圆与圆的位置关系 利用两圆的圆心距与半径之间的关系判断:已知两圆的圆心分别为 C1 、 C2 ,半径分别 为 r1 、 r2 ,则 (1)当 |C1C2 |? r ? r2 时,两圆 1 (2)当 |C1C2 ?? r ? r2 时,两圆 1 (3)当 | r ? r2 |<|C1C2 ?? r ? r2 时,两圆 1 1 (4)当 |C1C2 ??? r ? r2 | 时,两圆 1 (5)当 |C1C2 ??? r ? r2 | 时,两圆 1 ; . 条; ; ; ;

例 6(1)两圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 16 y ? 48 ? 0 与 x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 44 ? 0 的公切线有

(2)若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两 圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
w

.

4.(补充)圆系 (1)过两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 及 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点
2 2 2 2

的圆系方程可设为: ( x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ) ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 1 (其中 ? 为参数, ? ? R, ? ? ?1 ,方程不包括圆 C 2 ). 当 ? ? ?1 时, 该方程是一条直线的方程, 此直线就是两圆的公共弦所在直线 (即根轴) .

2 2 (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程

可设为: ( x ? y ? Dx ? Ey ? F ) ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 (其中 ? 为参数, ? ? R ).
2 2

例 7 过原点 O 作圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 20 ? 0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段
2 2

PQ 的长为

,直线 PQ 的方程为

.

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三、空间直角坐标系 1.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,给出下列 4 条叙述: ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ④点 P 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z) 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.若已知 A(1,1,1) ,B(-3,-3,-3) ,则线段 AB 的长为(

) )

A.4 3 B.2 3 C.4 2 D.3 2 3.设 A(3,3,1) ,B(1,0,5) ,C(0,1,0) ,AB 的中点为 M,则 | CM |? ( A.

53 4

B.

53 2

C.

53 2

D.

13 2

5.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7,-5) ,则点 D 的坐标为( )

7 ,4,-1) B. (2,3,1) C. (-3,1,5) 2 6.点 P(a, b, c) 到坐标平面 xOy 的距离是( )
A. ( A. a 2 ? b 2 B. c C. c D. a ? b

D. (5,13,-3)

7.如图,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥底面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC=1,CD=2,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为( ) A. 2 C. 2 B. 3 D. 5

8.若 O(0,0,0) ,P(x,y,z) ,且 | OP |? 1 ,则 x ? y ? z ? 1所表示的图形围成
2 2 2

的几何体表面积是

_.

9.如图, 棱长为 3a 正方体 OABC- D ' A ' B ' C ' , M 在 | B ' C ' | 上, | C ' M | ? 2 | MB ' | , 点 且 以 O 为坐标原点,建立如图的空间直有坐标系,则点 M 的坐标为 .

10.如图,为一个正方体截下的一角 P-ABC, | PA |? a , | PB |? b , | PC |? c ,建立 如图的空间直角坐标系,则△ABC 的重心 G 的坐标为
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_.


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