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2006年全国高中数学联赛江苏赛区复赛


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中 等 数 学 

2 0 0 6年 全 国高 中数 学 联 赛 江 苏 赛 区复 赛 
第 一 试 


△A B C面积的去  
( D ) 不一 定 能构成 三 角形 



选择 题 (

每小 题 6分 , 共3 6分 )   ) .   ( D) 无数 个 

1 . 若 一2 ≤l   +1   I —l 似 一1   l ≤2对  ∈  

3 . 已 知 a 、 J 9 ∈ 【 0 , 号 ) , 且  
s Ⅱ - l 2 a=c 0 s ( a—J 9 ) .  

R恒 成立 , 则 实数 口的个 数 为 (   ( A ) 0   ( B ) I   ( c ) 2  

则 a与  一定 满足 (  
( A ) a<. 1 9  

) .  

2 . 已知△ A B C 内接 于 单 位 圆 . 则 长 为 

咖 A 、 s i n   B 、 s i n   C的三条线段(  
1  

) .  

( B ) a>卢  

( A ) 能构 成 一 个 三 角 形 , 其 面积 大 于 

( c ) a + J 9 < 吾  
数列 { 口   } 中(   ) .  

( D ) a +   吾  

△A B C面积的去 
二 

4 . 设 口   =n  +凡+2( n=1 , 2 , …) . 贝 q 在  ( A) 有 无穷 多个 质数 

( B ) 能构成一个三角形, 其 面 积 等 于 
1  

△A B C面积的去  
二 

( B ) 有且只有有限多个质数 
( C ) 有无 穷 多个平 方数 
S =I   一   I +I   一恐 I +… + I   0 0 6 一   I .  

( C ) 能构 成 一 个 三 角形 , 其 面 积 小 于 
t  ̄LA e D=L E,   =   =2 .  

对于每一个点 五, 进 出各一次 , 所以 , 置 在上式 
又  A D B=   B F E.  A B D=   E, 所以 ,   △ A B DC O △ B E F.  

中出现 2 次.  

  ’

另一方面 , 上 式 中每一 个被 加项 I 置 一置+ 。 I 在 

 ̄ . t 1 肋 E F=  

=2 即 E F= 2 肋 .  


展开时 , 大者取 “ +” 号, 小者取“一” 号. 所 以, 整个式  子在展开计算时 , 取 “+” 号之 点 和取“一” 之 点各有 
2   0 0 6个 .  

故   +2 B D =A ,+  

=A E=A C+ C E=5 A C.  

证法 2 : 在 m△ A B C中, 因为 B C= 2 A C , 所以 ,  
A B= ̄ / — A C 2 + —B C 2= ̄ /A C 2 +( 2 A C ) 2=   A C.   作 D E 上衄 , 垂 足为  .   因A D平 分  B A C, 所以,  
DE= DC = B C 一 肋 =2 A C 一肋 .  

假 定称 { 1 , 2 , …, 1   0 0 B } 为上半 区 , { 1   0 0 4 , 1   0 0 5 ,  




2   0 0 6 } 为下半 区 . 如果使 上半 区各点 在计 算 过程 

中两次均取“ 一” 号, 下半 区各点两 次均取 “ +” 号, 于  是, 有  S ≤ 2 ( 1   0 0 4 + 1   0 0 5 + …+ 2   0 0 6 ) 一 2 ( 1 + 2 + …+1   0 0 3 )  


又△  
2 A C一   Ac  

∽ △  c, 有  D E=   B D   即 



2× 1   0 0 3 2

. 

事实 上 , 只要每 次跳动 都是从 上半 区跳到下半 



 

一   Ac‘  

区, 或从 下半区跳到上半 区, 则上 半区各点将取 “ 一”   号, 下半区各点将取“+” 号( 显然 这样的跳动方 案有  很多 ) , 这一过 程所 跳过 的路径 长 度恰 为 2×l 0 0 3 2 .  


解得 B D:5
- - -

 ̄A C .  

故 A B+ 2 肋 : 4 5 A C+2 ×5

 ̄A C : 5 A C .  

所以 , 青 蛙 所能跳 过 的全部路 径 的最 大长度 是 2×  
1   0 0 B 2 .  

1 5 . 设青 蛙依 次 到达 的点 为  ,   , …,   瞄,  
X l :1 . 整个 过程跳过 的路 径的长度为 

( 李耀文

提供 )  

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2 O O 7年第 2 期 

( D ) 有且只有有限多个平方数 
5 . 若 口 、 b 、 C ∈N, 且 
2 9口 +3 0b+31 C=3 6 6.  

若 不 等 式 蚤<  恒 成 立 , 求 实 数。 的  
取值范围.   1 4 . 已知点 A( 口, b ) , 抛物 线 
C: Y   =2 p x ( 口 ≠O , b ≠O , 口 #2 p ) .  

则 口+b+C =(  
( A) 1 0   ( B ) 1 2  

) .  
( C ) l 4   ( D) l 6  

6 . 小明与小华做游戏 , 记分规则如下 : 开 
始每 人记 分牌 上都 是 1 分; 以后每 赢一 次 , 就 

过点 A作直线 z , 交抛物线 c于点 P 、 Q.  
如果 以线 段 P Q为 直径 的圆 过抛 物线 C 的顶  点, 求 直线 Z 的方程 .   1 5 . 已知 正方 体 A B C D—Al   Bl   Cl   Dl 的棱 

将 自己的记分牌上 的分 数乘 以 3 . 游戏结束  后, 小明的得分减去 小华 的得分恰 好 为 6 7 5   的正整数倍 . 则小 明至少 比小华多赢 (   )  
次.   ( A) 1 5   ( B ) 2 o   ( C ) 2 5 ( D) 3 0  

长为 1 , E 、 F分别是棱 A B 、 B C上 的动点 , 且 
A E=B F. 求直 线 A。 E与 C 。 F所 成 角 的最 小  值( 用反 三角 函数 表示 ) .  

二、 填 空题 ( 每小 题 9 分, 共5 4分 )  

7 . 不等式 (  一 2 )  ̄ /   一 2  一 3 ≥0的解 
集 是— — .  





试 

( 5 0 分) 已知四边形 A B C D是圆内接 

8 . 若直线 Y =   是曲线 Y=   一 3 x   +   的切线 , 则实数 P的值为 
9 . 已知 函数 

四边形 , 直线 A C、 肋 相 交 于点 P, 并且  =  
CB





设 E为 A c的 中点 . 求证 :   =   .   二、 ( 5 O分 ) 设 口 、 b 、 C为 正 数 , 记 d为 

f   3 x一 1   ≤1 ;  

) = 1 【   2   + 3  

,  
’ 

( 口一6 )   、 ( b —c ) 2( C 一口 )   中的最, J 、 数.   ( 1 ) 求证 : 存在 ( O <  <1 ) , 使得 
d ≤ ( 口  +b   +C   ) ;   ① 

若 函数 Y=g(  ) 的 图像 与 函数 Y=  
厂  (  +1 ) 的 图 像 关 于 直 线 Y=   对称 , 则 

g ( 1 1 ) 的值是— — .   1 0 . 四面体 A B C D中, A B=C D= 6 , A C=   A D=B C=B D= 5 . 则 内切球半 径 r 的值 是 


( 2 ) 求出使不等式①成立的最小正数  ,  
并 给予证 明 .  

三、 ( 5 o分 ) 已知 n个 四元集合 A   , A   ,  


A   , 每两个 有 且 只有一个 公共 元 , 并且 有 
C a  ( A 1   UA 2 U… UA   ) =n.  

1 1 . 已 知口 、   ∈ 【 o , 詈 】 . 则s i n ( 口 一   ) +  
2 s i n ( a+  ) 的最大值为— — .   1 2 . 集合 { 1   1 , 2   1 , …, 2 4   1 } 中删 除 一 个 元  素— — 后 , 余下 元素的乘积恰好 是完全平 
方数 .   三、 解 答题 ( 每 小题 2 o分 , 共6 0分 )  

试求  的最大值 . 这里 C a r d   A为集合 A   中元素的个数 .  

参 考 答 案 
第 一 试 




1 . C.  

1 3 . 已知函数 . 厂 (  ) =一 2 x + 4 , 令 
=  

只有 D=±1 时, 原不等式恒成立 .  
2 . C.  

) +  ) + … +   ) +   ? )  

(  ∈N+ ) .  

由 正 弦 定 理 得  ‘ _= 五 b    :  C  = 2 , 故以  

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中 等 数 学  s i I l   A 、 s i I 1 日、 s i n   C组 成 的 三角形 与△ A B C相似 , 其 
联立式① 、 ③ , 解 得 P=1 ;  

面 积 为 △佃 c 面 积 的 丢.  
3 . B.  

~  

联立式② 、 ③, 解得 p=   1 3






导 .  

9.   3
.  

由s i I  a=C 0 6 ( a—J l 9 )   =C 0 6   a。 C 0 6| l 9 +s i n   a   s i n| 9 l >s i n   a 。 s i n| l 9 ,   得 s i n   a>s i n| l 9 . 故 a>| l 9 .  

Y=厂 (  ) 的 图 像 向左 移 一 个 单 位 , 得 Y=  

厂  (  +1 ) 的图像 . Y =  

) 的 图像 与 Y = 厂  (  ) 的 

又 a = 号 时 ,   3 = 嘲 ( 号 一 | l 9 ) <  , 故 号一 | 9 l  
> 詈 , 即 l f < -  ̄ -   , 选 项 ( D ) 不 对 . 当a 接 近 号 时 ,   接  
近要 , 故选项( c ) 也不对.  
4 . D.  

图像关于直线 , , =   对称 , , , = 厂  (   +1 ) 的图像 与 
Y=g (  ) 的 图像 也关 于直线 Y=   对称, 所 以, Y=   ) 的图像 向下平移 一个单 位得 Y=g(  ) 的 图像 ,  
即g (  ) =   ) 一1 .  

所 以 , g ( 1 1 ) =   1 1 ) 一 1 = 需 一 1 = 导 .  
1 0 .

因a   =1 1  +t . 1 . +2 =, I ( 1 1 . +1 ) +2 , 故 2 I   a ^ , 且 

警.  
. 

>2 . 所 以,   一定是合数 . 从而排除选项 ( A) 、  
( B ) . 又 因当 n ≥2时 , n 2<n 2 +n+2 </ 1 , 2 +2 r I +1 =  

设 C D的 中点为 E. 在△ A B E中,  
AE:B E:、   r二   :4
EH :   :  。  

( n+1 )   , 故 只有 当 n=1 时, n 。 是完全平方数 .  
5. B.  

由2 9 a+3 0 b +3 1 c =3 6 6( n 、 b 、 c ∈N) , 得 
2 9 ( n+b+c ) ≤3 6 6 ≤3 1 ( n+b +c ) .   所 以, 1 1 <n+b +c <1 3 .  
6. B.  

所以, B E_  ̄ 体A B e D 的高 .  

h :  

=  

, 且 ^也是 四面 

又 四 面 体   的 四 个 面 相 等 , 故 r =   h = 警.  
1 1.   .  

设小 明赢 了 m次 , 小华赢 了 n次 . 由题设得 
3  一3   =6 7 5 k( k ∈N+ ) ,  
即 3   ( 3   一  一1 ) =3   ×5   ×| j } .  

因为 s i n ( a一| l 9 ) +2 s i n ( a+| 9 l )  
=3 s i n   a。 c 0 8   +c 0 8   a‘ s i n   ,  

故3 一 一1 是2 5 的倍数 . 则r a i n ( m—n ) = 2 0 .  
二、 7 . { 一1 } U[ 3 , +∞) .  
由   一2 x一3 =( x+1 ) (  一3 ) ≥O , 得 

由柯西不等式得  上式 ≤ 
:  

?  

丽而

≤   .  

≥3或  ≤ 一1 .  

≥3 满足不等式 .  

在   号,   = a  
取最大值  .  
1 2 . 1 2   1 .  

时 ,  

当  ≤ 一1 时, 只有  =一I 满足不等式 .  

s i n ( a一  ) +2 s i n ( a+  )  

8 . 1 或 孚 
设 切点为( r n , m) , 则 由切点在该 曲线上得 
m = m 一 3 m + 矾 .  

由( 2 k ) ! =( 2 k ) ( 2 k 一1 ) ! , 乘积可化为 
2 4 ×( 2 3   1 )   ×2 2×( 2 1   1 )  ×… × 4×( 3   1 )  × 2  


从而 , l r n满足 
m =0 ,   ① 

[ 2 5 ×( 2 3   1 ) × ( 2 1   1 ) × …× ( 3   1 ) ]   × ( 1 2   1 ) .  



I n 2 —3 m+P=1 .  

② 

故删 除元 素 1 2   1 .  

又切线 Y =x 的斜率为 1 , 在曲线上切 点处 的斜 
率亦为 1 , 故 
1=3 m2—6 m +P
. 

三 、 1 3 . 因  = 一 2 ( 1  ?   n - 1 + 1 ) + 4 n =  

③ 

3 n - l , 由 妥 <   a a + l , 得  

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2 O O 7 年第 2 期 
n 

3 l  

(   一   ) < o .  
一  

①  
>o , 则O . n <o . 但 

在△ C 。 F G中 , 由余弦定理得 
c o s   。 G=  

显然 , 0 ≠O .  

务 
— — — — — — — — 一  

( 1 ) 当 n< o时 ,  

一 一





















 

2  ̄ / _   i .  
1  

j 

t l , 为偶 数时 , d  > O , 矛盾 . 所 以, d<0不合题意 .  
( 2 ) 当 d>0时 , 因为 d | I > 0 , 由式① ,  
n>   = ?+  

1 +   ?  ̄ / 1 + ( 1 一  )  
F C 。 G取得最小值就是. o 0 s  F C 。 G取得最大  值, 亦即 s (  ) =( 1 +   ) [ 1 +( 1 一  )   ] 取得最小值 .  
利用等式 

随 n增大 而减少 .  

当 n = 1 时 , 1 +   取 最 大 值 导 , 故 n >   5 .  
1 4 . 如果 直线 z 过原 点 , 显然满 足要 求 , 此时方 
程为 , , =   .  

( 1  +d 2 ) ( 1   +b   ) =( 1 一n 6 )   +( d+6 )   ,  

得s (   ) =[ 1 一  ( 1 一  ) ]   + [  + ( 1 一  ) ]  


( x 2 - x +   )   【 (   一 丢 )   + 寻 】  
? G_  
V ^ )、   ,  

如果直线 z 不过原点 , 设其方程 为 
=m( r一6 ) +d .  

所 以, 当  =   时, s (  ) 取得 最小值  .  
因此 , c 0 s  
LF C l   G:a 删

又设 P(  。 , y 1 ) 、 Q(  2 , y 2 ) , 则  D P 上0 Q 甘  l  2 +, , l   y 2 = 0 .  

=了 4 即 


一 

  4
.  

因为 y { = 2  l ,  = 2  2 , 所以, , , l   y 2 =一 4 p   .  

由 方 程 组 {  m ( , , 一   ) +  消 消 去   得  
厂 =2  ,  


, 故A 。 E 与C 。 F 所 成的 最小角 为a 删   4 , 此  
① 

2  

+2 p ( , , l 6 一d ) =0 .  

时,  、 ,分别 为棱 船 、 B C的 中点 .  
解法 2 : 前 面同上 , 得到 

由韦 达定理得 
, , l   y 2 =2 p ( , , l 6一d ) = 一4 p   .   所以 , m=   .  

s (  ) =( 1 +  ) [ 1 +( 1 一  )   ] .  
则  (  ) =2 x   +2 (  一1 )  

=2 ( 2 x一1 ) [   一X ( X一1 ) +(  一1 )   ]  
=2 ( 2 x一1 ) (   一   +1 ) .  

故所求方程为 
如 一( a一2 p ) , , 一2   =0 .   ②  由于 一 4 p   <O , 所 以, 一2 p ( d一6 r , 1 )<0 , 即方程 

令S , (   ) = 0 , 得 = 去.  
所以, 当  =   时, s (   ) 取最小值 .  
以下与解法 1 同.   .  

①的 常数项 为负 . 从而, 判 别式 大 于 0 , 方 程① 一定  有解 , , 。 、 y 2 . 故方 程② 符合题意 .  
1 5 . 解法 1 : 如 图 


.  


试 

1 , 延长 D c到点 G , 使 
得 C O ,= 他 ,联 结 



由托勒密定理得 



4 B? C D +A D? B C =A C? 1 1 0.  

C . G、 F G. 由题 意 知 ,  
I  

因仙 ? c D=A D? B C , 肛 =E C, 所 以,  
2 . 4 B? CD=2 A E? 1 1 1 ) =2 EC? B D。  

∥ C I   G , A l   E 到 

图 l  

c . F 所 成 的 角 等 于 
F C. G.  

. 4 B? C D=肛 ? B D = EC? B D.  

在△ C ∞ 与/ ' x 砌

中, 因为 

令 衄 =C G=  ( O ≤  ≤1 ) , 则有 

A B D=   EC D, A B? C D=E C? B D,  

C F=1 一  , c l   G = 厢

,  

所以 , / ' x   C ∞ ∽, I X脚

.  

C 。 F :  

, F G =  



  .  

从而 ,  C E D=   髓I z ) .  

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3 2  
同理 ,  A E B=   D C B.   则  A E B=   D C B=1 8 ( , o 一   B A D  
=1 8 ( , o 一   C E D=   A E D.  

中 等 数 学 

>   ( 。 2 + b   + c 2 ) + ( 了 1 一   ) n 2 一 n c .   所 以 , 只 要c < ( 了 1 一   ) n , 上 式 右 边 就 大 于  
( a 2 +b   +c   ) . 因此 , 必有  ≥  1.  

即E P平分  B E D.  

因此 , 由角平分线定理侍 两 B P=  
. 

二、 ( 1 ) 由 d的定义知  d ≤( 口一6 )   , d ≤( b—c )   , d ≤( c —o )   .  


综上所述, 可知满足式①的 最小正数 为÷.  
注: 仅给 出  =T 1 得 5 分.  

将这三个不等式相加得 
3 d ≤( 口一6 )  +( b—c )  +( c 一口 )   =2 ( a 2 +b   +C 2 ) 一2 o 3— 2 b c 一2 c a   <2 ( a 2 +b   +C 2 ) ,  

三、 考虑任一元 口 ∈A 。 UA   U… UA   .   如果 每个 A i 均含有 n, 则 由条件 知 , 各A  中的 

其他 元素都不相同 . 故 
C a  ( A l   UA 2   U… U   A   ) =3 n+1 >n ,  



d≤   ( a 2 +b  +c 2 ) .  

与 已知条件相违 .  
因此 , 必有一个 A   不含 口 .  

故可取 = 每.  
( 2 ) 不妨设 口 ≥b ≥c .  

不妨设 n   A . . 若 含 。的集 合 大 于 或等 于 5   个, 那么 , 由已知条 件得知 A 。 与这 5 个 集合 各有 一  个公共元 ( 此元 当然 不等 于 n ) , 而且 这 5个 元互 不  相同( 若相 同, 则这个公 共元 是 2 个 含 n的集合的公  共元 , 于是 , 这两个集 合就有 2个公 共元 , 又与 已知 
条件相违) , 从而 , C a r d   A , ≥5 , 矛盾 . 所以, 含 口的集 

若6 ≤  

, 则a  ̄2 > b—c >o , 且 d=( b —c )   .  

故5 d一( 口   +b   +C 2 )  


5 ( b —c )   一( a 2 +b   +C 2 )  

≤5 ( b —c )   一( 2 b —c )   一6   一C 2  
: 一

66 c+3 c 2 ≤O
.  

合小于或等于 4 个.  
另一方面 , 因为 
C a r d   Al+C a r d   A 2+ … +C a r d   A  =4n,  

所 以,   ≤ ÷.  
若 b>   , 则a  ̄2 < b , 且 d=( 口 一6 )   .  

所以, 每个元恰好属于 4 个集 合 .   不妨设含有元 6的集 合 为 A 。 、 A   、 A , 、 A . . 由上 
述的结论 可知  C a I d ( A l UA 2 UA 3 UA ‘ ) =3 ×4 +1 =1 3 .  

故5 d 一( a 2 +b   +c   )   =5 ( 口一6 )   一( a 2 +b   +C 2 )  
:4 a 2 一l O a b+ 4 6  一c 2  


如果 n>1 3 , 那么, 存在元 c   A 。 U   A : UA , U   A . . 设含 c的 集合 为 A 5 , 则 A 5不是 A I 、 A 2 、 A 3 、 A . .  
因而 , 不含 b . 而 A ,与 A 。 、 A : 、 A , 、 A .各有一个公 共 

2 ( 口一2 b ) ( 2 a—b ) 一c 2 ≤O .  

此 时 也 有  ≤ ÷.  

为 证 明   ≥ ÷ , 取 6 = 字, 则 d = ( 旦   )   .  
此时。 有 
。  + C2

元( 当然不 是 b ) , 这 4个 公 共元 互 不相 同 ( 理 由 同  上) , 又都不是 c , 从而 , C a r d   A , ≥5 , 矛盾 .  
因此 , n ≤1 3 .  

- a 2 + C 2 + ( 字)  
_

≤1 3是可能 的. 例如 , 不难验 证 , 如下的 l 3个 



( n — c )   + (   )   + 3 a c = 5 d + 3 a c .  

集合符 合要求 .  
{ 0 , l , 2 , 3 l , { 0 , 4 , 5 , 6 l , { 0 , 7 , 8 , 9 l , { 0 , 1 0 , 1 1 , 1 2 ; ,  

由 此 可 见, 对于 任意 正 数  < ÷, 有  

{ 1 0 , 1 , 4 , 7 l , { 1 0 , 2 , 5 , 8 l , { 1 O , 3 , 6 , 9 l , { l l , 1 , 5 , 9 } ,   { l l , 2 , 6 , 7 l , l l 1 , 3 , 4 , 8 l , { 1 2 , 1 , 6 , 8 l , { 1 2 , 2 , 4 , 9 l ,  
f l 2 , 3 , 5 , 7 1 .  
故 r t 的最大值为 1 3 .   ( 王肇 西 提供 )  

d = 了 1 ( n 2 + 6 。 + c 。 ) 一 号 n c   = A ( n 2 + 6 2 + c 2 ) + ( ÷ 一   ) ( n 2 + 6 2   4 . C 2 ) 一 号 o c  


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