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不等式的证明


§14 不等式的证明
不等式在数学中占有重要地位, 由于其证明的困难性和方法的多样性, 而成为竞赛和高 考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归, 而变形的依据 是不等式的性质,不等式的性分类罗列如下: 不等式的性质: a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0. 这是不等式的定义,也是比较 法的依据.

对一个不等式进行变形的性质: (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法保序性) (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc. (4) a ? b ? 0 ? a ? b , n a ? n b (n ? N *).
n n

对两个以上不等式进行运算的性质. (1) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性).这是放缩法的依据. (2) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (3) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (4) a ? b ? 0, d ? c ? 0, ? 含绝对值不等式的性质: (1) | x |? a(a ? 0) ? x ? a ? ?a ? x ? a.
2 2

a b ? , ad ? bc. c d

(2) | x |? a(a ? 0) ? x ? a ? x ? a或x ? ?a.
2 2

(3) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (三角不等式). (4) | a1 ? a 2 ? ? ? a n |?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | . 证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造 函数方法等.当然在证题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法; 后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往 用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证 明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.

例题讲解

1. a, b, c ? 0, 求证: ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc.

2. a, b, c ? 0 ,求证: a a b b c c ? (abc)

a ?b ? c 3

.

3.: a, b, c ? R ? , 求证a ? b ? c ?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

4.设 a1 , a 2 , ?, a n ? N ,且各不相同,
*

求证: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

1 a a3 a ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . . 2 n 2 3 n2

5.利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.

6.已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a 4 ? b 4 ?

1 . 8

7.利用排序不等式证明 G n ? An

8.证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

1 n 1 n?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

1

9.n 为正整数,证明: n[(1 ? n) n ? 1] ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n ?1 . 2 3 n

?1

课后练习
1.选择题 (1)方程 x -y =105 的正整数解有( (A)一组 (B)二组 (C)三组
2 2

). (D)四组 ).

(2)在 0,1,2,?,50 这 51 个整数中,能同时被 2,3,4 整除的有( (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 2.填空题 (1)的个位数分别为_________及_________.
4 5 4

(2)满足不 ________.

等式 10 ?A?10 的整数 A 的个数是 x×10 +1,则 x 的值

(3)已知整数 y 被 7 除余数为 5,那么 y 被 7 除时余数为________. (4)求出任何一组满足方程 x -51y =1 的自然数解 x 和 y_________. 3.求三个正整数 x、y、z 满足
2 2

3

. 4.在数列 4,8,17,77,97,106,125,238 中相邻若干个数之和是 3 的倍数,而 不是 9 的倍数的数组共有多少组?

5.求

的整数解.

6.求证

可被 37 整除.

7.求满足条件

的整数 x,y 的所有可能的值.

8.已知直角三角形的两直角边长分别为 l 厘米、m 厘米,斜边长为 n 厘米,且 l,m, n 均为正整数,l 为质数.证明:2(l+m+n)是完全平方数.

9.如果 p、q、



都是整数,并且 p>1,q>1,试求 p+q 的值.

课后练习答案
1.D.C. 2.(1)9 及 1. (2)9. (3)4. (4)原方程可变形为 x =(7y+1) +2y(y-7),令 y=7 可得 x=50.
2 2

3.不妨设 x?y?z,则

,故 x?3.又有

故 x?2.若 x=2,则

,

故 y?6.又有

,故 y?4.若 y=4,则 z=20.若 y=5,则 z=10.若 y=6,则 z 无整数

解.若 x=3,类似可以确定 3?y?4,y=3 或 4,z 都不能是整数. 4.可仿例 2 解. 5. 分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法. ..
略解: a ? b ? 2ab,同理b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
2 2 2 3 2 2

评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x 2 ? ? ? ? n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上 x 2 x3 x1

x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 .

再如证 (a ? 1)(b ? 1)( a ? c) (b ? c) ? 256 a b c (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不
3 3 2 2 3

等式. (2)基本不等式有各种变式 如(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次 2 2

数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1.

6.8888≡8(mod37),∴8888
3333

2222

≡8 (mod37).
2222

2

7777≡7(mod37),7777 ≡7 (mod37),8888 2 3 8 +7 =407,37|407,∴37|N.
2 2

3

+7777

3333

≡(8 +7 )(mod37),而

2

3

7.简解:原方程变形为 3x -(3y+7)x+3y -7y=0 由关于 x 的二次方程有解的条件△?0 及 y 为整数可得 0?y?5,即 y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组 解(4,5)、(5,4). 8.∵l +m =n ,∴l =(n+m)(n-m).∵l 为质数,且 n+m>n-m>0,∴n+m=l ,n-m=1.于是 2 2 2 2 l =n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l -1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l +2l+1=(l+1) .即 2(l+m+1)是 完全平方数.
2 2 2 2 2

9.易知 p≠q,不妨设 p>q.令 (4-mn)p=m+2,解此方程可得 p、q 之值.

=n,则 m>n 由此可得不定方程

例题答案:
1. 证明:?

ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc
? a (b 2 ? c 2 ? 2bc) ? b(a 2 ? c 2 ? 2ac) ? c(a 2 ? b 2 ? 2ab) ? a (b ? c) 2 ? b(c ? a ) 2 ? c(a ? b) 2 ?0

? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6a b .c
评述: (1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变) ,在因式分解 或配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 时,可将 a ? b
2 2 2 2 2

1 ? (ab ? bc ? ca) 配方为 [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ,亦可利用 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2
b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式

获证.
2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 不等式关于 a, b, c 对称,不妨 a ? b ? c,则a ? b, b ? c, a ? c ? R ,且
?

a b , , b c

a 都大于等于 1. c
a abbcc (abc)
a ?b ? c 3

?a

2 a ?b ? c 3

b

2b ? a ?c 3

c

2 c ? a ?b 3

?a

a ?b 3

?a

a ?c 3

?b

b?a 3

?b

b ?c 3

?c

c?a 3

?c

c ?b 3

a ?( ) b

a ?b 3

b ?( ) c

b ?c 3

a ?( ) c

a ?c 3

? 1.

评述: (1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. ( 2 ) 本 题 可 作 如 下 推 广 : 若 ai ? 0(i ? 1,2, ?, n), 则a1 1 a 2 2 ? a n
a a an

?

(a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.
a b b a

(3)本题还可用其他方法得证。因 a b ? a b ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c , 另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.
a b c a b c

(4)设 a ? b ? c ? 0, 则 lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类似例 4 可证 a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地 有排序不等式(排序原理) : 设有两个有序数组 a1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b2 ? ? ? bn , a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn(顺 则 序和)

? a1b j1 ? a 2 b j2 ? ? ? a n b jn (乱序和)

? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其 中 j1 , j 2 ,?, j n 是1,2,?, n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 ? a 2 ? ? ? a n 或

b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立.
排序不等式应用较为广泛(其证明略) ,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数 组 的 积 的 形 式 . 如

a, b, c ? R ?时, a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c
? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a; a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? b c a b c a a b c

. 3.思路分析:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.

1 1 1 1 1 1 ? ? ,则 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (乱序和) c b a c a b 1 1 1 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? ( 逆 序 和 ), 同 理 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? ( 乱 序 和 ) a b c c a b 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数 a b c 1 1 1 3 3 3 组a ? b ? c 及 ,仿上可证第二个不等式. ? ? bc ac ab
不妨设 a ? b ? c, 则a ? b ? c ,
2 2 2

4.分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn 是a1 , a 2 , ?, a n 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

a b b a 2 a3 b ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .由于 b1 , b2 , ?bn 是互不相同的正整 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 数,故 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n
所以 a1 ? 评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a ? b ? a ? b ? b ? a,
2 2

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.

5.思路分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方 .. 法.

a 2 ? b 2 ? 2ab,同理b 2 ? c 3 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x 2 ? ? ? ? n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上 x 2 x3 x1

x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 .

再如证 (a ? 1)(b ? 1)( a ? c) (b ? c) ? 256 a b c (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不
3 3 2 2 3

等式. (2)基本不等式有各种变式 如(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次数及 2 2

系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6. 思路分析:不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数

1 ,如何也转化为 a 、 b 的 4 次 8

式呢. 要证 a ? b ?
4 4

1 1 , 即证 a 4 ? b 4 ? (a ? b) 4 . 8 8
3 3

评述: (1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x1 ? x 2 ? x3 ? 1, xi ? 0, 求证: x1 ? x2

1 1 1 3 3 x 求证: 1 x 2 ? x 2 x3 ? x3 ? . 右侧的 可理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) . 再如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , 3 3 3
2 + x3 x1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,当然本题另有简使证法.

3 8

(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a1 , a 2 ,? a n ) 调和平均 H n ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

几何平均 Gn ? 算术平均 An ?

n

a1 ?a 2 ? a n

a1 ?a 2 ? ? ? a n n
2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n 2

平方平均 Qn ?

这 四 个 平 均 值 有 以 下 关 系 : H n ? Gn ? An ? Qn , 其 中 等 号 当 且 仅 当

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时成立.
7. 证明: 令 bi ?

ai , (i ? 1,2,?, n) 则 b1b2 ?bn ? 1 ,故可取 x1 , x2 ,? xn ? 0 ,使得 Gn

b1 ?

x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn ?1 ? n ?1 , bn ? n 由排序不等式有: x2 x3 xn x1
b1 ? b2 ? ? ? bn
=

x x1 x 2 ? ? ? ? n (乱序和) x 2 x3 x1

? x1 ?
=n,

1 1 1 ? x 2 ? ? ? ? x n ? (逆序和) x1 x2 xn

?

a a ? a2 ? ? ? an a1 a 2 ? ? ? ? n ? n,即 1 ? Gn . Gn Gn Gn n

评述:对

1 1 1 , , ? , 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, G n ? An . a1 a 2 an
1 n 1 ) ? 1? ,故可设法使其左边转化为 n 个数的几何 n n ?1

8.

分析:原不等式等价于 n ?1 (1 ?

平均,而右边为其算术平均.
n ?1

1 1 1 1 1 n?2 1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n ?1 n n ? n ? n ?1 n ?1 ??? ??n ? ??? ??n ?
n个 n ?1

评述:(1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等 式形式相近.类似可证 (1 ?

1 n?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁.

9.证明:先证左边不等式

1 1 1 n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? (1 ? n) n ? 1 ? 2 3 n 1 1 1 1? ? ??? ? n 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 1 1 1 (1 ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 3 4 n ?1 2 ? ? ??? 2 3 n ? n 1? n ? (*) n
2?

1 n

1

1?

1 1 1 ? ??? 2 3 n n

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n ? n 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n n ? 1. n 2 3 n

? (*)式成立,故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n n ?1 2 3 n 1

?n

?

1 n ?1

?

n ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 2 3 n ? n ?1 1 ? 2 3 n n ?1 n n ?1

1 2 n ?1 ? ??? 1 2 3 n ? n ?1 ? n n ?1

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.

§15 不等式的应用
1.排序不等式(又称排序原理) 设有两个有序数组 a1 ? a 2 ? ? ? a n 及 b1 ? b2 ? ? ? bn . 则 a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn (同序和)

? a1b j1 ? a 2 b j 2 ? ? ? a n b jn (乱序和)

? a1bn ? a2 bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其 中 j1 , j 2 ,?, j n 是 1 , 2 , ? , n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 ? a 2 ? ? ? a n 或

b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号(对任一排列 j1 , j 2 ,?, j n )成立.
2.应用排序不等式可证明“平均不等式” : 设有 n 个正数 a1 , a 2 ,?, a n 的算术平均数和几何平均数分别是

An ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 和Gn ? n a1a 2 ? a n n

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到

Hn ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an



和平方平均(在统计学及误差分析中用到)

Qn ?

2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n n

* 这四个平均值有以下关系 H n ? Gn ? An ? Qn . ○

3.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设 a1 、 a 2 、 a 3 ,?, a n 是任意实数,则
2 2 2 2 (a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ) 2 ? (a12 ? a2 ? ? ? a n )(b12 ? b2 ? ? ? bn ).

等号当且仅当 bi ? kai (k 为常数, i ? 1,2,?, n) 时成立. 4.利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若 a1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b2 ? ? ? bn ,



a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn a1 ? a 2 ? ? ? a n b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? . n n n

例题讲解
1. a, b, c ? 0, 求证: ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc.

2. a, b, c ? 0 ,求证: a a b b c c ? (abc)

a ?b ? c 3

.

3.: a, b, c ? R ? , 求证a ? b ? c ?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

4.设 a1 , a 2 , ?, a n ? N ,且各不相同,
*

求证: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

1 a a3 a ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . . 2 n 2 3 n2

5.利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.

6.已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a ? b ?
4 4

1 . 8

7.利用排序不等式证明 G n ? An

8.证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

1 n 1 n?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

1 1 1 9.n 为正整数,证明: n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n ?1 . 2 3 n

1 n

?1

例题答案:
1. 证明:?

ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc
? a (b 2 ? c 2 ? 2bc) ? b(a 2 ? c 2 ? 2ac) ? c(a 2 ? b 2 ? 2ab) ? a (b ? c) 2 ? b(c ? a ) 2 ? c(a ? b) 2 ?0

? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6a b .c
评述: (1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变) ,在因式分解 或配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 时,可将 a ? b
2 2 2 2 2

1 ? (ab ? bc ? ca) 配方为 [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ,亦可利用 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2
b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式

获证.
2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法.

不等式关于 a, b, c 对称,不妨 a ? b ? c,则a ? b, b ? c, a ? c ? R ,且

?

a b , , b c

a 都大于等于 1. c
a abbcc (abc)
a ?b ? c 3

?a

2 a ?b ? c 3

b

2b ? a ?c 3

c

2 c ? a ?b 3

?a

a ?b 3

?a

a ?c 3

?b

b?a 3

?b

b ?c 3

?c

c?a 3

?c

c ?b 3

a ?( ) b

a ?b 3

b ?( ) c

b ?c 3

a ?( ) c

a ?c 3

? 1.

评述: (1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. ( 2 ) 本 题 可 作 如 下 推 广 : 若 ai ? 0(i ? 1,2, ?, n), 则a1 1 a 2 2 ? a n
a a an

?

(a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.
a b b a

(3)本题还可用其他方法得证。因 a b ? a b ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c , 另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.
a b c a b c

(4)设 a ? b ? c ? 0, 则 lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类似例 4 可证 a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地 有排序不等式(排序原理) : 设有两个有序数组 a1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b2 ? ? ? bn , a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn(顺 则 序和)

? a1b j1 ? a 2 b j2 ? ? ? a n b jn (乱序和)

? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其 中 j1 , j 2 ,?, j n 是1,2,?, n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 ? a 2 ? ? ? a n 或

b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立.
排序不等式应用较为广泛(其证明略) ,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数 组 的 积 的 形 式 . 如

a, b, c ? R ?时, a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c
? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a; a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? b c a b c a a b c

. 3.思路分析:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明. 不妨设 a ? b ? c, 则a ? b ? c ,
2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ,则 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (乱序和) c b a c a b

1 1 1 1 1 1 ? b 2 ? ? c 2 ? ( 逆 序 和 ), 同 理 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? ( 乱 序 和 ) a b c c a b 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数 a b c 1 1 1 组 a 3 ? b 3 ? c 3及 ,仿上可证第二个不等式. ? ? bc ac ab ? a2 ?
4.分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn 是a1 , a 2 , ?, a n 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

a b b a 2 a3 b ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .由于 b1 , b2 , ?bn 是互不相同的正整 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 数,故 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n
所以 a1 ? 评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a ? b ? a ? b ? b ? a,
2 2

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.

5.思路分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方 .. 法.

a 2 ? b 2 ? 2ab,同理b 2 ? c 3 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x 2 ? ? ? ? n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上 x 2 x3 x1

x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1 .

再如证 (a ? 1)(b ? 1)( a ? c) (b ? c) ? 256 a b c (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不
3 3 2 2 3

等式. (2)基本不等式有各种变式 如(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? 等.但其本质特征不等式两边的次数及 2 2

系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6. 思路分析:不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数

1 ,如何也转化为 a 、 b 的 4 次 8

式呢.

要证 a 4 ? b 4 ?

1 1 , 即证 a 4 ? b 4 ? (a ? b) 4 . 8 8
3 3

评述: (1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x1 ? x 2 ? x3 ? 1, xi ? 0, 求证: x1 ? x2

1 1 1 3 3 求证: 1 x 2 ? x 2 x3 x ? x3 ? . 右侧的 可理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) . 再如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , 3 3 3
+ x3 x1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ,当然本题另有简使证法. (2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a1 , a 2 ,? a n ) 调和平均 H n ?

3 8

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an
n

几何平均 Gn ? 算术平均 An ?

a1 ?a 2 ? a n

a1 ?a 2 ? ? ? a n n
2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n 2

平方平均 Qn ?

这 四 个 平 均 值 有 以 下 关 系 : H n ? Gn ? An ? Qn , 其 中 等 号 当 且 仅 当

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时成立.
7. 证明: 令 bi ?

ai , (i ? 1,2,?, n) 则 b1b2 ?bn ? 1 ,故可取 x1 , x2 ,? xn ? 0 ,使得 Gn

b1 ?

x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn ?1 ? n ?1 , bn ? n 由排序不等式有: x2 x3 xn x1
b1 ? b2 ? ? ? bn
=

x x1 x 2 ? ? ? ? n (乱序和) x 2 x3 x1

? x1 ?
=n,

1 1 1 ? x 2 ? ? ? ? x n ? (逆序和) x1 x2 xn

?

a a ? a2 ? ? ? an a1 a 2 ? ? ? ? n ? n,即 1 ? Gn . Gn Gn Gn n

评述:对

1 1 1 , , ? , 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, G n ? An . a1 a 2 an
1 n 1 ) ? 1? ,故可设法使其左边转化为 n 个数的几何 n n ?1

8.

分析:原不等式等价于 n ?1 (1 ?

平均,而右边为其算术平均.
n ?1

1 1 1 1 1 n?2 1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n ?1 n n ? n ? n ?1 n ?1 ??? ??n ? ??? ??n ?
n个 n ?1

评述:(1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等 式形式相近.类似可证 (1 ?

1 n?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁. 9.证明:先证左边不等式

1 1 1 ? ? ? ? ? (1 ? n) ? 1 ? 2 3 n 1 1 1 1? ? ??? ? n 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 1 1 1 (1 ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 3 4 n ?1 2 ? ? ??? 2 3 n ? n 1? n ? (*) n n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ?
2?

1 n

1 n

1?

1 1 1 ? ??? 2 3 n n

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n ? n 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n n ? 1. n 2 3 n

? (*)式成立,故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
? 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n n ?1 2 3 n 1

1?

?n

?

1 n ?1

?

n ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 1 2 3 n ? n ?1 ? 2 3 n n ?1 n n ?1

1 2 n ?1 ? ??? 1 n ? n ?1 ? 2 3 n n ?1

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.


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