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【成才之路】2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二课件:章末归纳总结4


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第四章
圆的方程

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圆的方程

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修2

第四章
章末归纳总结

第四章

圆的方程

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1

知识结构

2

专题突破

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圆的方程

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知识结构

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章末归纳整合

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第四章

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专题突破

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专题一 圆的方程问题
1 .关于求圆的方程,可以用直接法,即由条件直接求圆 心和半径,但基本方法是以待定系数法为主,在设方程时应根 据条件选择使用标准方程还是一般方程,如果题目给出圆心坐 标等关系,则采用标准方程;如果已知圆上多个点的坐标,则

采用一般方程.
2 .另外注意,用动点轨迹的方法求圆的方程时,除定义 外还有其他等量关系,如动点到两定点连线互相垂直、动点到 两定点的距离的比是常数等.

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有 一 圆 C 与 直 线 l : 4x - 3y + 6 = 0 相 切 于 点
A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程.
[解析] 方法 1:设圆的标准方程,寻找三个方程构成方程 组求解.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心为 C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,得
2 2 2 ? 3 - a ? + ? 6 - b ? = r , ? ? ??5-a?2+?2-b?2=r2, ? ?b-6 4 ×3=-1, ? a - 3 ?

?a=5, ? ?b=9, 2 解得? ? 25 2 ?r = . 4 ?

9 2 25 所以圆的方程为(x-5) +(y-2) = 4 .
2

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方法 2:设圆的一般方程求解. 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 CA⊥l,A(3,6)、
2 2 3 + 6 +3D+6E+F=0, ? ? ?52+22+5D+2E+F=0, ? E B(5,2)在圆上,得? - -6 4 ? 2 ×3=-1. ? D - -3 ? ? 2

?D=-10, ? 解得?E=-9, ?F=39. ? 所以所求圆的方程为 x2+y2-10x-9y+39=0.
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方法3:由题意可设所求圆的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x -3y+6)=0,又因为此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程 求得λ=-1,所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

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专题二

直线与圆的位置关系问题

讨论直线与圆的位置关系时, 一般可以从代数特征(方程组 解的个数 ) 或几何特征 ( 直线到圆心的距离与半径的关系 ) 去考 虑,其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用.如直 l 2 2 2 线与圆相交求弦长时,利用公式(2) +d =r (其中,弦长为 l, 弦心距为 d,半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用.

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过点 P( - 2 ,- 3) 作圆 C : (x - 4)2 + (y - 2)2 = 9

的两条切线,切点分别为A、B.求:
(1)经过圆心C,切点A、B这三点的圆的方程; (2)直线AB的方程; (3)线段AB的长. [ 探究 ] 求 A 、 B 两点坐标太繁,若能发现 P 、 A、 B、 C 共

圆且以PC为直径,则圆方程易求.

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[解析]

(1) 连 接 CA 、 CB . 由 平 面 几 何 知 , CA⊥PA ,

CB⊥PB.这些点P、A、C、B共圆,且CP为直径.这也是过三 点A、B、C的圆. ∵P(-2,-3),圆心坐标为C(4,2), ∴所求圆的方程为 (x+2)(x-4)+(y+3)(y-2)=0,即x2+

y2-2x+y-14=0.
(2)直线AB即为这个圆的公共弦所在直线. 由x2+y2-2x+y-14=0与(x-4)2+(y-2)2=9相减,得6x +5y-25=0.

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(3)设 AB、PC 交于点 Q, |6· ?-2?+5· ?-3?-25| 52 则|PQ|= = , 2 2 61 6 +5 |6×4+5×2-25| 9 |CQ|= = . 2 2 61 6 +5 在 Rt △ PCA 中,因为 AQ ⊥ PC ,由平面几何知 |AQ|2 = 52 9 468 · = 61 . 61 61 468 12 |AB|=2|AQ|=2· 61 =61 793.

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规律总结: 直线和二次曲线相交,所得弦的弦长是 1+k |x1-x2|或
2

12 1+?k ? |y1-y2|,这对直线和圆相交也成立,

但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求 得.

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专题三

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题包括:(1)求圆 O 上一点到圆外一点 P 的最大距离、最小距离:dmax=|OP|+r,dmin=|OP|-r;(2)求圆 上的点到某条直线的最大距离、最小距离,设圆心到直线的距 离为 m,则 dmax=m+r,dmin=m-r;(3)已知点的运动轨迹是(x y -n -a) +(y-b) =r ,求①mx+ny,② ,③(x-m)2+(y-n)2 x-m
2 2 2

等式子的最值.

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一般地,形如 z=mx+ny 的最值问题,可以转化为动直线 y-n 的截距的最值问题;形如 k= 的最值问题,可以转化为动 x-m 直线的斜率的最值问题; 形如 d=(x-m)2+(y-n)2 的最值问题, 可以转化为两点间的距离的平方的最值问题.

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已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.

y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值.

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[解析]

(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为

圆心,半径为 3的圆. y 设x=k,即 y=kx,当直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=3 相切 |2k-0| 时,斜率 k 取得最大值和最小值,此时有 2 = 3,解得 k k +1 y =± 3故x的最大值为 3,最小值为- 3.

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(2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y=x+b 与圆相切时,纵截 |2-0+b| 距 b 取得最大值和最小值,此时 = 3,即 b=-2± 6. 2 故(y-x)max=-2+ 6,(y-x)min=-2- 6. (3)x2+y2 表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知 识知,在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值.又知圆心到原点的距离为 2,故(x2+y2)max=7+4 3,(x2 +y2)min=7-4 3.

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专题四 圆系方程问题
(1)设两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x +E2y +F2= 0相交,则过圆 C1、圆C2两圆交点的圆系方程为 x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + λ(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0.( 其中 λ≠ - 1,不包括圆C2).

(2)当λ=-1时,便可得两圆的公共弦所在直线方程,灵活
运用圆系方程和两圆的公共弦所在直线方程,可使很多问题得 以简便解答.

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已知两圆 C1 : x2 + y2 = 4 , C2 : x2 + y2 - 2x - 4y

+4=0,直线 l :x +2y =0,求经过圆C1 和C2 的交点且和直线 l
相切的圆的方程.
[解析] 由圆系方程,设所求圆的方程为 x2+y2-4+m(x2 +y2-2x-4y+4)=0, 2m m 圆心为( , ), 1+m 1+m 4m m | + | 1+m 1+m 由 = 5 -4m+4 m2+4m2 + 2 解得 m=1, 1+m ?1+m?

∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-2y=0.
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专题五 本章所用的数学思想 本章所学的数学思想主要有以下三种: (1)函数与方程的思想 函数与方程的思想就是用函数和方程的观点去分析和研究

数学问题中的数量关系,在解决圆的方程、直线与圆、圆与圆
的位置关系等问题时,经常需要列出方程组,利用函数与方程 的思想解题.

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32 2 求圆心在圆(x-2) +y =2 上,且与 x 轴和直 1 线 x=-2都相切的圆的方程.
[解析] 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 32 2 1 ∵圆(x-2) +y =2 在直线 x=-2的右侧, 且所求的圆与 x 1 轴和直线 x=-2都相切, 1 1 ∴a>-2.∴r=a+2,r=|b|.

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32 2 又圆心(a,b)在圆(x-2) +y =2 上, 32 2 ∴(a-2) +b =2, 1 ? ?r=a+2, ? ∴?r=|b|, ? 3 ??a- ?2+b2=2. 2 ? ? ?a=1, ? 2 解得?r=1, ? ? 1. ?b=±

12 12 2 ∴所求圆的方程为(x-2) +(y-1) =1 或(x-2) +(y+1)2 =1.
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(2)数形结合的思想. 数形结合的思想是一种重要的思想方法,其实质是将抽象

的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相
结合,通过对图形的认识及数形结合的转化,可以培养思维的 灵活性、抽象性,使问题化难为易,化抽象为具体.

(3)转化与化归的思想.
数学问题的解答离不开转化与化归,所谓化归思想,就是 在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换 使之转化,进而使问题得以解决的方法.一般地,总是将复杂 的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为容易解决的问

题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
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方程 9-x2=k(x-3)+4 有两个不同的解时, 实数 k 的取值范围是( 7 A.(0,24) 1 2 C.(3,3)
[解析]

) 7 B.(24,+∞) 7 2 D.(24,3]

利用转化与化归的思想将方程解的个数问题转化

为两个函数图象的交点个数问题,作出两个函数的图象,利用 图象形结合的思想求解.

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令 y= 9-x2, 显然 y2=9-x2(y≥0), 表示半圆,直线 y=k(x-3)+4 过定点 (3,4),如图所示.当直线 y=k(x-3)+4 与 半 圆 y = 9-x2 有 两 个 交 点 时 , kMD<k≤kMA, 因为直线 kx-y-3k+4=0, |-3k+4| 7 圆心到直线的距离 d= 2 ,所以由 d=3,解得 kMD=24, 1+k 2 7 2 又 kMA=3,所以24<k≤3,故应选 D.

[答案] D
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