当前位置:首页 >> 数学 >>

第九章第2讲两直线的位置关系


第 2 讲 两直线的位置关系

1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: a.对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2. b.当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: a.如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2?k1·

k2=-1. b.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 ? ?A1x+B1y+C1=0 ? 的解. ?A2x+B2y+C2=0 ? 2.几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| d= . A2+B2 (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 |C1-C2| (其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2

1.一般地,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0;与之垂直的 直线方程可设为 Bx-Ay+n=0. 2. 过直线 l1: A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. 3.l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 则 l1∥l2?A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0. l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

1.(必修 2 P87 例 3 改编)已知 A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-m,m+1),若直线 AB ∥PQ,则 m 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选 C.∵AB∥PQ, 0-3 m+1-1 ∴kAB=kPQ,即 = , -4-2 -m-?-3? 解得 m=1,故选 C. 2.(必修 2 P89 例 6 改编)已知 A(5,-1),B(m,m),C(2,3),若△ABC 为直角三角形且

AC 边最长.则整数 m 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选 D.由题意得 B=90° , 即 AB⊥BC,kAB· kBC=-1, m+1 3-m ∴ · =-1. m-5 2-m 7 解得 m=1 或 m= ,故整数 m 的值为 1,故选 D. 2 3.(必修 2 P101A 组 T10(2)改编)经过点 P(2,-3)且平行于过点 M(1,2)和 N(-1,-4)的 直线,分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点,则|AB|=________. -4-2 解析:∵kMN= =3. -1-1 ∴所求的直线的斜率为 k=kMN=3. 则所求的直线方程为 y-(-3)=3(x-2). 即 3x-y-9=0. 故 A(3,0),B(0,-9), ∴|AB|= 32+?-9?2=3 10. 答案:3 10 4.(必修 2 P110A 组 T10 改编)两平行直线 x-2y-1=0 与 x-2y+m=0 的距离为 5,则 m=________. 解析:由平行线间的距离公式得 |-1-m| = 5, 12+?-2?2 即|m+1|=5, ∴m=4 或 m=-6. 答案:4 或-6 5. (必修 2 P107 例 6 改编)已知三点 O(0,0), A(1,3), B(3,1), 则△OAB 的面积为________. 2 2 解析:∵|AB|= ?1-3? +?3-1? =2 2. AB 所在的直线方程为 y-3 x-1 = , 1-3 3-1 即 x+y-4=0. |-4| ∴O 到 AB 的距离 d= =2 2. 2 1 1 ∴S△OAB= |AB|· d= ×2 2×2 2=4. 2 2 答案:4

两直线平行与垂直 (1)[两直线平行与垂直的判断]已知直线 l1:ax+2y+6=0 和 l2:x+(a-1)y+a2 -1=0. ①试判断 l1 与 l2 是否平行; ②当 l1⊥l2 时,求 a 的值. (2)[两直线平行与垂直的应用]已知 A(1,2),B(5,0),在直线 l:x+y-1=0 上是否存在点

M 使得△MAB 为直角三角形,若存在,求出 M 点坐标,若不存在,说明理由. [解] (1)①法一:当 a=1 时, 直线 l1 的方程为 x+2y+6=0, 直线 l2 的方程为 x=0,l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,直线 l1 的方程为 y=-3,直线 l2 的方程为 x-y-1=0,l1 不平行于 l2; a 1 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线的方程可化为 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1),由 l1 2 1-a a 1 ? ?-2=1-a, ∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?, 解得 a=-1. 综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. 法二:由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0; 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0, ? ?a?a-1?-1×2=0, 因此 l1∥l2?? 2 ?a?a -1?-1×6≠0, ?
?a2-a-2=0 ? ?? 2 ?a=-1, ?a?a -1?≠6 ?

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. ②法一:当 a=1 时,直线 l1 的方程为 x+2y+6=0,直线 l2 的方程为 x=0,l1 与 l2 不 垂直,故 a=1 不成立. 当 a=0 时,直线 l1 的方程为 y=-3,直线 l2 的方程为 x-y-1=0,l1 不垂直于 l2. a 1 当 a≠1 且 a≠0 时,直线 l1 的方程为 y=- x-3,直线 l2 的方程为 y= x-(a+1), 2 1 -a a 1 2 由(- )· =-1?a= . 2 1-a 3 法二:由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0. 2 ∴a= . 3 (2)假设存在满足条件的点 M,设 M(m,n). ①若∠AMB=90° .(如图)

则 m+n-1=0,(※1) a.当 m=1 时,n=0,即 M(1,0),此时 AM⊥MB 满足条件. b.当 m≠1 时,由题意得 kMA· kMB=-1, n-2 n-0 即 · =-1,(※2) m-1 m-5 由(※1)(※2)解得 m=2,n=-1. 即在 l 上存在点 M(1,0)或 M(2,-1)使∠AMB=90° ,即△ABM 为直角三角形. 0-2 1 ②若∠MAB=90° ,因为 kAB= =- , 2 5-1

n-2 =2,即 n=2m.(※3) m-1 又 M(m,n)在直线 l:x+y-1=0 上,∴m+n-1=0.(※4) 1 2 1 2 由(※3)(※4)解得 m= ,n= ,此时 M 的坐标为( , ). 3 3 3 3 n-0 1 ③若∠MBA=90° ,因为 kAB=- ,∴kMB= =2,即 n=2m-10.(※5) 2 m-5 11 8 由(※4)(※5)解得 m= ,n=- . 3 3 11 8 此时 M 的坐标为( ,- ). 3 3 ∴kMA= 1 2 11 综上,存在 M 点使△MAB 为直角三角形,M 点的坐标为(1,0)或(2,-1)或( , )或( , 3 3 3 8 - ). 3 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在 的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意 x,y 的系数不能同时为零 这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系 得出结论.(3)根据垂直或平行关系将相关的问题转化与化归或应用方程思想是解决直线与 直线垂直或平行问题的关键. 1.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则 m +n=________. 解析:由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线 y=2x-3,它也 3+n 7+m ? ? 2 =2× 2 -3, 是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是? n-3 1 ?m-7=-2, ?

?m=5, 解得? 31 ?n= 5 ,

3

34 故 m+n= . 5

34 答案: 5 2.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解:依题意知:kAC=-2,A(5,1), ∴lAC 为 2x+y-11=0, ? ?2x+y-11=0, 联立 lAC,lCM 得? ∴C(4,3). ?2x-y-5=0, ? x0+5 y0+1? 设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为? ? 2 , 2 ?, 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0, ?2x0-y0-1=0, ? ∴? ?x0-2y0-5=0, ? 6 6 ∴B(-1,-3),∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4),即 6x-5y-9=0. 5 5

两直线相交与对称问题 (1)[两直线相交]求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂 直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程. (2)[对称问题]已知直线 l:3x-y+3=0,求: ①点 P(4,5)关于直线 l 的对称点; ②直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. ? ?3x+2y-1=0, [解] (1)法一:先解方程组? ?5x+2y+1=0, ? 得 l1,l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0. 3 法二:由于 l⊥l3, 故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1,l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 法三:由于 l 过 l1,l2 的交点, 故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 3+5λ 5 1 其斜率为- =- ;解得 λ= , 3 5 2+2λ 代入直线系方程得 l 的方程为 5x+3y-1=0. (2)设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). y′-y ∵kPP′· kl=-1,即 ×3=-1.(ⅰ) x′-x 又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, x′+x y′+y ∴3× - +3=0.(ⅱ) 2 2 3y-9 ?x′=-4x+ 5 由(ⅰ)(ⅱ)得? 3x+4y+3 ?y′= 5

.(ⅲ)

①把 x=4,y=5 代入方程组(ⅲ),得 x′=-2,y′=7,∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). ②将方程组 ( ⅲ )分别代换 x - y - 2= 0 中的 x, y ,得关于直线 l 对称的直线方程为 -4x+3y-9 3x+4y+3 - -2=0,化简得 7x+y+22=0. 5 5 (1)两直线交点的求法: 求两直线的交点坐标, 就是解由两直线方程组成的方程组, 以方程组的解为坐标的点即 为交点. (2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 求已知点 A(m,n)关于已知直线 l:y=kx+b 的对称点 A′(x0,y0)的坐标,一般方法是 依据 l 是线段 AA′的垂直平分线,列出关于 x0,y0 的方程组,由“垂直”得一方程,由“平

分”得一方程. ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情况: 一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行. 1.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 解析:选 D.由题意得直线 x-2y+1=0 与直线 x=1 的交点坐标为(1,1). 又取直线 x-2y+1=0 上的一点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点为(3,0),所以由直线方 y-0 x-3 程的两点式,得 = ,即 x+2y-3=0. 1-0 1-3 2.已知点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的 截距是________. 3-1 · k=-1 ? 1+2 1 解析:由题意得线段 AB 的中点(- ,2)在直线 y=kx+b 上,故? 2 1 ?- ?+b ?2=k· 2

,解

3 5 3 5 3 5 5 得 k=- ,b= ,所以直线方程为 y=- x+ .令 y=0,即- x+ =0,解得 x= ,故直线 2 4 2 4 2 4 6 5 y=kx+b 在 x 轴上的截距为 . 6 5 答案: 6 3.若直线 l 过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点,且|AB|=5,求直 线 l 的方程. 解:过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. ?x=1, ? 解方程组? ? ?2x+y-6=0, 求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即 x=1 为所求. ?2x+y-6=0, ? 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),解方程组? ? ?y+1=k?x-1?, k+7 ? ?x=k+2, 得两直线交点为? 4k-2 y= ? ? k+2 . (k≠-2,否则与已知直线平行). k+7 4k-2 则 B 点坐标为( , ). k+2 k+2 k+7 4k-2 由已知( -1)2+( +1)2=52, k+2 k+2 3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1),即 3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的方程为 x=1 4 4 或 3x+4y+1=0. 距离及其应用

(1)[点到直线的距离]已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是( ) A.[-10,10] B.[-10,5] C.[-5,5] D.[0,10] (2)[平行线间的距离]已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间 的距离是( ) A.0 B.2 1 C. D.4 3 (3)[距离的综合应用]正方形的中心为点 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5 =0,求其他三边所在直线的方程. [解] (1)由题意得,点 P 到直线的距离为 |4×4-3×a-1| |15-3a| = . 5 5 |15-3a| 又 ≤3,即|15-3a|≤15, 5 解得 0≤a≤10,所以 a 的取值范围是[0,10].选 D. 6 m 14 (2)∵ = ≠- ,∴m=8,直线 6x+my+14=0. 3 4 3 |-3-7| 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之间的距离 d= 2 =2.选 B. 3 +42 (3)点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 |-1-5| 3 10 d= = . 5 1+9 设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 |-1+m| 3 10 d= = , 5 1+9 解得 m=-5(舍去)或 m=7,所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7 =0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 |-3+n| 3 10 d= = , 5 1+9 解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3 =0 和 3x-y+9=0. 距离的求法: ①直接用两点间的距离公式列式求解; ②点到直线的距离: 可直接利用点到直线的距离公式来求, 但要注意此时直线方程必须 为一般式. ③两平行直线间的距离 a.利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离. b.利用两平行线间的距离公式. 1.已知直线 l:x+my-2m-1=0(m∈R),则原点到 l 的距离的最大值为( A.2 B. 5 C.4 D.2 5 解析:选 B.法一:原点 O 到 l 的距离 )

,即(d2-4)m2-4m+d2-1=0, m2+1 当 d2-4=0,即 d=2 时, d=

|2m+1|

3 m= ∈R. 4 当 d2-4≠0 时,∵m∈R. ∴Δ=(-4)2-4(d2-4)(d2-1)≥0,0≤d2≤5,∴dmax= 5,故选 B. 法二:由 x+my-2m-1=0 得(x-1)+(y-2)m=0. 则直线 l 恒过定点(1,2), 如图,当 OA⊥l 时,原点到直线 l 的距离的最大值即为|OA|= 12+22= 5.故选 B. 2. 已知 P 是直线 2x-3y+6=0 上一点, O 为坐标原点, 且点 A 的坐标为(-1,1), 若|PO| =|PA|,则 P 点的坐标为________. 解析:法一:设 P(a,b),则 ?2a-3b+6=0, , ? 2 2 ? a +b = ?a+1?2+?b-1?2 解得 a=3,b=4.∴P 的坐标为(3,4). 法二:线段 OA 的中垂线方程为 x-y+1=0, ? ?2x-3y+6=0, 则由? ?x-y+1=0. ?
? ?x=3 解得? ,则 P 的坐标为 (3,4).填(3,4), ?y=4 ? 答案:(3,4) 3.已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点 P,使|PA| =|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2. 解:设点 P 的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2). -3+1 而 AB 的斜率 kAB= =-1, 4-2 ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x-3,即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在直线 x-y-5=0 上, ∴a-b-5=0.① 又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2, |4a+3b-2| ∴ =2, 5 即 4a+3b-2=± 10,② 27 a= , ? 7 a = 1 ? 由①②联立可得? 或 8 ?b=-4 ? b=- . 7 27 8 ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或( ,- ). 7 7

? ? ?

一、选择题 1.(必修 2 P110B 组 T4 改编)若 A(3,4),B(6,3)两点到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等, 则 a 等于( ) 1 A. B.-1 3 1 C.1 D.-1 或 3 |3a+4+1| |6a+3+1| 解析:选 D.依题意, = , a2+1 a2+1 1 解得 a=-1 或 a= .故选 D. 3 2.(必修 2 P114A 组 T10 改编)若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行, 则 l1 与 l2 之间的距离为( ) 4 2 A. B.4 2 3 8 2 C. D.2 2 3 1 a 6 解析:选 C.∵l1∥l2,得 = ≠ , a-2 3 2a 解得 a=-1, 2 ∴l1 与 l2 的方程分别为 l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0, 3 2 |6- | 3 8 ∴l1 与 l2 的距离 d= = 2. 3 2 3.(必修 2 P105 例 3 改编)已知点 A(-1,2),B(3,4).P 是 x 轴上一点,且|PA|=|PB|,则 △PAB 的面积为( ) 5 5 A.15 B. 2 15 C.6 5 D. 2 解析:选 D.AB 的中点坐标为 M(1,3), 4-2 1 kAB= = , 3-?-1? 2 ∴AB 的中垂线方程为 y-3=-2(x-1). 即 2x+y-5=0. 5 5 令 y=0,则 x= ,即 P 点的坐标为( ,0), 2 2 |AB|= ?-1-3?2+?2-4?2=2 5. 5 3 5 P 到 AB 的距离为|PM|= ?1- ?2+32= . 2 2 1 1 3 5 15 ∴S△PAB= |AB|· |PM|= ×2 5× = . 2 2 2 2 二、填空题 4.(必修 2 P115B 组 T4 改编)与直线 l1:3x+2y-6=0 和直线 l2:6x+4y-3=0 等距离的 直线方程是________.

3 解析:l2:6x+4y-3=0 化为 3x+2y- =0,所以 l1 与 l2 平行,设与 l1,l2 等距离的直 2 3 15 线 l 的方程为 3x+2y+c=0,则:|c+6|=|c+ |,解得 c=- ,所以 l 的方程为 12x+8y- 2 4 15=0. 答案:12x+8y-15=0 5.(必修 2 P114A 组 T8 改编)以点 A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形 ABCD 的面积为________. 5-1 4 解析:kAB= =- , 3 1-4 2-?-2? 4 kDC= =- . 3 -3-0 -2-1 3 2-5 3 kAD= = ,kBC= = . 4 0-4 -3-1 4 则 kAB=kDC,kAD=kBC,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 又 kAD· kAB=-1,即 AD⊥AB, 故四边形 ABCD 为矩形. 故面积 S=|AB|· |AD|= ?1-4?2+?5-1?2× ?0-4?2+?-2-1?2=25. 答案:25 三、解答题 6.(必修 2 P110B 组 T8 改编)已知点 P 在平面直角坐标系内,求 M 到点 A(1,2),B(1,5), C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小值及此时点 M 的坐标. 解:如图,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅当 A,M,C 共线时取等号,

同理|MB|+|MD|≥|BD|,当且仅当 B,M,D 共线时取等号,连接 AC,BD 交于一点 M, 若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,则点 M 为所求. 6-2 又 kAC= =2, 3-1 ∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0.① 5-?-1? 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1),即 x+y-6=0.② ? ? ?2x-y=0, ?x=2, 由①②得? ∴? ∴M(2,4). ?x+y-6=0, ?y=4, ? ? 此时 |MA|+|MB|+|MC|+|MD|的最小值为 |AC|+|BD|= ?3-1?2+?6-2?2+ ?7-1?2+?-1-5?2=2 5+6 2. 即当 M(2,4)时,M 到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和取得最小值 2 5+ 6 2.

一、选择题 1.已知直线 l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是( A.-3 B.2

)

D.3 或-2 ?a?a+1?-2×3=0, ? [导学号 03350707] 解析:选 A.根据题意,得? ? 1≠2, ?a· 解得 a=-3.故选 A. 2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 垂直的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 1 [导学号 03350708] 解析:选 C.因为直线 x-2y-2=0 的斜率为 ,所以所求直线的斜 2 率 k=-2.所以所求直线的方程为 y-0=-2(x-1),即 2x+y-2=0.故选 C. 3.“a=-1”是“直线 ax+y+1=0 与直线 x+ay+2=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [导学号 03350709] 解析:选 A.由直线 ax+y+1=0 与直线 x+ay+2=0 平行,得 a= -1 或 1,所以“a=-1”是“直线 ax+y+1=0 与直线 x+ay+2=0 平行”的充分不必要 条件.故选 A. 4.已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1 =0 为 l3.若 l1∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( ) A.-10 B.-2 C.0 D.8 [导学号 03350710] 解析:选 A.∵l1∥l2, 4-m ∴kAB= =-2,解得 m=-8. m+2 1 - ?×(-2)=-1, 又∵l2⊥l3,∴? ? n? 解得 n=-2,∴m+n=-10. 5.已知 b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0 与直线 x-b2y-1=0 互相垂直,则 ab 的最小值 为( ) A.1 B.2 C.2 2 D.2 3 [导学号 03350711] 解析:选 B.由已知两直线垂直得(b2+1)-ab2=0,即 ab2=b2+1. b2+1 1 两边同除以 b,得 ab= =b+ . b b b2+1 1 1 由基本不等式,得 ab= =b+ ≥2 b· =2, b b b 当且仅当 b=1 时等号成立,故选 B. 4 6.已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17,则直线 l 的方程为 x ( ) A.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 B.4x-y+9=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 D.以上都不对 4 4 [导学号 03350712] 解析:选 C.因为曲线 y= ,所以 y′=- 2,所以曲线在点 P(1,4) x x 处的切线的斜率为-4, 方程为 4x+y-8=0. |c+8| 设直线 l 的方程为 4x+y+c=0,则 = 17,所以 c=9 或-25,因此直线 l 的方程 17

C.3 或 2

为 4x+y+9=0 或 4x+y-25=0,故选 C. 3 7.已知直线 l 的倾斜角为 π,直线 l1 经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1 与 l 垂直,直线 4 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 [导学号 03350713] 解析:选 B.∵直线 l 的斜率为-1, ∴直线 l1 的斜率为 1, 2-?-1? ∴kAB= =1,解得 a=0. 3-a 2 ∵l1∥l2,∴- =1,解得 b=-2. b ∴a+b=-2. 2 8.点 P 到点 A′(1,0)和到直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直线 y=x 的距离等于 , 2 这样的点 P 共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 |x-y| 2 [导学号 03350714] 解析: 选 C.设 P(x, y), 由题意知 ?x-1?2+y2=|x+1|且 = , 2 2
2 ? ?y =4x, ? 所以 ?|x-y|=1, ?

?y2=4x, ?y2=4x, ? ? 即? ①或? ② ?x-y=1, ?x-y=-1. ? ? 解得①有两根,②有一根.符合题意的点 P 共有 3 个.故选 C. 2 13 9.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 c 的值为( ) 13 A.2 或 6 B.2 或-6 C.-2 或 6 D.-2 或-6 3 -2 -1 [导学号 03350715] 解析:选 B.由题意得, = ≠ ,所以 a=-4 且 c≠-2, 6 a c c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0, 2 c | +1| 2 13 2 由平行线间的距离公式得, = , 13 13 解得 c=2 或 c=-6.故选 B. 10.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是( ) 1 2 ? ? ? A.? ?-∞,2?∪?3,+∞? 2 1? B.? ?-3,2? 1 2 - , ? C.? ? 2 3? 2 1? D.? ?-3,2? [导学号 03350716] 解析:选 D.因为 P(-1,1)和 Q(2,2)在直线 l:x+my+m=0 的两侧 2 1 或在直线上,所以(-1+m+m)(2+2m+m)≤0,解得- ≤m≤ ,所以实数 m 的取值范围 3 2

2 1 是- ≤m≤ .故选 D. 3 2 二、填空题 11.若曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2)到直线 l 的距离为 ________. [导学号 03350717] 解析:由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为 k=y′|x=-1= 2-3×(-1)2=-1,故切线 l 的方程为 y-(-1)=-1· [x-(-1)],整理得 x+y+2=0.由点 |3+2+2| 7 2 到直线的距离公式,得点 P(3,2)到直线 l 的距离为 = . 2 12+12 7 2 答案: 2 12.直线 l:mx-2y+3m+4=0(m∈R)恒过定点为 M,则|OM|=________. [导学号 03350718] 解析:由 mx-2y+3m+4=0,得(x+3)m+(-2y+4)=0. ?x+3=0, ?x=-3, ? ? 令? 得? ? ? ?-2y+4=0, ?y=2, 即 l 恒过定点(-3,2),∴|OM|= ?-3?2+22= 13. 答案: 13 13.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是①15° ;②30° ;③45° ;④60° ;⑤75° . 其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号). 2 [导学号 03350719] 解析: 记直线 m 的倾斜角是 θ.由题意知直线 l1, l2 间的距离为 = 2 2.又直线 m 被直线 l1,l2 所截得的线段的长是 2 2,因此直线 m 与直线 l1 的夹角的正弦值 2 1 为 = , 直线 m 与直线 l1 的夹角是 30° , 又直线 l1 的倾斜角是 45° , 因此 θ=15° 或 θ=75° , 2 2 2 故正确答案的序号是①⑤. 答案:①⑤ 14.已知 a≠0,直线 ax+(b+2)y+4=0 与直线 ax+(b-2)y-3=0 互相垂直,则 ab 的 最大值为________. a 3 [导学号 03350720] 解析:若 b=2,则两直线方程为 y=- x-1 和 x= ,此时两直线 4 a 4 a 3 相交但不垂直. 若 b=-2, 则两直线方程为 x=- 和 y= x- , 此时两直线相交但不垂直. 若 a 4 4 b≠± 2,则两直线方程为 y= a 4 a 3 a a - x- 和 y=- x+ ,此时两直线的斜率分别为- ,- ,所以 b+2 b+2 b-2 b-2 b+2 b-2 a a ? 由- ·-b-2?=-1 得 a2+b2=4.因为 a2+b2=4≥2ab,所以 ab≤2,则 ab 的最大值是 ? b+2 ? 2. 答案:2 三、解答题 15. 已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0, 且点 P0 在第三 象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. [导学号 03350721] 解:(1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1.由直线 l1 平行于直线 4x-y -1=0,得 3x2+1=4,解得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,

1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵直线 l 过切点 P0(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 2 16.如图所示,函数 f(x)=x+ 的定义域为(0,+∞).设点 P 是函数图象上任意一点, x 过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

[导学号 03350722] 解:(1)证明:设 P?x0,x0+

?

2? (x >0), x0 ? 0

则|PN|=x0,|PM|=

? 2? ? x0 ?
2

1 = , x0

因此|PM|· |PN|=1. (2)连接 OP(图略),直线 PM 的方程为 2 2 y-x0- =-(x-x0),即 y=-x+2x0+ . x0 x0 y=x, ? ? 2 解方程组? 得 x=y=x0+ , 2 2 x 0 ? ?y=-x+2x0+ x0 , 1 所以|OM|= 2x0+ . x0 S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM 1 1 = |PN|· |ON|+ |PM|· |OM| 2 2 1 1 1 2 2x0+ ? = x0?x0+ ?+ ? x0? 2 ? x0 ? 2x0? 1? 2 1 ? = 2+ ?x0+x2?≥ 2+1, 2 0 1 当且仅当 x0= ,即 x0=1 时等号成立.因此,四边形 OMPN 面积的最小值为 2+1. x0


相关文章:
第2讲 两直线的位置关系
第2讲 两直线的位置关系 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是___. 3 3 ...
第九篇 解析几何第2讲 两条直线的位置关系
第2讲【2013 年高考会这样考】 1.考查两直线的平行与垂直. 两条直线的位置关系 2.考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式. 【...
第2讲 两直线的位置关系
第2讲 两直线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。高三数学复习第 2 讲 两直线的位置关系【必做题】 1.如果两条直线l1: ax ? 2 y ? 6 ? 0 与l2: x ...
第九篇 解析几何 第2讲 两条直线的位置关系
第2讲 1.考查两直线的平行与垂直. 两条直线的位置关系 2.考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式. 【复习指导】 1.对两条直线...
第九篇解析几何第2讲两条直线的位置关系
第2讲【2013 年高考会这样考】 1.考查两直线的平行与垂直. 两条直线的位置关系 3.三种距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1...
第八章第2讲两直线的位置关系
第八章第2讲两直线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 两直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 如何判定两斜率存在的直线平行与垂直? 提示: ...
第2讲 两条直线的位置关系
第2讲【2013 年高考会这样考】 1.考查两直线的平行与垂直. 两条直线的位置关系 2.考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式. 【...
第八章第2讲两直线的位置关系
第八章第2讲两直线的位置关系_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 两直线的位置关系 1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两条不重合的 直线 l1,l2,斜 ...
...第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系练习 ...
2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系练习 理_数学_高中教育_教育专区。2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 2 讲...
第八章第2讲两直线的位置关系
第八章第2讲两直线的位置关系_理学_高等教育_教育专区。第 2 讲 两直线的位置关系 ,[学生用书 P141]) 1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位置...
更多相关标签:
直线与圆的位置关系 | 直线与椭圆的位置关系 | 直线与平面的位置关系 | 两条直线的位置关系 | 两直线的位置关系 | 两直线位置关系 | 直线与直线的位置关系 | 点与直线的位置关系 |