当前位置:首页 >> 数学 >>

第一章 集合


第一章

集合

一. 重点和难点: 1. 重点: ①集合的概念,集合中元素的性质。 ②两集合间的关系,以及集合的交并补运算。 2. 难点: ①对集合概念的理解以及简单的应用。 ②集合的交并补概念及其运算的熟练应用。 二. 知识要点解析: 1. 集合的定义: 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体, 就说这个整体是由这些对象的全体构成的 集

合(或集)。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。 2. 集合中元素的性质: ①确定性 ② 互异性 ③ 无序性 3. 集合的表示方法: ① 列举法 ② 描述法 ③ 区间表示法 ④ 图示法 4. 两集合间的关系: ① 子集:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A ? B ,读作 A 包含于 B ② 真子集:如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不在 A 中,那么 集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A ? B ,读作 A 真包含于 B ③ 集合相等:如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 中的 每一个元素都是集合 A 的元素,那么我们说两集合相等。 5. 集合间的性质: ①任何一个集合都是它本身的子集 ②空集是任一集合的子集 ③空集是任一非空集合的真子集

2 ? 1个非空子集, 2 ?2 6. 有限子集的个数: 设集合 A 的元素个数是 n, 则 A 有 2 个子集,
n n n

个非空真子集。 7. 集合的运算 ①交集: A ? B ? x x ? A且x ? B ②并集: A ? B ?

?

?

?x x ? A或x ? B?
?

③补集: CU A ? x x ?U且x ? A 8. 集合运算中的重要性质: ①如果 A ? B =A,则 B ? A ②如果 A ? B =A,则 A ? B ③ A ? CU A ? U , A ? CU A ? ?

?

④反演律:

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B CU ( A ? B) ? CU A ? CU B

【典型例题】
例 1. 写出集合 ?a, b, c, d ?的所有子集和真子集。 分析:要写出子集,关键理解子集和真子集的定义的内涵,就是集合中元素是否在另一 个集合中。因此本题可以通过元素的个数分类: 集合中含有 0 个元素: ? 集合中含有 1 个元素: ?a?, ?b?, ?c?, ?d ? 集合中含有 2 个元素: ?a, b?, ?a, c?, ?a, d ?, ?b, c?, ?b, d ?, ?c, d ? 集合中含有 3 个元素: ?a, b, c?, ?a, b, d ?, ?a, c, d ?, ?b, c, d ? 集合中含有 4 个元素: ?a, b, c, d ? 一共 16 个,真子集去掉最后一个是 15 个 解:(同分析) 小结:这类题型关键要理解真正的内涵,采用列举的方法就很容易解决。 结论:若集合 M 中含有 n 个元素,则子集的个数为 2 个,真子集的个数为 2 ? 1 个。
n n

例 2. 设 A= ? 4,2a ? 1, a , B ? ? 9, a ? 5,1 ? a?,已知A ? B ? ?9?, 求实数a的值。
2

?

?

分析:本题主要考虑集合的相等,已知 9 是公共元素,找出元素之间的联系,列出关系 式,求出 a,但要检验是否符合集合中元素的互异性的特征。 解:∵ A ? B ? ?9?, ∴ 9 ? A 若 2a-1=9,则 a=5,此时 A= ?? 4,9,25?,B= ?9,0,?4? 而 A ? B ? ?9,?4?, 与已知矛盾,舍去 若 a ? 9, 则a ? ?3
2

当 a=3 时, A ? ?? 4,5,9?, B ? ??2,?2, 9? B 中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去

, B ? ? 4,?8, 9? ,符合题意。 当 a=-3 时, A ? ?? 4,?7,9?
综上所述,a=-3。 小结:本题考察集合元素的基本性质—确定性、互异性、无序性。切入点是分类讨论思 想,由于集合中元素用字母表示,检验结果必不可少。

例 3. 已知集合 A= x x ? 2 x ? a ? 0?, B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , 且A是B的真子集, 求
2 2

?

?

?

实数 a 的取值范围。 分析:此类题目首先要化简集合,然后利用真子集的定义,借助数轴来求解。 解: B ? x 1 ? x ? 2

?

?

对于 A,分以下三种情况: (1)△﹤0 ? a﹥1,此时 A= ? ,满足 A是B的真子集 (2)△﹤0 ? a=1,此时 A= ? 1? ,满足 A是B的真子集 (3) △﹤0 ? a﹥1, 此时 A= x 1 ? 1 ? a ? x ? 1 ? 1 ? a , 要满足 A是B的真子集, 只需 ?

?

?

? ?1 ? 1 ? a ? 2 ? ?1 ? 1 ? a ? 1

且两者等号不同时成立,解得 a 无解。

综上所述,可得 a 的取值范围是 [1,??) 小结:空集是集合运用中的一个“陷阱”,其地位非常重要,必须引起注意,特别遇到 子集,真子集等情况。首先考虑空集和非空两种情况,然后利用性质去求解。



4.

已 知 集 合

A ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 , C =

?

?

?

?

?x x

2

? bx ? 2 ? 0 , 问同时满足 B 是 A 的真子集, A ? C ? A 的实数 a,b 是否存在?若存

?

在,求出 a,b;若不存在,请说明理由。 分析:一元二次方程实根情况有三种:(1)有两个相等的实根;(2)有两个不相等的 实根;(3)没有实根。根据条件“B 是 A 的真子集, A ? C ? A ”确定集合 B、C 中的 元素,因为空集是任一非空集合的真子集,所以 B、C 都有可能是空集。但 B 中必有元素 1, 则 B 不是空集。
2 1,2?, 解:∵ A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ? ?

?

?

B ? x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 ? ?x ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? 0?
又 ∵B 是 A 的真子集,∴a-1=1 即 a=2

?

?

? A ? C ? A ?C ? A
则 C 中元素有以下三种情况: (1)若 C 为空集,即方程 x ? bx ? 2 ? 0 无实数根
2

∴△= b ? 8 ﹤0,? ?2 2 ﹤b﹤ 2 2
2

(2)若 C= ?? 1 或?2? 时,即方程 x ? bx ? 2 ? 0 有两个相等的实数根
2

∴△= b ? 8 =0, b= ? 2 2 ,此时 C=
2

? 2?或?? 2?,不符合题意,舍去。

(3)C= ? 1,2? 时,则 b=1+2=3,而两根之积恰好为 2 综上所述,a=2,b=3 或 ? 2 2 ﹤b﹤ 2 2 小结:这类题目要利用分类讨论的思想,但要注意 C 是空集的情况,防止漏解。同时 在解题过程中考虑问题要全面。 在本题中既要考虑集合的性质又要考虑一元二次方程根的性 质。注意知识的综合应用。

【模拟试题】
一、选择题: 1、给出下列语句: ①0 和{0}表示同一个集合 ②由 1、2、3 组成的集合可以表示为{1,2,3} ③方程 ( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可以表示为{1,1,2} ④集合 x 1 ? x ? 3 是有限集。其中正确的是( A. 只有①和④ C. 只有② 2、集合 M ? ? x x ? B. 只有②和③ D. 以上语句都不对

?

?



? ?

? ? ? k? ? k? ? ? , k ? Z ?, N ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 M、N 之间的关 2 4 4 2 ? ? ?
D. M ? N ? ? )

系是(

) B. M 是 N 的真子集 C. N 是 M 的真子集

A. M=N

2 2 3、已知 M ? y y ? x ? 1 , N ? y y ? ? x ? 1 , 则M ? N ? (

?

?

?

?

A. {0,1}

B. {(0,1)}

C. {1}

D. 以上都不对

4、 集合A ? ? 1,2,3?满足A ? B ? A的集合B的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 8

5、 含有三个实数的集合可以表示为{a, , 1}, 也可以表示为 a , a ? b,0 , 则a
2

b a

?

?

2006

? b 2006

的值为( A. 0



6、已知 M ? x x 2 ? 1 , N ? ?x ax ? 1?, 若N是M的真子集,则a ? (

?

B. 1

?

C. -1

D. ? 1 )

A. 1 B. -1 C. ? 1 D. 0, ? 1 7、集合 S={a,b,c}中的三个元素是三角形 ABC 的三边长,那么三角形 ABC 一定不是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8、设集合 A={x︱1﹤x﹤2},B={x∣x﹤a},若 A ? B ,则 a 的取值范围( ) A. [2,??) B. (- ? , 2) C. ( 2,??) D. (- ? , 2)

9、 设S、T是两个非空的集合,且 S ? T , T ? S , 记X ? S ? T , 那么S ? T ? ( A. ? B. T C. S D. X 10、已知 M={平行四边形},P={梯形},则 M ? P ? ( ) A. M B. P C. ? D. 以上均不对 二、填空题 11、已知 A ? ( x, y) 3x ? 5 y ? ?2 , B ? ( x, y) 2x ? 7 y ? 40 , 则A ? B ? 12、设集合 A={x︱-1≤x≤2},B={x∣x≤a},若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围 13、设全集是使



?

?

?

?

2 14、若集合 A ? x ax ? 3 x ? 1 ? 0 中有且只有一个元素,则实数 a 的取值范围是

?

1 有意义的 x 的取值的集合, A ? ?x x ? 10?,求 CU A ? x?7

?

三、解答题 15、某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座,其中有 75 人听了数学讲座,68 人听了 历史讲座,61 人听了音乐讲座,17 人同时听了数学、历史讲座,12 人同时听了数学、音乐 讲座,9 人同时听了历史、音乐讲座,还有 6 人听了全部讲座,求听讲座的人数。
2 ? 16、 已知集合 A ? x x ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R , 若A ? R ? ? , 求实数 p 的取值范围。

?

?

17 、 关 于 x 的不 等式 x ?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? 与x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 (其 中 2 2

a ? R )的解集依次记为 A、B。求使 A ? B 的 a 的取值范围。 【试题答案】
一、选择题 题号 选项 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 D 7 D 8 A 9 C 10 C

二、填空题 11、 ?(6,4)? 12、{a∣a<-1} 13、 x x ? 10, x ? 7

?

?

14、{0,9/4}

三、解答题 15、解:利用图示法解决,共 172 人

16、解:∵ A ? R ? ? 按集合 A 为空集,两负根,一负一 0 根三种情况求解。 实数 p 的取值范围{p∣p>-4} 17、解: A : ?

?

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 (a ? 1) 2 ? x? ? ,? 2a ? x ? a 2 ? 1 2 2 2

B: 方程 x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 有两根 2,3a+1 (1)若 3a+1≥2,即 a ?

1 , B : 2 ? x ? 3a ? 1 3

?2 a ? 2 ?a ? 1 ? A ? B,? ? 2 ?? ?1? a ? 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1 ?0 ? a ? 3
(2)若 3a+1≤2,即 a ?

1 , B : 3a ? 1 ? x ? 2 3

?2a ? 3a ? 1 ?a ? ?1 ? A ? B,? ? 2 ?? ? a ? ?1 ? 1 ? a ? 1 a ? 1 ? 2 ? ?
综上所述 a 的取值范围 a 1 ? a ? 3或a ? ?1

?

?


相关文章:
第一章_集合知识点整理
第一章基础知识点: 集合 §1.1 集合集合的定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }...
第一章 集合与函数概念 §1.1 集合
第一章 集合与函数概念 §1.1 集合_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第一章 集合与函数概念 §1.1 集合_理学_高等教育_教育...
第一章 集合
第一章 集合_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合教学目的: 集合论是本课程的基础.引入的概念与的运算,使学生掌握的基本运算规律. 重点难点: De...
第一章集合
第一章集合_数学_高中教育_教育专区。1. 1 目标导航: 知识目标: (1)理解集合、元素及其关系; 集合的概念 (2)初步了解“属于”关系的意义 (3)初步了解有限...
高一数学必修1第一章第一节集合
高一数学必修1第一章第一节集合_数学_高中教育_教育专区。高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 高一数学必修 1(人教版)第一章第一节集合教学目标: 1....
第一章 集合
第一章 集合_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合板块一 集合的概念与表示题型一 集合的性质【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大...
第一章集合
第一章集合_理学_高等教育_教育专区。集合 第一章:集合、数列、数学归纳法 1.用适当的字母表示下列集合 (1)自然数(2)整数(3)正整数(4)有理数(5...
第一章集合
第一章集合_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版必修 1《第 1 章 集合与函数概念》单元检测卷 一、选择题 1.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}...
高一数学第一章集合数学测试题
高一数学第一章集合数学测试题 一、选择题(每小题 5 分,计 5×12=60 分) 1.下列集合中,结果是空的为( ) (A) (B) (C) (D) 2.设集合 , ,则...
第一章 集合 学案(人教B版必修1)
第一章 集合 学案(人教B版必修1)_数学_高中教育_教育专区。1 第一章 集 合 【入门向导】 渔民与数学家的故事 一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合...
更多相关标签:
第一章集合与函数概念 | 艺校女生第一章干爹 | 破碎群岛探路者第一章 | 骚妻林雨柔第一章 | 诱红楼第一章花蕊绽放 | 大奥第一章 | 警花系列1第一章 | 初一数学第一章视频 |