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高二人教B版数学选修1-1阶段性测试3 第二章 基本知能检测]


阶段性测试题三(第二章基本知能检测) 时间 120 分钟,满分 150 分。
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) x2 y2 1 1.设椭圆 2+ 2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 ,则 m n 2 此椭圆的方程为( x y A.

+ =1 12 16 x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 C. + =1 48 64 x2 y2 D. + =1 64 48 [答案] B [解析] ∵抛物线焦点为(2,0),∴ m2-n2=2,又 m2-n2 1 = ,∴m=4,n=12. m 2 )
2 2

)

x2 y2 2.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 x2 y2 A. + =1 16 12 x2 y2 B. + =1 12 16 x2 y2 C. + =1 16 4 x2 y2 D. + =1 4 16 [答案] D x2 y2 y2 x2 [解析] 双曲线 - =-1,可化为: - =1, 4 12 12 4 焦点为(0,± 4),顶点为(0,± 2 3), y2 x2 ∴椭圆方程为: + =1. 16 4

3.已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),点 P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最 小值为( A.16 B.6 C.12 D.9 [答案] D [解析] 如图, 过点 A 作准线的垂线,B 为垂足,与抛物线交于一点 P,则 点 P 为所求的点,|PA|+|PF|的最小值为|AB|的长度. 1 4.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0),且 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨 2 迹是( ) )

A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 [答案] D [解析] 依题意知|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,作图可知点 P 的轨迹为线段,故选 D. a 5.椭圆 a2x2- y2=1 的一个焦点是(-2,0),则 a 等于( 2 1- 3 A. 4 1- 5 B. 4 -1± 3 C. 4 -1± 5 D. 4 [答案] B a x2 y2 [解析] 椭圆 a2x2- y2=1 可化为 + =1, 2 1 2 - 2 a a ∴a<0,排除 C、D. 1- 5 1 2 当 a= 时, 2=6+2 5,- =2( 5+1), 4 a a ∴6+2 5-2 5-2=4,∴一个焦点是(-2,0). )

x2 y2 x2 y2 6.(2009· 厦门模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和抛物线 y2 a b a b =2px(p>0)的离心率分别是 e1,e2,e3,则( A.e1e2>e3 B.e1e2=e3 C.e1e2<e3 D.e1e2≥e3 [答案] C [解析] e1e2= a2-b2 a2+b2 a4-b4 · = = a a a2 b 1-( )4<1=e3. a ) )

7.在抛物线 y2=8x 中,以(1,-1)为中点的弦的方程是( A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0 [答案] C

[解析] 设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2),
2 则 y2 1=8x1,y2=8x2,

两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2), y1-y2 又 y1+y2=-2,∴ =-4, x1-x2 ∴弦所在直线的斜率为-4, 又过点(1,-1),∴所求直线方程为 4x+y-3=0. x2 y2 y2 x2 8. 2- 2=1 与 2- 2=1(a>b>0)的渐近线( a b b a A.重合 B.不重合,但关于 x 轴对称 C.不重合,但关于 y 轴对称 D.不重合,但关于直线 y=x 对称 [答案] A 9. 动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过定点( A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) ) )

[答案] B [解析] ∵直线 x+2=0 恰好为抛物线 y2=8x 的准线,由抛物线定义知,动圆必过抛物 线焦点(2,0). → 10.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA与 x → 轴正向的夹角为 60° ,则OA为( 21 A. P 4 B. C. 21 P 2 13 P 6 )

13 D. P 36 [答案] B P [解析] 根据题意得 A 点为直线 y= 3(x- )与抛物线 y2=2px 的两个交点中横坐标较 2 1 3 3 → 大的那个, 联立方程组求出 x1= P, x2= P, 所以 A( P, 3P), 则|OA | = 6 2 2 P,故选 B. 11. 圆心在抛物线 y2=2x 上, 且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( 1 A.x2+y2-x-2y- =0 4 B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 1 D.x2+y2-x-2y+ =0 4 [答案] D 1 [解析] 抛物线 y2=2x 的准线为 x=- ,设圆心为(a,b),则有 b2=2a,因为圆与 x 轴 2 1 1 及抛物线准线都相切,故|b|=a+ ,两式联立解得 a= ,b=± 1,此时圆半径 r=|b|=1. 2 2 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直 线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 [答案] D ) ) 9 2 21 P +3P2= 4 2

[解析] ∵点 P 到直线 C1D1 的距离等于它到定点 C1 的距离, ∴动点 P 到直线 BC 的距离等于它到定点 C1 的距离. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为________. [答案] 1 2

[解析] ∵AB=2c=4,∴c=2. 又 AC+CB=5+3=8=2a,∴a=4. c 1 即椭圆的离心率为 = . a 2 14.设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒 数,则该椭圆的方程是________. x2 2 [答案] +y =1 2 [解析] ∵双曲线 2x2-2y2=1 的离心率为 2, ∴所求椭圆的离心率为 2 ,又焦点为(± 1,0), 2

x2 ∴所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 15.抛物线形拱桥的跨度是 20 米,拱高是 4 米,每隔 4 米用一支柱支撑,其中最长支 柱的长是________. [答案] 3.84 米 [解析] 如图,建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线方程为:x2=-2py(p>0) 点 A(10,-4)在抛物线上, 25 ∴100=8p,p= ,∴x2=-25y, 2 其中最长一根长柱与抛物线的交点为 B(x0,y0), 4 由题意知 x0=2,∴y0=- , 25 4 96 ∴最长的支柱长为 4- = =3.84(米). 25 25

16.以下四个关于圆锥曲线的命题: → → ①设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,|PA|-|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; → 1 → → ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若OP= (OA+OB),则动点 P 2 的轨迹为椭圆; ③方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; x2 y2 x2 ④双曲线 - =1 与椭圆 +y2=1 有相同的焦点. 25 9 35 其中正确命题的序号是________. [答案] ③④ [解析] 双曲线的定义是:平面上与两个定点 A,B 的距离的差的绝对值为常数 2a,且 0<2a<|AB|,那么点 P 的轨迹为双曲线,故①错; → 1 → → 由OP= (OA+OB)得点 P 为弦 AB 的中点,其轨迹为圆,故②错; 2 5 设 2x2-5x+2=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系,得 x1+x2= ,x1x2=1,由此 2 可知两根互为倒数,且均为正,故③正确; x2 y2 x2 - =1 的焦点坐标为(± 34,0), +y2=1 的焦点坐标为(± 34,0),故④正确. 25 9 35 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x 17.(本题满分 12 分)求以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的 2 双曲线方程. x2 y2 [解析] 椭圆 3x2+13y2=39 可化为 + =1, 13 3 其焦点坐标为(± 10,0), ∴所求双曲线的焦点为(± 10,0), x2 y2 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0) a b 1 ∵双曲线的渐近线为 y=± x, 2
2 2 2 b 1 b2 a -c a -10 1 ∴ = ,∴ 2= 2 = 2 = , a 2 a a a 4

40 10 ∴a2= ,b2= , 3 3 3x2 3y2 即所求的双曲线方程为: + =1. 40 10 x2 y2 y2 18.(本题满分 12 分)若已知椭圆 + =1 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆 10 m b

与双曲线交于点 P?

10 ? ,y ,求椭圆及双曲线的方程. 3 ? ?

[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10-m=1+b,即 m=9-b,① 由点 P? 10 ? 在椭圆、双曲线上,得 ? 3 ,y?

8 y2= m,② 9 b y2= ,③ 9 解由①、②、③组成的方程组得 m=1,b=8, x2 y2 ∴椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1. 10 8 19.(本题满分 12 分)已知抛物线方程为 y2=2x, 2 (1)设点 A 的坐标为( ,0),求抛物线上距点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|; 3 (2)设点 A 的坐标为(a,0)(a∈R), 求抛物线上的点到点 A 距离的最小值 d, 并写出 d=f(a) 的函数表达式. [解析] (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x,y), 2 2 则|PA|2=(x- )2+y2=(x- )2+2x 3 3 1 1 =(x+ )2+ , 3 3 2 ∵x≥0,且在此区间上单调递增,故当 x=0 时,|PA|min= ,故距 A 最近的点的坐标为 3 (0,0). (2)由(1)知|PA|2=[x-(a-1)]2+(2a-1), 当 a-1≥0 时, 即 a≥1 时, 此时当 x=a-1 时, dmin= 2a-1; 当 a-1<0 时,即 a<1 时,此时当 x=0 时,dmin=|a|.
? 2a-1 ? 综上,d=? ? ?|a|

(a≥1) (a<1)

.

20.(本题满分 12 分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的 圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是 24 cm,灯深 10 cm, 那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少? [解析] 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴,抛物线的顶点为坐标原 点,建立直角坐标系 xOy,如右图所示.因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点 A 的坐标是(10,12).

设抛物线的方程是 y2=2px(p>0). 由点 A(10,12)在抛物线上,得 122=2p×10, ∴p=7.2. 抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6 cm. x2 y2 21.(本题满分 12 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,其准线过双曲线 2- 2 a b 3 ? =1(a>0,b>0)的一个焦点;又抛物线与双曲线的一个交点为 M? ?2,- 6?,求抛物线和双曲 线的方程. x2 y2 [解析] ∵抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个 a b 3 2 ? 交点为 M? ?2,- 6?,∴设抛物线方程为 y =2px(p>0), 将点 M 坐标代入得 p=2, ∴y2=4x,其准线为 x=-1, ∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 3 3 2 1 2 ? ∴双曲线的焦点为(± 1,0)且点 M? ?2,- 6?在双曲线上,∴a =4,b =4, 4y2 则双曲线的方程为 4x2- =1. 3 x2 y2 22.(本题满分 14 分)如图,点 A 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴位于 x 轴下方的端 a b 点, 过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于 B 点, P 点在 y 轴上, 且 BP∥x → → 轴,AB· AP=9. (1)若 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程; (2)若 P 的坐标为(0,t),求 t 的取值范围. → → [解析] (1)A(0,-b),l 的方程为 y+b=x,P(0,1),则 B(1+b,1),AB=(1+b,1+b),AP =(0,b+1), → → 又∵AB· AP=9, ∴(1+b,1+b)· (0,b+1)=9, 即(b+1)2=9,∴b=2,∴点 B(3,1)在椭圆上, 9 1 ∴ 2+ =1,∴a2=12, a 4 x2 y2 所求的椭圆方程为 + =1. 12 4 (2)P(0,t),A(0,-b),B(t+b,t),

→ → → → AB=(t+b,t+b),AP=(0,t+b),AB· AP=9, ∴(t+b)2=9,∴b=3-t,B(3,t),
2 9 t2 2 3(t-3) 代入椭圆 2+ , 2=1,∴a = a (3-t) 3-2t

3(t-3) 3 2 2 2 ∵a >b ,∴ >(3-t) ,∴0<t< . 3-2t 2

2


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