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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.5


数学

北(文)

§9. 5 椭
第九章



平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.椭圆的概念 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 ,两焦 点间的

距离叫作椭圆的 焦距 . 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a}, |F1F2|=2c, 其中 a>0, c>0, 且 a,c 为常数: (1)若 a>c ,则集合 P 为椭圆; (2)若a=c ,则集合 P 为线段; (3)若 a<c ,则集合 P 为空集.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

知识回顾 理清教材

基础知识·自主学习
要点梳理
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2
知识回顾 理清教材

图形

基础知识

题型分类

思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
范围 对称性 顶点 性质 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系
基础知识 题型分类

知识回顾 理清教材

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e=a∈(0,1) c2=a2-b2
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √(3) × (4)√

解析

D D (0,1)
3-1

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上 任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P, 则动点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ( D.抛物线 )

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且 过点 P(3,0),则椭圆的方程为________. (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________.
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题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上 任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P, 则动点 P 的轨迹是 ( )

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义; (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且 (2)题要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况; 过点 P(3,0),则椭圆的方程为________. (3) 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 (3) 可以用待定系数法求解. P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________.
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题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上 任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P, 则动点 P 的轨迹是
故|PA|=|PN|, 又 AM 是圆的半径, 解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,

( D.抛物线

)

A .圆 B.椭圆 C.双曲线 ∴ |PM|+|PN|= |PM|+|PA|=|AM |=6>|MN|,

(2) 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且 由椭圆定义知, P 的轨迹是椭圆.
2 2 x y 过点 P(3,0),则椭圆的方程为________. (2)若焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0),

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 2 2
3 0 ∵椭圆过 P(3,0),∴a2+b2=1,即 a=3, P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________.
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题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上 2
y2 x2 则动点 P 的轨迹是 若焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0).

x 又 2a=3×2b,∴b=1,方程为 +y2=1. 任一点,且点 N(2,0),线段 AN9的垂直平分线交 MA 于点 P,

( D.抛物线

)

A.圆

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且
y2 x2 又 2aP = 3×2 b,∴a=9,∴方程为 1. 过点 (3,0) ,则椭圆的方程为 ________ . 81+ 9 = ∴所求椭圆的方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.
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∵椭圆过点 P(3,0).∴a2+b2=1,即 b=3.

B.椭圆 02 32 C.双曲线

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 x2 2 y2 x2 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________.
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题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x2+2)22+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上
? n的轨迹是 =1, ?6m+ 则动点 P ?

(3)设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0 且 m≠n). 任一点,且点 N(2,0) ,线段 AN MA 于点 P, ∵椭圆经过 P1、 P2 点, ∴P1、 P2 的垂直平分线交 点坐标适合椭圆方程.

? ?3m+2n=1,

A.圆

1 C.双曲线 D.抛物线 ?m=9, ①已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 、②两式联立,解得? (2) 3 倍,并且 1 ?n= . ? 3 ________. 过点 P(3,0),则椭圆的方程为 x2 y2 ∴所求椭圆方程为 9 + 3 =1. (3) 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 x2 2 y2 x2 x2 y2 答案 (1)B (2) +y =1 或 + =1 (3) 9 + P ________ 1( 6,1)、P2(- 9 3,- 2),则椭圆的方程为 81 9 3 =1 .
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B.椭圆 ?

① ②

(

)

题型分类·深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程

【例 1】 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上 任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P, 则动点 P 的轨迹是
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法, 利用

(

)

A .圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 椭圆的定义定形状时,一定要注意常数 2a>|F1F2|这一条件.
(2) 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法, 具体过程是先定 (2) 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且 形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立 过点 P(3,0),则椭圆的方程为________. 关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两 解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx + ny = 1

(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 2 2 P(1m ( >0 6, , 1) 、 P (- 3,- 2),则椭圆的方程为________. 2≠ n >0 , m n)的形式.
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题型分类·深度剖析
y2 x2 跟踪训练 1 (1)过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点的 25 9 2 2 y x 椭圆的标准方程为___________ 20+ 4 =1 .

x2 y2 (2)已知 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦 100 36 点,若∠F1PF2=60° ,则△PF1F2 的面积为________.
解析 (1)方法一 y2 x2 椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4. 25 9
? 3-0?2+?- 5+4?2 +

由 椭 圆 的 定 义 知 , 2a = ? 3-0?2+?- 5-4?2,解得 a=2 5.

由 c2=a2-b2 可得 b2=4.

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1.
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题型分类·深度剖析
y2 x2 跟踪训练 1 (1)过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点的 25 9 2 2 y x + =1 . 椭圆的标准方程为___________ 20 4 x2 y2 (2)已知 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦 100 36 点,若∠F1PF2=60° ,则△PF1F2 的面积为________. y2 x2 方法二 因为所求椭圆与椭圆 + =1 的焦点相同,所以其焦点在 25 9
y 轴上,且 c2=25- 16. 2 9= 2 y x 设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0).
因为 c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16. ?- 5?2 ? 3?2 又点( 3,- 5)在所求椭圆上,所以 + 2 =1, a2 b 5 3 即a2+b2=1.
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练出高分

题型分类·深度剖析
y2 x2 跟踪训练 1 (1)过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点的 25 9 2 2 y x + =1 . 椭圆的标准方程为___________ 20 4 x2 y2 (2)已知 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦 100 36
12 3 . 点,若∠F1PF2=60° ,则△PF1F2 的面积为________
由①②得 b2=4,a2=20, y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1. (2)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=20,
在△PF1F2 中,由余弦定理, 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos 60° =256. ②



①2-②得|PF1|· |PF2|=48. 1 ∴S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|sin 60° =12 3.
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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 离心率. (2)如图,焦点在 x x2 y2 轴上的椭圆 + 2 4 b =1 的离心率 e= 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 2 和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 →· → 的最大值和最小值. PF PA
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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 离心率.

本题主要考查椭圆的几何性质及 其应用,解题(1)的关键是根据题

(2)如图,焦点在 x 意求出 a,c 的值;解题(2)的关键 2 2 x y 轴上的椭圆 + 2 →· → ,根据椭圆的性 4 b 是表示出 PF PA =1 的离心率 e= 质确定变量的取值范围. 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 2 和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 →· → 的最大值和最小值. PF PA
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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, 解

(1) 设椭圆的

B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 焦半径为 c,设另 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 一个焦点为 F, 如 离心率. 图所示, (2)如图,焦点在 x ∵AB=AC=1,△ABC 为直角三角形, x2 y2 轴上的椭圆 + 2 2+ 2 4 b ∴1+1+ 2=4a,则 a= 4 . =1 的离心率 e= ? ?x+1=2a, 1 设 FA=x,∴? ? ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 ?1-x+ 2=2a, 2 2 22 和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 ∴x= 2 ,∴1+( 2 ) =4c2, →· → 的最大值和最小值. PF PA
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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A,

6 c ∴c= ,e=a= 6- 3. 4 B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 (2)设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知
a=2, c 1 (2)如图,焦点在 x ∵e=a=2,∴c=1, 2 2 x y 2 2 2 轴上的椭圆 + 2 ∴ b = a - c =3. 4 b x2 y2 =1 的离心率 e= 所求椭圆方程为 4 + 3 =1. 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. 2

离心率.

和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 又 F(-1,0),A(2,0), → =(-1-x ,-y ), → → PF 0 0 PF· PA的最大值和最小值.
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题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 离心率.

→ =(2-x ,-y ), PA 0 0 B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另

(2)如图,焦点在 x x2 y2 → → 轴上的椭圆 + 2 当 x = 2 时, PF · PA取得最小值 0, 0 4 b →· → 取得最大值 4. =1 的离心率 e= 当 x0=-2 时,PF PA 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 2 和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 →· → 的最大值和最小值. PF PA
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→→ 2 ∴PF· PA=x0-x0-2+y2 0 1 2 1 = x0-x0+1= (x0-2)2. 4 4

题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 离心率. (2)如图,焦点在 x x2 y2 轴上的椭圆 + 2 4 b =1 的离心率 e= 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 2

(1)求椭圆的离心率的方法 ①直接求出 a,c 来求解 e.通过已知 条件列方程组,解出 a,c 的值. ②构造 a,c 的齐次式,解出 e.由已 知条件得出关于 a,c 的二元齐次方 程,然后转化为关于离心率 e 的一 元二次方程求解. ③通过取特殊值或特殊位置,求出

和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 离心率. →· → 的最大值和最小值. PF PA
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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
(1)在 Rt△ABC 中,AB
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

=AC=1,如果一个椭圆通过 A, B 两点, 它的一个焦点为点 C, 另 (2)椭圆的范围或最值问题常常涉 一个焦点在 AB 上, 求这个椭圆的 离心率.

及一些不等式. 例如, -a≤x≤a,

-b≤y≤b,0<e<1 等, 在求椭圆相 (2)如图,焦点在 x x2 y2 轴上的椭圆 + 2 关量的范围时,要注意应用这些 4 b =1 的离心率 e= 不等关系. 1 ,F,A 分别是椭圆的一个焦点 2
和顶点, P 是椭圆上任意一点, 求 →· → 的最大值和最小值. PF PA
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题型分类·深度剖析

(1)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点, → +PF → |的最小值是( 点 P 是该椭圆上的一个动点, 那么|PF ) 跟踪训练 2
1 2

A.0

C.2 D.2 2 x2 y2 (2)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, a b 椭圆 C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB| 4 =10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5

B. 1

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解析 → (1)设 P(x0,y0),则PF1=(-1-x0,-y0),

→ → → PF2=(1-x0,-y0),∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0),

→ +PF → |= 4x2+4y2=2 2-2y2+y2=2 -y2+2. ∴|PF 1 2 0 0 0 0 0
2 ∵点 P 在椭圆上,∴0≤y0 ≤1, → +PF → |取最小值 2.故选 C. ∴当 y2=1 时,|PF 0 1 2

(2)如图,在△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6, 4 且 cos∠ABF=5, 设|BF|=m, 4 2 2 2 由余弦定理,得 6 =10 +m -20m· 5, ∴m2-16m+64=0,∴m=8.
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1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2

设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′,
由对称性,|BF′|=|AF|=6,∴2a=|BF|+|BF′|=14.
c 5 ∴a=7,因此离心率 e=a=7.

答案

(1)C

5 (2)7

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题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= 5 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 5 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 弦 MN 的长. (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 般式.

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题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= 直线与圆锥曲线的关系问题,一 5 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 5 般可以直接联立方程, “设而不 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 弦 MN 的长. (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 般式.

求”,把方程组转化成关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系

圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 数的关系及弦长公式求解.

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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

c 5 解 (1)由已知得 b=4,且a= , 5 的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= c2 1 5 即 = , ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. a2 5 5 2 2 a - b (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 ∴ 2 =1,解得 a2=20, a 5 弦 MN 的长. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 20 16 (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 2 2 则 4 x + 5 y =80 与 y=x-4 联立, 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一

般式.

消去 y 得 9x2-40x=0, 40 ∴x1=0,x2= 9 ,
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题型三 直线与椭圆的位置关系

思维启迪 解析 思维升华 x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b ∴所求弦长|MN|= 1+12|x -x |
2 1

的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= 40 2 = . 5 9 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 5 (2)椭圆右焦点 F 的 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 坐标为(2,0), 弦 MN 的长.

设线段 MN 的中点为

(2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 Q(x ,y ), 0 0 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 → =2FQ →, 由三角形重心的性质知BF 般式. 又 B(0,4), ∴(2, -4)=2(x0-2, y0),

故得 x0=3,y0=-2,
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题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= 5 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 5 则 x1+x2=6,y1+y2=-4, (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 2 2 2 2 x y x y 1 1 2 2 弦 MN 的长. 且 + =1, + =1, 20 16 20 16 (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 以 上 两 式 相 减 得 ?x1+x2??x1-x2? + 20 般式. ?y1+y2??y1-y2? =0, 16
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即得 Q 的坐标为(3,-2).

题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

y1-y2 4 x1+x2 的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= ∴kMN=x1-x2=-5· y1+y2 5 4 6 6 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. =- × = , 5 5 -4 5 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 故直线 MN 的方程为 弦 MN 的长. 6 y+2= (x-3), 5 (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭

圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 即 6x-5y-28=0. 般式.

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题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= 5 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 的相关问题,其常规思路是先把 5 弦 MN 的长.

(1) 解决直线与椭圆的位置关系

消元、 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 直线方程与椭圆方程联立, 化简,然后应用根与系数的关系
(2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 建立方程,解决相关问题.涉及 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 般式.

弦中点的问题常常用“点差法” 解决,往往会更简单.

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题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

x2 y2 【例 3】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) a b

的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= A(x1,y1),B(x2,y2), 5 ,直线 l 交椭圆于 M,N 两点. 5 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 1 (1)若直线 l 的方程为 y=x-4, 求 = ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k 为 k 弦 MN 的长. 直线斜率). (2) 如果△BMN 的重心恰好为椭 提醒:利用公式计算直线被椭圆截 圆的右焦点 F, 求直线 l 方程的一 得的弦长是在方程有解的情况下进 般式. 行的,不要忽略判别式.

(2) 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦 a b 3

点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.
c 6 (1)由已知得 c=2 2,a= 3 ,解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m, 解
y=x+m, ? ? 2 由? x y2 + =1. ? ?12 4
基础知识

消去 y 得 4x2+6mx+3m2-12=0.
题型分类 思想方法


练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦 a b 3

点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.
设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= 2 =- 4 ,y0=x0+m= 4 . 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB, m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1,解得 m=2. 3m -3+ 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 x2 y2 6 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦 a b 3

点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.
此时方程①为 4x2+12x=0,解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2,
|-3-2+2| 3 2 又点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = 2 . 2 1 9 所以△PAB 的面积 S=2|AB|· d=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点9 高考中圆锥曲线的离心率问题
x2 y2 典例:(10 分)(1)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,上顶点 a b 为 B2, 右顶点为 A2, 过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P, 若|PA2| =3b,则椭圆 C 的离心率为_______. x2 y 2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存 a b a c 在点 P 使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

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温 馨 提 醒

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
高频小考点9 高考中圆锥曲线的离心率问题
x2 y2 典例:(10 分)(1)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,上顶点 a b 为 B2, 右顶点为 A2, 过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P, 若|PA2| =3b,则椭圆 C 的离心率为_______. x2 y 2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存 a b a c 在点 P 使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

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椭圆的离心率利用方程思想,只需利用题目条件得到 a,b,c 的一个关 系式即可.若得到的关系式含 b,可利用 a2=b2+c2 转化为只含 a,c 的 关系式.

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高频小考点9 高考中圆锥曲线的离心率问题
x2 y2 典例:(10 分)(1)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,上顶点 a b 为 B2, 右顶点为 A2, 过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P, 若|PA2| =3b,则椭圆 C 的离心率为_______. x2 y 2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存 a b a c 在点 P 使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

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|B2O| |F1O| b c 1 1 (1)由题设知 = ? = = ,e= . |PA2| |F1A2| 3b a+c 3 2 |PF2| a (2)依题意及正弦定理,得|PF |=c(注意到 P 不与 F1F2 共线), 1
|PF2| a 即 =c , 2a-|PF2|

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高频小考点9 高考中圆锥曲线的离心率问题
x2 y2 典例:(10 分)(1)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,上顶点 a b 为 B2, 右顶点为 A2, 过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P, 若|PA2|

1 2 =3b,则椭圆 C 的离心率为_______.

x2 y 2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存 a b a c ( 2-1,1) 在点 P 使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

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温 馨 提 醒

2a c 2a c 2a ∴ -1=a,∴ = +1> , |PF2| |PF2| a a+c 2 即 e+1> ,∴(e+1)2>2. 1+e
又 0<e<1,因此 2-1<e<1.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
高频小考点9 高考中圆锥曲线的离心率问题
x2 y2 典例:(10 分)(1)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,上顶点 a b 为 B2, 右顶点为 A2, 过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P, 若|PA2|

1 2 =3b,则椭圆 C 的离心率为_______.

x2 y 2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存 a b a c ( 2-1,1) 在点 P 使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

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温 馨 提 醒

离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一 般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条 件求离心率的取值范围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的 关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于离 心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.

基础知识

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思想方法

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思想方法·感悟提高
1.求椭圆的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三个 方面去思考.“定形”就是指椭圆的对称中心在原点,以坐 标轴为对称轴的情况下,能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴

方 法 与 技 巧

上. “定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式, “定 量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数 a,b 或 m,n.

2.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的 常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; a (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2 =a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2

失 误 与 防 范

的分母大小.

x2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆a2+b2=1 (a>b>0)上点 的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导 致求最值错误的原因.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4 1.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 5 到长轴的一个端点的距离为 A.9 B. 1
? ?b=3 ?c 4 ? = ?a 5 2 2 2 ? ?a =b +c

C.1 或 9

( C ) D.以上都不对

解析

,解得 a=5,b=3,c=4.

∴椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a+c=9 或 a-c=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 2.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆 25 16 上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦 点的距离为 A.4 B. 3 C.2 D.5 ( A )

1 解析 由题意知|OM|=2|PF2|=3,
∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 3.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于 ( C ) 10-m m-2 A.4 B. 8
? ?10-m>0 由? ? ?m-2>0

C.4 或 8

D.以上均不对

解析

,得 2<m<10,

由题意知(10-m)-(m-2)=4 或(m-2)-(10-m)=4,
解得 m=4 或 m=8.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 4.(2012· 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、 a b B,左、右焦点分别是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等 比数列,则此椭圆的离心率为 1 5 1 A. B. C. 4 5 2 ( B ) D. 5-2

解析 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,
且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|,
即 4c2=a2-c2,a2=5c2,

1 5 所以 e = ,所以 e= . 5 5
2

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.已知圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: x2 y2 + =1 的左焦点为 F(-c,0),若垂直于 x 轴且经过 F 点 a2 3 的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为 3 A. B. 1 C.2 4 ( C ) D.4

解析 圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,
则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m<0),

∴m=-1,则圆心 M 的坐标为(1,0).
由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 又∵直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 6.(2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1, a b F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满 3-1 . 足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,
又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° ,MF1⊥MF2,

所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e=a= 3-1.
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 1 7.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 a b 3 A、B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC sin A+sin B 中, 的值等于________ . 3 sin C

sin A+sin B |CB|+|CA| 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 sin C = |AB| ,
因为点 C 在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a, 而|AB|=2c,

sin A+sin B 2a 1 所以 sin C =2c=e=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 2 8.椭圆 +y =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一 4 动点,若∠F1PF2 为钝角,则点 P 的横坐标的取值范围是 2 6 2 6 (- 3 , 3 ) _____________ .
解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x, y), → → 则F 1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F1P· F2P<0,

即 x2-3+y2<0, ① 2 2 x x 3 2 2 2 2 8 ∵y =1- ,代入①得 x -3+1- <0, x <2,∴x < . 4 4 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6 解得- 3 <x< 3 ,∴x∈(- 3 , 3 ).
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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 2 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦 a b 2 点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且 线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值.

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10



? ? c = 2, ?a 2 (1)由题意,得?c=2, ? 2 2 2 ? a = b + c . ?

? ?a=2 解得? ? ?b=2.

2,

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 8 + 4 =1.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

(2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
线段 AB 的中点为 M(x0,y0),
x2 y2 ? ? + =1, 由? 8 4 消去 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0, ? ?y=x+m.

Δ=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3, x1+x2 2m m ∵x0= 2 =- 3 ,∴y0=x0+m= 3 ,
∵点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,

2m 2 m 2 3 5 ∴(- 3 ) +( 3 ) =1,∴m=± 5 .
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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x2 y2 10.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 a b P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 PF2 与 圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= 5 |AB|,求椭圆的方程. 8

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10



(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=2c.
c2 c c c 1 整理得 2( ) + -1=0,解得 =-1(舍),或 = . a a a a 2
1 所以 e=2.
(2)由(1)知 a=2c,b= 3c,
可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,

直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

A, B

2 2 2 ? 3 x + 4 y = 12 c , ? 两点的坐标满足方程组? ? ?y= 3?x-c?.

消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0. 8 解得 x1=0,x2= c. 5 8 ? x2=5c, ? ? ?x1=0, ? 得方程组的解? ? 3 3 ?y1=- 3c, ? y2= 5 c. ? 8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c), 5 5
所以|AB|=
基础知识

8 2 3 3 16 2 ?5c? +? 5 c+ 3c? = 5 c.
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN| 2 2 2 因为 d +( ) =4 , 2 3 所以 (2+c)2+c2=16. 4
整理得 7c2+12c-52=0, 26 得 c=- (舍),或 c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为16+12=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 1.(2013· 四川)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂 a b 足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心 率是 A. 2 4 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 ( )

解析 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距),
y0 b kOP=- ,kAB=- ,由于 OP∥AB, c a
y0 b bc ∴- =- ,y0= , c a a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 1.(2013· 四川)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂 a b 足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心 率是 A. 2 4 1 B. 2 C. 2 2 D.
?bc? ? ?2 ?a?

( C ) 3 2



? ?-c?2 bc? P?-c, a ?代入椭圆方程得 2 + a ? ?

b2

=1,

?c? 1 c 2 ? ? 而 a =2,∴e=a= ? ?

2 2 .选 C.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

→ → 2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭 圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 1 2 A.(0,1) B.(0, ] C.(0, ) 2 2
解析

( C ) 2 D.[ ,1) 2

→ → ∵满足MF1· MF2=0 的点 M 在圆 x2+y2=c2 上,

∴圆 x2+y2=c2 在椭圆内部,即 c<b,
1 2 ∴c2<b2=a2-c2,2c2<a2,∴e2<2,即 e∈(0, 2 ).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
6

5 2 3 4 x2 y2 3. 如图, 已知过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A(-a,0) a b

作直线 l 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q,若△AOP 是 → → 等腰三角形, 且PQ=2QA, 则椭圆的离心率为_____.

解析 由于△AOP 为等腰三角形,且∠AOP=90° ,
故有 AO=OP=a,则点 P 的坐标为(0,a),

→ =(x,y)-(0,a)=(x,y-a), 设点 Q 的坐标为(x,y),PQ → =(-a,0)-(x,y)=(-a-x,-y), QA 2 ? ? ?x=-3a x = 2 ? - a - x ? ? → =2QA → ,则有? ∵PQ ,解得? , ? a ?y-a=-2y ?y= ? 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升
6

5 2 3 4 x2 y2 3. 如图, 已知过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A(-a,0) a b

作直线 l 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q,若△AOP 是 2 → → 5 . 等腰三角形, 且PQ=2QA, 则椭圆的离心率为_____ 5

即点 Q

? 2a a? 的坐标为?- 3 ,3?, ? ?

将点 Q

? 2 ? 1 ?a? 1 2 2 的坐标代入椭圆的方程得?-3a? · 2+? ? ·2=1, ? ? a ?3? b

解得 a2=5b2,
2 c 4 c 2 5 2 2 2 即 a =5(a -c ),∴a2=5,∴e=a= 5 .

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 4. 点 P 是椭圆 + =1 上一点, F1, F2 是椭圆的两个焦点, 且△PF1F2 25 16 8 的内切圆半径为 1,当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为________ . 3

解析

|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,

1 S△PF1F2= (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)· 1=8 2 1 8 = |F1F2|· yP=3yP.所以 yP= . 2 3

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

x2 y2 5.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点, 25 16

15 . 点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________
解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,

|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|, 易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,
此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,

故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15.

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1 2

B组

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3 4 5 6

1 6.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经 2 3 过点 M(1, ). 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 →· → =PM → 2?若存在,求出直线 l 的方程;若不 A,B,满足PA PB
1

存在,请说明理由.

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B组 专项能力提升
3 4 5 6



9 ?1 ?a2+4b2=1, ? 由题意得?c 1 ?a=2, ? 2 2 2 ?a =b +c ,

x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,

解得 a2=4,b2=3.

设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1, 代入椭圆 C 的方程得,
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B组 专项能力提升
3 4 5 6

2 2 (3+4k2 ) x - 8 k (2 k - 1) x + 16 k 1 1 1 1-16k1-8=0.

因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 所以 Δ=[ -8k1(2k1-1)] 2-4(3+4k1 )· (16k2 1-16k1-8)

=32(6k1+3)>0,

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 又 x1+x2= ,x1x2= , 2 3+4k2 3 + 4 k 1 1 → → →2 因为PA· PB=PM ,
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3 4 5 6

5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 5 → 2 2 所以(x1-2)(x2-2)(1+k1)=PM =4.

5 2 即[ x1x2-2(x1+x2)+4] (1+k1)= . 4

16k2 8k1?2k1-1? 1-16k1-8 2 所以[ - 2· + 4]· (1 + k 2 1) 3+4k2 3 + 4 k 1 1
4+4k2 5 1 1 = = ,解得 k1=± . 4 2 3+4k2 1 1 1 因为 k1>-2,所以 k1=2.

1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y=2x.
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