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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:6.3《等比数列及其前n项和》


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6.3 等比数列及其前 n 项和
考情分析
高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解答

题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查

基础知识
1、等比数列的判 定: (1)定义法:
an ?1 ? q (q为非零常数,n ? N * ) (2)等比中 an

项 法 : an 2 ? an ?1 ?an ?1 (an ? 0, n ? N *且n ? 2) ( 3 ) 通 项 公 式 法 :
an ? cq n (c, q均为非零常数,n ? N * )



4



S n ? kq n ? k (k ?

a1 是常数且q ? 0且q ? 1) 1? q

(5)若 {an },{bn } 均为等比数列, S n

1 为 {an } 的前 n 项和,则 {kan }(k ? 0),{| an |}{manbn }{( ; an ) k }{ ; } ;公比不为 1 的等 an

比 数 列 由 相 邻 两 项 的 差 {a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 ? ? ? } , 相 邻 k 项 和

{S k , S2 k ? S k , S3 k ? S2 k }仍是等比;由原等比数列中相隔 k 项的项从新组成的数列
仍等比 2、等比数列的性质

[来源:Z.xx.k.Com]

(1)通项公式:① an ? a1q n ?1 ②

an ? q n?m am

na1 (q ? 1) ? ? n (2)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
(3)下脚标性质:若 m+n=p+q,则 am ?an ? a p ?aq

a (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成 , a, aq ,若四个数成等比通常设 q


a a , , aq, aq 3 ,方便计算 q3 q

注意事项

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1.利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和 : Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn= (q≠1). 1-q 2.(1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防 止因忽略 q=1 这一特殊情形导致解题失误. 3.等比数列的判断方法有: an+1 an (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N*), an-1 n 则{an}是等比数列.
2 (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an an+2(n∈N*),则数列{an}是等 +1=an·

比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈ N*),则{an}是等比数列. 题型一 等比数列基本量的计算 【例 1】设 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 S3=7,a1+3,3a2,a 3+4 构成等 差数列. (1)求 a2 的值; (2)若{an}是等比数列,且 an+1<an(n∈N*),试求 Sn 的表达式. ?a1+a2+a3=7, ? 解:(1)由已知得:??a1+3?+?a3+4? =3a2. ? 2 ? ∴a2=2. 2 (2)设数列{an}的公比为 q,由 a2=2,可得 a1=q,a3=2q. 2 又 S3=7,可知q+2+2q=7,即 2q2-5q+2=0,

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1 解得 q1=2,q2=2(舍去,an+1<an(n∈N*)). 1 ∵q=2,∴a1=4. 故数列{an}的前 n 项和 Sn=8-23-n(n∈N*). 32 【变式 1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· a4= 9 ,且公比 q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. 32 解 (1)∵a3· a4=a1· a6= 9 , 又 a1+a6=11, 32 故 a1,a6 看作方程 x2-11x+ 9 =0 的两根, 32 1 又 q∈(0,1)∴a1= 3 ,a6=3, a6 1 1 ∴q5=a =32,∴q=2,
1

32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ?2? = · ? ? ∴an= 3 · 3 ?2? . ? ? 1? 64? (2)由(1)知 Sn= 3 ?1-2n?=21,解得 n=6. ? ? 题型二 等比数列的判定或证明

an+an+1 【例 2】已知数列{an}满足 a1 =1,a2=2,an+2= 2 ,n∈N*. (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. (1)证明 b1=a2-a1=1.

an-1+an 1 1 当 n≥2 时,bn=an+1-an= 2 -an=-2(an-an-1)=-2bn-1, 1 ∴{bn}是以 1 为首项,-2为公比的等比数列. (2)解 ? 1? 由(1)知 bn=an+1-an=?-2?n-1, ? ?

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? 1? 当 n≥2 时, an =a1+(a2 - a1)+ (a3 - a2)+…+(an - an -1)=1 +1 +?-2? +…+ ? ? ? 1?n-1 ?-2? 1 - ? ? 2? ? 1?n-2 ? 1? ? ?-2? =1+ =1+3?1-?-2?n-1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1-?-2? ? ? 5 2? 1? =3-3?-2?n-1. ? ? 5 2? 1? 当 n=1 时,3-3?-2?1-1=1=a1, ? ? 5 2? 1? ∴an=3-3?-2?n-1(n∈N*). ? ? 1 1 -1 n-1 2 2 n n 【变式 2】设 d 为非零实数,an=n[Cn d+2Cn d +…+(n-1)Cn +nCn d ](n n d ∈N*). (1)写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明 理由; (2)设 bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知可得 a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2. k k-1 当 n≥2,k≥1 时,nCk n=Cn-1,因此
n k n n-1 k k k-1 k k k n-1 an=∑ C d =∑ C . -1d =d ∑ Cn-1d =d(d+1) n n k=1n k=1 k=0

由此可见,当 d≠-1 时,{an}是以 d 为首项,d+1 为公比的等比数列; 当 d=-1 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列. (2)由(1)可知,an=d(d+1)n-1,从而 bn=nd2(d+1)n-1 Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].① 当 d=-1 时,Sn=d2=1. 当 d≠-1 时,①式两边同乘 d+1 得 (d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+ 1)2+…+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].② ①,②式相减可得 -dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+…+(d+1)n-1-n(d+1)n]

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??d+1? -1 ? =d2? -n?d+1?n?. d ? ?

n

[来源:Z*xx*k.Com]

化简即得 Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1. 题型三 等比数列的性质及应用
1 2 4

1 1 1 【例 3】已知公差不为 0 的等差数列 {an}的首项 a1 为 a(a∈R),且a ,a ,a 成等 比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较a +a +a +…+a 与a 的大小. 2 22 23 2n 1 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 1 1 1 由题意可知(a )2=a · a,
2 1 4

即(a1+d)2=a1(a1+3d),

从而 a1d=d2, 故通项公式 an=na.

因为 d≠0,所以 d=a1=a.

1 1 1 (2)记 Tn=a +a +…+a ,
2 22 2n

因为 a2n=2na,

1 1n [1 - ? 2? ] 1 11 1 1 12 1n 所以 Tn=a(2+22+…+2n)=a· = [1 - ( 1 a 2) ]. 1-2 1 从而,当 a>0 时,Tn<a ;
1

1 当 a<0 时,Tn>a .
1

1 【变式 3】在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则公比 q=__ ______;|a1|+ |a2|+…+|an|=________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所以 q 1 =-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=2×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…

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1 1 1 + |an|=2(1+2+22+…+2n-1)=2(2n-1)=2n-1-2. 答案 -2 重难点突破 1 2n-1-2

[来源 :学。科。网]

【例 4】成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列 {bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?
[来源:学,科,网]

[解析] (1)解

设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d.

依题意,得 a-d+a+a+d=15, 解得 a=5 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.

依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22 , 5 解得 b1=4. 5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 5 n-1 bn=4· 2 =5· 2n-3 5 n 4?1-2 ? 5 5 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2-4,即 Sn+4=5· 2n-2 1-2 5 Sn+1+4 5· 2n-1 =2 5 =5· 2n-2 Sn+4

(2)证明

5 5 所以 S1+4=2,

? 5? 5 因此?Sn+4?是以2为首项,公比为 2 的等比数列. ? ?

巩固提高 1. 公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a2a12=16,则 a5=( )

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A. 1 C. 4 答案:A

B. 2 D. 8

解析:∵a2a12=16,∴a2 7=16, ∴a7=4=a5×22,∴a5=1. 3 9 2.已知等 比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=2,S3=2,则公比 q=( 1 A. 1 或-2 C. 1 答案:A 3 9 解析:设数列的公比为 q,∵a3=2,S3=2, 3 9 ∴a1q2=2,a1(1+q+q2)=2. 两式相除得 1+q+q2 2 q2 =3,即 2q -q-1=0. 1 B. -2 1 D. -1 或2 )

1 ∴q=1 或 q=-2. 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和 S3=21,则 a3+a4+a5 的值为( A. 33 C. 84 答案:C
[来源:Zxxk.Com]

) B. 72 D. 189

3×?1-q3? 解析:由题意可知该等比数列的公比 q≠1,故可由 S3= =21,得 1-q q3-7q+6=0,解得 q=2 或 q=-3(舍去).所以 a3+a4+a5=3×(22+23+24)= 84,故选 C.

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4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2 (n∈N ),则 a10=( A. 64 C. 16 答案:B 解析:∵an+1an=2n,∴an+2· an+1=2n+1, an+2 两式相除得 a =2. n B. 32 D. 8

n

*

)

∵a1=1.∴a1,a3,a5,a7,a9 构成以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,∴ a9=16. 又 a10· a9=29,∴a10=25=32. 5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2· a4=1,S3=7,则 S5=( ) 31 B. 4 15 D. 2

33 A. 4 17 C. 2 答案:B

1 4 解析:依题意知,a2 q>0,则 a1=q2.又 S3=a1(1+q+q2)=7, 1q =1,又 a1>0, 1 4?1-25? 1 1 1 31 于是有(q+3)(q-2)=0,因此有 q=2,所以 S5= = 1 4 ,选 B. 1-2


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