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高中数学:第一章:集合(竞赛精讲)1


古田一中 2011 级高一数学培优教程

第一章

集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学的基础.它的基础性体 现在:集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几 何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中,很多问题可以用集合

的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基 础,也是支撑现代数学大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

§1.1 集合的概念与运算
【基础知识】
一.集合的有关概念 1.集合:具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素. 2.集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 3.集合的分类:无限集、有限集、空集 ? . 4. 集合间的关系: 二.集合的运算 1.交集、并集、补集和差集 差集: A、 是两个集合, 记 B 则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 A \ B .即 A \ B ? {x ? A 且 x ? B} . 2.集合的运算性质 (1) A ? A ? A , A ? A ? A (幂等律);(2) A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A (交换律); (3) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) , ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) (结合律); (4) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) (分配律); (5) A ? ( B ? A) ? A , A ? ( A ? B) ? A (吸收律);(6) CU (CU A) ? A (对合律); (7) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) (摩根律) (8) A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) , A \ ( B ? C ) ? ( A \ B) ? ( A \ C ) . 3.集合的相等 (1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件. 4. 一般地,对任意两个有限集合 A、B,有

card( A ? B) ? card( A) ? card( B) ? card( A ? B).
我们还可将之推广为:一般地,对任意 n 个有限集合 A1 , A2 , ?, An , 有

card( A1 ? A2 ? A3 ? ? ? An?1 ? An )
? [card( A1 ) ? card( A2 ) ? card( A3 ) ? ? ? card( An )] ? [card( A1 ? A2 ) ? card( A1 ? A3 )]
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? ? ? card( A1 ? An ) ? ? ? card( An?1 ? An )] ? [card( A1 ? A2 ? A3 )] ? ? ? card( An?2 ? An?1 ? An )]

? ? ? (?1) n?1 ? card( A1 ? A3 ? ? ? An ).

【典例精析】
【例 1】已知 A ? { y | y ? x ? 4 x ? 3, x ? R}, B ? { y | y ? ? x ? 2 x ? 2, x ? R}.求A ? B.
2 2

【思路分析】先进一步确定集合 A、B. 【略解】 y ? ( x ? 2) ? 1 ? 1, 又 y ? ?( x ? 1) ? 3 ? 3.
2 2

∴A= { y | y ? ?1}, B ? { y | y ? 3}, 故A ? B ? { y | ?1 ? y ? 3}. 【评述】此题应避免如下错误解法: 联立方程组

? y ? x 2 ? 4 x ? 3, ? ? ? y ? ? x 2 ? 2 x ? 2. ?

消去 y,2 x ? 2 x ? 1 ? 0.
2

因方程无实根,故 A ? B ? ? .

这里的错因是将 A、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域. 【例 2】设集合 A ? { | n ? Z}, B ? {n | n ? Z}, C ? {n ? 的是 A. A ? B ? C ? D
? ? ?

n 2

1 n 1 | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}, 则在下列关系中,成立 2 3 6
( )

B. A ? B ? ? , C ? D ? ? D. A ? B ? B, C ? D ? ?

C. A ? B ? C , C ? D
?

1 2n ? 1 n 1 2n ? 1 ? , ? ? , n ? Z. 2 2 3 6 6 n 1 n 1 【解法 1】∵ A ? { | n ? Z}, B ? {n | n ? Z}, C ? {n ? | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}, 2 2 3 6
【思路分析】应注意数的特征,即 n ? ∴ A ? B ? C , C ? D .故应选 C.
?

【解法 2】如果把 A、B、C、D 与角的集合相对应,令

A? ? {

n? ? n? ? | n ? Z}, B? ? {n? | n ? Z}, C ? ? {n? ? | n ? Z}, D ? { ? | n ? Z}. 2 2 3 6
3 x 上的角的集合,故应选(C). 3

结论仍然不变,显然 A′为终边在坐标轴上的角的集合,B′为终边在 x 轴上的角的集 合,C′为终边在 y 轴上的角的集合,D′为终边在 y 轴上及在直线 y ? ?

【评述】解法 1 是直接法,解法 2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合,研究角的 终边,思路清晰易懂,实属巧思妙解. 【例 3】设有集合 A ? {x | x ? [ x] ? 2}和B ? {x || x |? 2}, 求A ? B和A ? B (其中[x]表示不超过实数 x 之值的最
2

大整数). 【思路分析】应首先确定集合 A 与 B.从而 ? 1 ? x ? 2.显然,2 ? A. 若 x ? A ? B, 则x ? [ x] ? 2, [ x] ? {1,0,?1,?2},
2

∴ A ? B ? {x | ?2 ? x ? 2}.

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从而得出 x ?

3 ([ x] ? 1)或x ? ?1([ x] ? ?1).
2 2

于是 A ? B ? {?1, 3}

【评述】此题中集合 B 中元素 x 满足“|x|<3”时,会出现什么样的结果,读者试解之. 【例 4】设 M ? {a a ? x ? y , x, y ? Z } ,求证: (1) 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ; (2) 4k ? 2 ? M , (k ? Z ) ; (3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M . [证明](1)因为 k , k ?1 ? Z ,且 2k ? 1 ? k ? (k ? 1) ,所以 2k ? 1 ? M .
2 2

(2)假设 4k ? 2 ? M (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 ? x ? y ,由于 x ? y 和 x ? y 有相同的奇偶性,所
2 2

以 x ? y ? ( x ? y )( x ? y ) 是奇数或 4 的倍数,不可能等于 4k ? 2 ,假设不成立,所以 4k ? 2 ? M .
2 2

(3)设 p ? x ? y , q ? a ? b , x, y, a, b ? Z ,则 pq ? ( x ? y )( a ? b )
2 2 2 2 2 2 2 2

? a 2 a 2 ? y 2 b 2 ? x 2 b 2 ? y 2 a 2 ? ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ? M (因为 xa ? ya ? Z , xb ? ya ? Z ) 。
【例 5】 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足 。 A ? M ? B ? M ? A ? B, A ? B ? M ? A ? B ,求集合 M(用 A,B 表示) 〖分析〗利用子集的定义证明集合相等,先证 A ? B ,再证 B ? A ,则 A=B。 【解】 先证 ( A ? B) ? M , x ? ( A ? B) , 若 因为 A ? M ? A ? B , 所以 x ? A ? M , x ? M , 所以 ( A ? B) ? M ; 再证 M ? ( A ? B) ,若 x ? M ,则 x ? A ? B ? M ? A ? B. 1)若 x ? A ,则 x ? A ? M ? A ? B ;2)若 x ? B , 则 x ? B ? M ? A ? B 。所以 M ? ( A ? B). 综上, M ? A ? B. 【例 6】A ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {x x ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x ? mx ? 2 ? 0} , A ? B ? A, A ? C ? C , 若
2 2 2

求 a, m. 〖分析〗分类讨论思想的应用 【解】依题设, A ? {1,2} ,再由 x ? ax ? a ? 1 ? 0 解得 x ? a ? 1 或 x ? 1,
2

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ,所以 a ?1 ? A ,所以 a ? 1 ? 1 或 2,所以 a ? 2 或 3。 因为 A ? C ? C ,所以 C ? A ,若 C ? ? ,则 ? ? m ? 8 ? 0 ,即 ? 2 2 ? m ? 2 2 ,若 C ? ? ,则 1 ? C 或 2 ? C ,解得 m ? 3.
2

综上所述, a ? 2 或 a ? 3 ; m ? 3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 。 【例 7】在集合 {1,2,?, n} 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .

〖分析〗已知 {1,2,?, n} 的所有的子集共有 2 n 个.而对于 ?i ?{1,2, ?, n} ,显然 {1,2,?, n} 中包含 i 的子集与集合

{1,2,?, i ? 1, i ? 1,?, n}的子集个数相等.这就说明 i 在集合 {1,2,?, n} 的所有子集中一共出现 2n?1 次,即对所有的

i 求和,可得 S n ? 2 n?1 (? i ).
i ?1

n

【解】集合 {1,2,?, n} 的所有子集的元素之和为 2

n?1

(1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n?1 ?

n(n ? 1) n?1 = n ? (n ? 1) ? 2 . 2

〖说明〗 本题的关键在于得出 {1,2,?, n} 中包含 i 的子集与集合 {1,2, ?, i ? 1, i ? 1, ?, n} 的子集个数相等.这种一一 对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例 8】已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 4ax ? 3a ? 0} 且 A ? B ,求参数 a 的取值范围.
2 2 2

〖分析〗首先确定集合 A、B,再利用 A ? B 的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得 A ? {x | ?2 ? x ? ?1}, B ? {x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0}
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当 a ? 0 时, B ? {x | a ? x ? 3a} ,由 A ? B 知无解; 当 a ? 0 时, B ? ? ,显然无解; 当 a ? 0 时, B ? {x | 3a ? x ? a} ,由 A ? B 解得 ? 1 ? a ? 综上知,参数 a 的取值范围是 [?1, ] . 〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求 出参数的取值范围. 【例 9】 已知 x ? R, y ? R ,集合 A ? {x 2 ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,? A.5
2 ?

2 . 3

2 3

y , y ? 1} .若 A ? B ,则 x 2 ? y 2 的值是( 2

)

B.4
2

C.25
2

D.10

【解】? ( x ? 1) ? 0 ,? x ? x ? 1 ? ? x ,且? x ? x ? 1 ? 0 及集合中元素的互异性知

x 2 ? x ? 1 ? ? x ,即 x ? ?1 ,此时应有 x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? x ? 1.
而 y ? R ,从而在集合 B 中, y ? 1 ? ?
?

y ? ? y. 2

? x 2 ? x ? 1 ? y ? 1 (1) ? y ? 由 A ? B ,得 ? ?x?? (2) 2 ? (3) ? ? x ?1 ? ? y ?
由(2)(3)解得 x ? 1, y ? 2 ,代入(1)式知 x ? 1, y ? 2 也满足(1)式.

? x 2 ? y 2 ? 12 ? 2 2 ? 5.
〖说明〗 本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等 才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例 10】 已知集合 A ? {x, y, lg( xy)}, B ? {0, | x |, y} .若 A ? B ,求 ( x ? 〖分析〗从集合 A=B 的关系入手,则易于解决. 【解】? A ? B ,? ?

1 1 1 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ??+ ( x 2008 ? 2008 ) 的值. y y y

? x ? xy ? lg( xy) ?| x | ? y ,根据元素的互异性,由 B 知 x ? 0, y ? 0 . ? x ? xy ? lg( xy) ? 0

? 0 ? B 且 A ? B ,?0 ? A ,故只有 lg( xy) ? 0 ,从而 xy ? 1. 又由1? A 及 A ? B ,得1? B.
所以 ?

? xy ? 1 ? xy ? 1 或? ,其中 x ? y ? 1 与元素的互异性矛盾!所以 x ? y ? 1, 代入得: ?| x |? 1 ? y ? 1

1 1 1 ( x ? ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ??+ ( x 2008 ? 2008 ) =( ? 2 )+2+( ? 2 )+2+??+( ? 2 )+2=0. y y y
〖说明〗本题是例 4 的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合
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相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键. 【例 11】已知集合 P ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, S ? {x | x ? 2ax ? a ? 0} ,若 S ? P ,求实数 a 的取值组成的集合 A.
2 2

【解】 P ? {x | 1 ? x ? 2} ,设 f ( x) ? x ? 2ax ? a .
2

①当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时, S ? ? ,满足 S ? P ;
2

②当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 ,即 a ? 0 或 a ? 1 时,
2

若 a ? 0 ,则 S ? {0} ,不满足 S ? P ,故舍去; 若 a ? 1时,则 S ? {1} ,满足 S ? P . ③当 ? ? (?2a) ? 4a ? 0 时,满足 S ? P 等价于方程 x ? 2ax ? a ? 0 的根介于 1 和 2 之间.
2

2

??0 ? ?a ? 0或a ? 1 (?2a) ? ? ?2 ?1 ? ? ? 1? a ? 2 2 即? ? a ?? . ?? 1? a ? 0 f (1) ? 0 ? ? ? f (2) ? 0 ? 4 ? 3a ? 0 ? ?
综合①②③得 0 ? a ? 1 ,即所求集合 A ? {a | 0 ? a ? 1} . 〖说明〗 先讨论特殊情形(S= ? ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对 ? 分类讨论,确定 a 的取值范围.本题可以 利用数形结合的方法讨论 ? ? 0. 【例 12】已知集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , B ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,其中 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,
2 2 2 2

a1 , a2 , a3 , a4 ? N .若 A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 .且 A ? B 中的所有元素之和为 124,求集合 A、B.
【解】? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,且 A ? B ? {a1 , a4 } ,? a1 ? a1 ,又 a1 ? N ,所以 a1 ? 1.
2

又 a1 ? a4 ? 10 ,可得 a4 ? 9 ,并且 a2 ? a4 或 a3 ? a4 .
2
2

2 若 a2 ? 9 ,即 a2 ? 3 ,则有 1 ? 3 ? a3 ? 9 ? a3 ? 81 ? 124 , 解得 a3 ? 5 或 a3 ? ?6 (舍)
2

此时有 A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 若 a3 ? 9 ,即 a3 ? 3 ,此时应有 a2 ? 2 ,则 A ? B 中的所有元素之和为 100 ? 124.不合题意.
2

综上可得, A ? {1,3,5,9}, B ? {1,9,25,81}. 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类 讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单 明了. 【例 13】满足条件 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | 的函数 g (x) 形成了一个集合 M,其中 x1 , x2 ? R ,并且 x1 , x2 ? 1 ,求
2 2

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函数 y ? f ( x) ? x ? 3x ? 2( x ? R) 与集合 M 的关系.
2

〖分析〗求函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 集合 M 的关系,即求该函数是否属于集合 M,也就是判断该函数是否满足集合 M
2

的属性.

| 【解】? f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| ( x1 ? 3x1 ? 2) ? ( x2 ? 3x2 ? 2) |?| x1 ? x2 | ? | x1 ? x2 ? 3 |
2 2

取 x1 ?

4 5 9 , x2 ? 时, | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? | x1 ? x2 |? 4 | x1 ? x2 | . 6 6 2

由此可见, f ( x) ? M . 〖说明〗 本题中 M 是一个关于函数的集合.判断一个函数 f (x) 是否属于 M,只要找至一个或几个特殊的 xi 使得 f ( xi ) 不符合 M 中的条件即可证明 f ( x) ? M . 【例 14】对集合 {1,2, ?,2008} 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从 最大数开始,交替地加减相继各数,如 {1,2,4,6,9} 的“交替和”是 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ,集合 {7,10} 的“交替和”是 10 -7=3,集合 {5} 的“交替和”是 5 等等.试求 A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合 {1,2, ?, n} 求出所有的“交 替和”. 〖分析〗集合 A 的非空子集共有 2 2008 ? 1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替 和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有 15 个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把 {1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样的对应:设 Ai 是{1,2,3,4}中一个不含有的 子集,令 Ai 与 {4} ? Ai 相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为 4,由于这样的对应应有 7 对,再加上{4}的“交 替和”为 4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为 32. 【解】集合 {1,2, ?,2008} 的子集中,除了集合 {2008} ,还有 2
2008

? 2 个非空子集.将其分为两类:第一类是含 2008 的

子集,第二类是不含 2008 的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果 Ai 是第二类的,则必有 Ai ? {2008} 是第一类 的集合;如果 B j 是第一类中的集合,则 B j 中除 2008 外,还应用 1,2,??,2007 中的数做其元素,即 B j 中去掉 2008 后不 是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替和” 为

1 2008 (2 ? 2) ? 2008 ? 2008 ? 22007 ? 2008 . 2
同样可以分析 {1,2, ?, n} ,因为 n 个元素集合的子集总数为 2 个(含 ? ,定义其“交替和”为 0),其中包括最大元
n

素 n 的子集有 2

n?1

个,不包括 n 的子集的个数也是 2

n?1

个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素 n ),设不
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含 n 的子集 “交替和” S,则对应的含 n 子集的 为 “交替和” n ? S ,两者相加和为 n .故所有子集的 为 “交替和” 2n?1 ? n. 为 〖说明〗本题中"退到最简",从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中 是常用的方法,在学习的过程中应注意强化. 【例 15】设 n ? N 且 n ≥15, A, B 都是{1,2,3,?, n }的真子集, A ? B ? ? ,且 A ? B ={1,2,3,?, n }. 证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数. 【证明】由题设,{1,2,3,…, n }的任何元素必属于且只属于它的真子集 A, B 之一. 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,…, n }的真子集 A, B ,使得无论是 A 还是 B 中的任两个不同的数 的和都不是完全平方数. 不妨设 1∈ A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 2 ,与假设矛盾,所以 3∈ B .同样 6 ? B ,所以 6∈ A ,这时 10 ? A , , 即 10∈ B .因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15∈ A 时,因 1∈ A ,1+15= 4 2 ,矛盾;当 15∈ B 时, 因 10∈ B ,于是有 10+15= 5 ,仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.
2

【强化训练】
一、基础训练题 1.给定三元集合 {1, x, x ? x} ,则实数 x 的取值范围是___________。
2

2.若集合 A ? {x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R} 中只有一个元素,则 a =___________。
2

3.集合 B ? {1,2,3} 的非空真子集有___________个。 4.已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0}, N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 N ? M ,则由满足条件的实数 a 组成的集合
2

P=___________。 5.已知 A ? {x x ? 2}, B ? {x x ? a} ,且 A ? B ,则常数 a 的取值范围是___________。 6.若非空集合 S 满足 S ? {1,2,3,4,5} ,且若 a ? S ,则 6 ? a ? S ,那么符合要求的集合 S 有___________个。 7.集合 X ? {2n ? 1 n ? Z }与Y ? {4k ? 1 k ? Z } 之间的关系是___________。 8.若集合 A ? {x, xy, xy ? 1} ,其中 x ? Z , y ? Z 且 y ? 0 ,若 0 ? A ,则 A 中元素之和是___________。 9.集合 P ? {x x ? x ? 6 ? 0}, M ? {x mx ? 1 ? 0} ,且 M ? P ,则满足条件的 m 值构成的集合为___________。
2

10.集合 A ? {x y ? 2 x ? 1, x ? R }, B ? { y y ? ? x ? 9, x ? R} ,则 A ? B ? ___________。
2

?

11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) 1 ? S ;2 )若 a ? S ,则 个元素?说明理由。

1 ? S 。如果 S ? ? ,S 中至少含有多少 1? a

12.已知 A ? {( x, y ) y ? a x }, B ? {( x, y ) y ? x ? a}, C ? A ? B ,又 C 为单元素集合,求实数 a 的取值范围。 二、高考水平训练题 1.已知集合 A ? {x, xy, x ? y}, B ? {0, x , y} ,且 A=B,则 x ? ___________, y ? ___________。 2. I ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ? I , B ? I , A ? B ? {2}, (C1 A) ? (C1 B) ? {1,9},

(C1 A) ? B ? {4,6,8} ,则 A ? (C1 B) ? ___________。
3. 已知集合 A ? {x 10 ? 3 x ? x ? 0}, B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} , A ? B ? ? 时, 当 实数 m 的取值范围是______。
2

4.若实数 a 为常数,且 a ? A ? ? x

? ? ? ?

? ? ? 1?, 则a ? ___________。 2 ax ? x ? 1 ? ? 1
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5.集合 M ? {m , m ? 1,?3}, N ? {m ? 3,2m ? 1, m ? 1} ,若 M ? N ? {?3} ,则 m ? ___________。
2 2

6.集合 A ? {a a ? 5 x ? 3, x ? N ? }, B ? {b b ? 7 y ? 2, y ? N ? } ,则 A ? B 中的最小元素是___________。 7.集合 A ? {x ? y, x ? y, xy}, B ? {x ? y , x ? y ,0} ,且 A=B,则 x ? y ? ___________。
2 2 2 2

8.已知集合 A ? {x 9. 已知集合

x ?1 ? 0}, B ? {x px ? 4 ? 0} ,且 B ? A ,则 p 的取值范围是___________。 2? x
, ,若 ,求实数 的取值范围。

10. 设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题:

a ∈P(除数 b≠0)则称 P 是 b

①数域必含有 0,1 两个数;②整数集是数域;③若有理数集 Q ? M,则数集 M 必为数域;④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 三、联赛一试水平训练题 1. a, b 为实数,集合 M= { ,1}, P ? {a,0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则 a ? b 的值 等于 .(把你认为正确的命题的序号都填上)

b a

m2 x ?1 , x ? 2}, B ? ?, 且B ? A ,则实数 m 的取值范围是_______。 2.已知集合 A ? {x x ? 0}, B ? {z z ? mx ? 1
3.集合 A ? {1,2,3,?,2n,2n ? 1} 的子集 B 满足:对任意的 x, y ? B, x ? y ? B ,则集合 B 中元素个数的最大值是 ___________。 4.已知集合 P ? {a, aq, aq }, Q ? {a, a ? d , a ? 2d } ,其中 a ? 0 ,且 a ? R ,若 P=Q,则实数 q ? ___________。
2

5.已知集合 A ? {( x, y ) x ? y ? a, a ? 0}, B ? {( x, y ) xy ? 1 ? x ? y } ,若 A ? B 是平面上正八边形的顶点所构 成的集合,则 a ? ___________。

6.集合 M ? {u u ? 12 m ? 8n ? 4l , m, l , n ? Z } ,集合 N ? {u u ? 20 p ? 16 q ? 12 r , p, q, r ? Z } ,则集合 M 与 N 的
关系是___________。 7. 集合 A,B 的并集 A∪B={a1,a2,a3},当且仅当 A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有 _______对。

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? .若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 8. 设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? , B ? ? x ? x?a ? ? ? 2 ? ?

9. 以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数;② P 中的元素有奇数,有偶数;③-
1 ? P ;④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 试判断实数 0 和 2 与集合 P 的关系.

10. S1 , S 2 , S 3 为非空集合,对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,若 x ? S i , y ? S j ,则 x ? y ? S k
(1) 证明:三个集合中至少有两个相等. (2) 三个集合中是否可能有两个集无公共元素?

【点拨】
1.高中数学的第一个内容就是集合,而集合又是数学的基础.因此,深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非 常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要. 2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想 的应用. 3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.
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古田一中 2011 级高一数学培优教程

4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.

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