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成都市2014届高中毕业班第二次诊断性检测模拟理科数学


成都市 2014 届高中毕业班第二次诊断性检测模拟 数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3 至4页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。 满分150分。考试时间120分钟,考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必

须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题 本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
, 1.已知集合 M ? ??11 ? , N ? ?x , A. ??11 ?
2.设复数 z 满足 A. ?2 ? i B. ??1?

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? ( ? 2 ?
C. ?0?



0? D. ??1,

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( ) z B. ?2 ? i C. 2 ? i
? ?

D. 2 ? i
? ? 1 ? 则? ? ( CA? ? CB , 3

3. 在 △ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 AD ? 2 DB , CD ? A. ?



2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

D.

2 3


4.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为( | a | ?2 | b |
D.

A.

2 4

B.

2 5 15
3 2

C.

5 5

2 2

3 2

5.命题“对 ? x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
3 2

B. ? x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 D.对 ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

1

6. 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长与底面边长相等, 则 AB1 与侧面 ACC1 A1 所成角的 正弦值等于( A. )

3 2

B.

10 4

C.

2 2

D.

6 4

7.阅读右边的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的 值依次是( ) A.2500,2500 B.2550,2550 C.2500,2550 D.2550,2500`
S

开始 输入 n

? 0,T ? 0
n ? 22

s ? s ?n
n ? n ?1

? x ? 2 y ≤ 10, ? 2 x ? y ≥ 3, ? 8. 设 D 是 不 等式 组 ? 表 示的平 面 区域 ,则 D 中 的 点 0 ≤ x ≤ 4 , ? ? ? y ≥1

P( x,y ) 到直线 x ? y ? 10 距离的最大值是(
A.



输出 S,T 结束

8 3 3

B.

2
8 2 3

T ?T ?n

C. 4 2

D.

n ? n ?1

9.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何 体的体积是( )

4000 3 cm 3 8000 3 B. cm 3
A. C. 2000cm D. 4000cm
3

20

20 正视图

20 侧视图

3

10 10 20 俯视图

2

10.已知曲线 y ? A.3

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
B.2 C .1 D.



1 2

第Ⅱ卷(非选择题) 本卷共 11 题,共 100 分
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. (1 ? 2 x ) ? x ?
2

? ?

1? ? 的展开式中常数项为 x?

8

. (用数字作答)

12.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排 一个班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 13.若函数 f(x) =

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______.
2

14.设{ a n }为公比 q>1 的等比数列,若 a 2004 和 a 2005 是方程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的两根, 则 a 2006 ? a 2007 ? __________. 15.设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A ,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,
2

??? ? ??? ? ??? ?

则 FA ? FB ? FC ?

??? ?

??? ?

??? ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分)设 f (x) = 6 cos x ? 3 sin 2 x
2

(1)求 f(x)的最大值及最小正周期; (2)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值

4 5

3

17. (本小题满分 12 分) 某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金.对在 一年内发生此种事故的每辆汽车,单位获 9000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次) 。设 这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 , (1)求一年内该单位在此保险中获赔的概率; (2)获赔金额 ? 的分别列与期望。

1 1 1 , , 且各车是否发生事故相互独立, 9 10 11

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, 侧棱 SD ⊥底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值.

S

F

C D 19. (本小题满分 12 分) 设数列 ? an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

A

E

B

an ?

n * , a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

4

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 有两个不同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k , 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
? ?

x2 ? y2 ? 1 2

?

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x
2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

5

成都市 2014 届高中毕业班第二次诊断性检测理科数学模拟 参考答案
一、选择题 1.B 2.C 二、填空题 11. ?42 三、解答题 16、解: (Ⅰ) f ( x) ? 6 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A

12. 240

13.

0? ? ?1,

14.

18

15. 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? 2x ? ? ? 3 . ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2 x ? ? ? 3 ? 2 3 cos ? 6? ? ? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;最小正周期 T ? (Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

2? ? ?. 2

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? ?. 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3
17、解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1 , 2, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独 立,且 P( A1 ) ?

1 1 1 , P( A2 ) ? , P ( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11
P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )

1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45
P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
6

1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? . 9 10 11 990
综上知, ? 的分布列为

?
P
由 ? 的分布列得

0
8 11

9000
11 45

18000
3 110

27000
1 990

E? ? 0 ?

8 11 3 1 29900 . ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? ? ≈ 2718.18 (元) 11 45 110 990 11
S

18. (1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 设 A(a, 0,, 0) S (0, 0,b) ,则 B(a,a,, 0) C (0,a,, 0)

? ? b? ? a ? ? a b ? ??? E ? a, , 0 ?,F ? 0, , ? , EF ? ? ?a, 0, ? . 2? ? 2 ? ? 2 2? ?
取 SD 的中点 G ? 0, 0, ? ,则 AG ? ? ?a, 0, ? .

F G H D A E B

? ?

b? 2?

????

? ?

b? 2?

M

C

??? ? ???? EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD ,
所以 EF ∥平面 SAD .

(2)不妨设 A(1 , ,, 0) C (0, 1,, 0) S (0, 0,, 2) E ?1, , 0 ?,F ? 0, , 1? . , 0, 0) ,则 B(11

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 ? 2 ?

? ? 1 1 1 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 1 1 ? ???? MD ? ? ? , ? , ? ?, EF ? (?1, 0,, 1) MD?EF ? 0,MD ⊥ EF EF 中点 M ? , , ?, ?2 2 2? ? 2 2 2?
又 EA ? ? 0, ? , 0 ? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , 所 以 向 量 MD 和 EA 的 夹 角 等 于 二 面 角

??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ? ??? ?
??? ?

???? ?

A ? EF ? D 的 平 面

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? MD?EA 3 角. cos ? MD, . EA ?? ???? ? ??? ? ? 3 MD ?EA

7

n , ① 3 n ?1 . ② ?当 n ≥ 2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?2 an ?1 ? 3 1 1 ①-②得 3n ?1 an ? , an ? n . 3 3 1 1 在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? .? an ? n . 3 3
19、解: (Ⅰ)? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (Ⅱ)? bn ?

n n ,? bn ? n3 . an
③ ④

? Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? … ? n3n , ? 3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? … ? n3n?1 .
④-③得

? 2Sn ? n3n ?1 ? (3 ? 32 ? 33 ? … ? 3n ) .
即 2Sn ? n3
n ?1

3(1 ? 3n ) (2n ? 1)3n ?1 3 ,? Sn ? ? ? . 1? 3 4 4

20 、 解 : ( Ⅰ ) 由 已 知 条 件 , 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? 2 , 代 入 椭 圆 方 程 得

x2 ?1 ? ? (kx ? 2)2 ? 1 .整理得 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 2 ?2 ?
直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ?
2



?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? ? , ? ∞ 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ? ? ? ? ? ?. 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? ??? ? ???? (Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 .



0) B(0,, 1) AB ? (? 2, 1) . 而 A( 2,,
所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) ,

??? ?

??? ? ????

??? ?

8

将②③代入上式,解得 k ?

2 2 2 .由(Ⅰ)知 k ? ? 或k ? ,故没有符合题意的常数 2 2 2

k.
21、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . x?a 2

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) . ? 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? ? ∞ ? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; f ( x) 的定义域为 ? ? , 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ?

从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? ?

1? ? 单调减少. 2?

2 x 2 ? 2ax ? 1 (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (?a, . ? ∞) , f ?( x) ? x?a
方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 .
2 2

(ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .

? ∞) , f ?( x) ? 若 a ? 2 , x ? (? 2,

( 2 x ? 1) 2 . x? 2

当x??

2 时, f ?( x) ? 0 , 2
? 2? ? 2 ? ? , ? ∞ ? ? ? ? ? 时, 2 ? ? ? 2 ?

? 当 x ? ? ? 2,

? ? ?

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值.
? ∞) , f ?( x) ? 若 a ? ? 2 , x ? ( 2,

( 2 x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
2

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ? 2 ,则 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

9

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 x1 ? , x2 ? . 2 2
当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x) 有 f ( x) 的定义域内没有零点, 故 f ( x) 无极值. 当 a ? 2 时, x1 ? ? a , x2 ? ? a , f ?( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点, 由极值判别方法知 f ( x) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ? ∞) .

f ( x) 的极值之和为

1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2

10


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