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2015浙江省数学竞赛试题与答案


2015 年浙江省高中数学竞赛试卷
说明: (1)本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 20 题组成,即 8 道选择题、7 道填空题、 3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 18 题组成,即 8 道选择题、7 道填空题、3 道解答题。 (2)考试不允许携带计算机或计算器。 一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入

题干后的括号里, 多选、不选、错选均不得分,每题 6 人,共 48 分)
2 y 1、“a=2,b= 2 ”是“曲线 C: x 2 ? 2 ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点( 2 ,1)”的 2

a

b





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2、已知一个角大于 120° 的三角形的三边长分别为 m,m+1,m+2,则实数 m 的取值范围为( ) A.m>1 B.1<m< 3

2

C. 3 <m<3

2

D.m>3

3、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 BB1 的中点, 则二面角 M-CD1-A 的余弦值为 ( A.



3 6

B. 1

2

C.

3 3

D.

6 3


4、若实数 a,b 满足 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 a ? 2b 的最大值为 (

? ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?a ? 1

2a ? b

A.1

B. 5

4

C. 7

5

D.2

5、已知等腰直角△ PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ ABC 的三条边上,记△ PQR,△ABC 的面积 分别为 S△PQR,S△ABC,则 A. 1 B. 1

S?PQR 的最小值为 S?ABC
C. 1





2

3

4

D. 1

5
,n∈N*,若 a1+a2+…+a2015<1,则实数 x 等于 ( )

6、已知数列{an}的通项 an=

nx ( x ? 1)(2x ? 1)
C. ? 9

(nx ? 1)

A. ? 3

2

B. ? 5

12

40

D. ? 11

60

7、若过点 P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积 不可能 等于 ( ) ... A. 16

17

B. 36

5

C. 26

5

D. 196

53

8、 若集合 A={(m, n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=10 , m∈Z, n∈N*}, 则集合 A 的元素个数为 ( 2 2 A.4030 B.4032 C.2015 D.2016

2015



二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9~14 题每题 7 分,15 题 8 分, 共 50 分) 9、已知函数 f(x)满足 f(x+1)+f(1-x)=0,f(x+2)-f(2-x)=0,且 f( 2 )=1,则 f( 1000 )=

3

3

10、若数列{an}的前 n 项和 Sn=n3-n2,n∈ N*,则

2015 i ?1

1 = ? a ?8 i?2
i

11、已知 F 为抛物线 y2=5x 的焦点,点 A(3,1),M 是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时, 点 M 的坐标为 12、若 16sin
2

x

? 16cos x ? 10 ,则 cos4x=

2

13、 设函数 f(x)=min{x2-1, x+1, -x+1}, 其中 min{x, y, z}表示 x, y, z 中的最小者。 若 f(a+2)>f(a), 则实数 a 的取值范围为 14、已知向量 a,b 的夹角为 ? ,|a-b|=5,向量 c-a,c-b 的夹角为 2? ,|c-a|=2 3 ,则 a· c的

3

3

最大值为 15、设 a,b∈ Z,若对任意 x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,则 a=

,b=

.

三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 题每题 18 分,共 52 分) 16、设 a,b∈ R,函数 f(x)=ax2+b(x+1)-2.若对任意实数 b,方程 f(x)=x 有两个相异的实根, 求实数 a 的取值范围。

2 y 3 ,右焦点为圆 C : (x- 3 )2+y2=7 的圆心。 17、已知椭圆 C1: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2

2

a

b

2

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐 标。

?a ? a ? 1 n ? n ?1 bn 18、已知数列{an},{bn}满足 a1>0,b1>0, ? N*.证明:a50+b50>20 1 ,n∈ ?bn ?1 ? bn ? a n ?

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 19、已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+2 2an 2 ? 1 ,n∈ N*. (I)证明:{an}是正整数数列; (II)是否存在 m∈ N*,使得 2015|am,并说明理由。

20、设 k 为正整数,称数字 1~3k+1 的排列 x1,x2,…,x3k+1 为“N 型”的,如果这些数满足 (1)x1<x2<…<xk+1; (2)xk+1>xk+2>…>x2k+1; (3)x2k+1<x2k+2<…<x3k+1。 记 dk 为所有“N 型”排列的个数。 (I)求 d1,d2 的值; (II)证明:对任意正整数 k,dk 均为奇数。

2015 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,
多选、不选、错选均不得分,每题 6 分,共 48 分) 1.“a =2, b ?

2 ”是“曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点 a 2 b2

?

2,1 ”的( A ).

?

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A. 解答:当 a =2, b ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 经过 a 2 b2

?

2,1 ;当曲线 C:

?

x2 y 2 ? ? 1 经过点 a 2 b2

?

2,1

?

时,即有

2 1 ? ? 1 ,显然 a ? ?2,b ? ? 2 也满足上式。所以 “a =2 , b ? 2 ” 是 “ 曲线 C : a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 经过点 a 2 b2

?

2,1 ”的充分不必要条件。

?

2.已知一个角大于 120?的三角形的三边长分别为 m, m ? 1, m ? 2 ,则实数 m 的取值范围为( B ). A. m ? 1 答案:B. 解答:由题意可知:
A1

B. 1 ? m ?

3 2

C.

3 ?m?3 2

D. m ? 3
D1 B1 M C B C1

?m ? (m ? 1) ? m ? 2 3 解得1 ? m ? 。 ? 2 2 2 2 ?(m ? 2) ? m ? (m ? 1) ? m(m ? 1)
3. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 BB1 的中点, 则二面角 M-CD1-A 的余弦值为( C ). A.
A

D

第 3 题图

3 6

B.

1 2

C.

3 3

D.

6 3

答案:C. 解答:以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 所在的直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,则

1 D(0,0,0), A(1,0,0), C (0,1,0), D1 (0,0,1), M (1,1, ) ,且平面 ACD1 的法向量为 n1 ? (1,1,1) ,平 2

面 MCD1 法向量为 n2 ? (?1, 2, 2) 。因此 cos ? n1 , n2 ??

3 3 ,即二面角 M-CD1-A 的余弦值为 。 3 3

?a ? b ? 2 ? 0 a ? 2b ? 4.若实数 a , b 满足 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则 的最大值为 ( 2 a ? b ?a ? 1 ?
A. 1 答案:C. 解答:由 a , b 满足的条件知 1 ? B.

C

).

5 4

C.

7 5

D. 2

a ? 2b b ? 3 ,所以 ? 2? a 2a ? b

3 2? b a

?

7 1 3 ,当 ( a, b) ? ( , ) 取等号。 2 2 5

5. 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△PQR,△ABC 的面积 分别为 S△PQR,S△ABC,则

S?PQR S?ABC

的最小值为(

D

).

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

参考答案:D. 解答:如图 5-1 所示,

A

A

P H

R P B Q 图 5-1 C R 图 5-2 Q

B

C

( 1 ) 当 ?PQR 的 直 角 顶 点 在 ?ABC 的 斜 边 上 , 则 P, C , Q, R 四 点 共 圆 ,

. ?APR, ?BQR 中分别应用正弦 ?APR ? ?CQR ? 180 ? ?BQR, 所以 sin?APR ? sin? BQR在
定理得 的中点.

PR AR QR BR .又 ?A ? ?B ? 45 , 故 PR ? QR ,故 AR ? BR 即 R 为 AB ? , ? sin A sin APR sin B sin BQR

过 R 作 RH ? AC 于 H ,则 PR ? RH ? BC ,所以

1 2

S?PQR S?ABC

1 ( BC ) 2 S?PQR PR 1 2 ? ? ? , 此时 BC 2 BC 2 4 S?ABC
2

的最大值为

1 . 4
5-2 所 示 , 设

( 2 ) 当 ?PQR 的 直 角 顶 点 在 ?ABC 的 直 角 边 上 , 如 图

BC ? 1, CR ? x (0 ? x ? 1), ?BRQ ? ? (0 ? ? ?
在 Rt ?CPR 中, PR ?

?
2

) ,则 ?CPR ? 90 ? ?PRC ? ?BRQ ? ?.

CR x ? , sin ? sin ?

x 3 , ?RQB ? ? ? ?QRB ? ?B ? ? ? ? , sin ? 4 x PQ RB 1? x 由正弦定理, ? ? sin ? ? ? ? 3 sin B sin ?PQB sin sin( ? ? ? ) 4 4 x 1 1 1 x 2 1 1 2 ? ) ? ( )2 . ,因此 S?PQR ? PR ? ( sin ? cos ? ? 2sin ? 2 2 sin ? 2 cos ? ? 2sin ?
在 ?BRQ 中, BR ? 1 ? x, RQ ? PR ? 这样,

S?PQR S?ABC

?(

1 1 1 )2 ? ? ,当且仅当 ? ? arctan 2 取等号, 2 2 2 cos ? ? 2sin ? (1 ? 2 )(cos ? ? sin ? ) 5
1 5

此时

S?PQR S?ABC

的最小值为 .

6. 已知数列 ?an ? 的通项 an ? 数 x 等于( D ).

nx ( x ? 1)(2 x ? 1)
9 40

(nx ? 1)
11 60

, n ? N ,若 a 1 ?a2 ?
*

? a2015 ? 1 ,则实

3 A. ? 2
答案:D.

5 B. ? 12

C. ?

D. ?

an ?

(nx ? 1) ? 1 1 1 ? ? ( x ? 1)(2 x ? 1) (nx ? 1) ( x ? 1)(2 x ? 1) [( n ? 1) x ? 1] ( x ? 1)(2 x ? 1)

( nx ? 1)

2015



?a
k ?1

k

? 1?

1 ? 1 ? ( x ? 1)(2 x ? 1) ( x ? 1)(2 x ? 1) (2015x ? 1)
? (?

(2015x ? 1) ? 0 ,所以

1 1 1 x ? (?1, ? ) ? (? , ? ) ? 2 3 4

1 1 1 11 ,? ) ? (? , ??) ,经检验只有 x ? ? 符合题 2013 2014 2015 60

意。 7. 若过点 P(1,0) ,Q(2,0) ,R(4,0) ,S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形 的面积不可能 等于 ( C ). ... A.

16 17

B.

36 5

C.

26 5

D.

196 53

答案:C. 解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为 a ,面积为 S , 过 P 的直线的倾斜角为

? ? (0 ? ? ? ) 。
2
当 过 点

P, Q





线























线





PQ sin ? ? a ? RS cos ? ? sin ? ? 4cos ? ? sin ? ?
S ? ( PQ sin ? ) 2 ? 16 。 17

4 17

, 此 时 正 方 形 的 面 积

同理,当过点 P, R 的直线为正方形的对边所在的直线时, S ? 对边所在的直线时, S ?

36 ;当过点 P, S 的直线为正方形的 5

196 . 53

8.若集合 A ? ( m, n ) ( m ? 1) ? ( m ? 2) ? 个数为( A.4030 答案:B. 解答:由已知得 n(n ? 2m ? 1) ? 2
2016 2015

?

? (m ? n ) ? 102015 , m ? Z , n ? N * ? ,则集合 A 中的元素
D. 20162

B

). B.4032

C. 20152

5

,因为 n, n ? 2m ? 1 一奇一偶,所以 n, n ? 2m ? 1 两者之一

为偶数,即为 22016 ,220165,2201652 , 以集合 A 共有 4032 个元素.

,2201652015 共有 2016 种情况,交换顺序又得到 2016 种情形,所

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14 每题 7 分,15 题 8 分,共 50 分) 9 . 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x? 1 )? f ( 1 ?x ) ? , 0 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 0 , 且 f ( ) ? 1, 则

2 3

1000 f( )? 3
答案: ?1 .



解 答 : f( x ? 2 ) ? f ( ?2 x ?) f

? [ 1 x ?(

?1 ? )f ]

?x [ 1 ?

( ?f ?1 x)

? f (, x )所 ? 以f ( ? x4 )

(

1 0 0 0 4 f( ) ? f ( 3 ?3 2 ? f ) 3 3 3
10.若数列 {an } 的前 n 项和 Sn

4 ? (f ) ? 3

1 1 2 (? 1 f ? ) ? ( f? 1 ? ) 3 3
2015 i ?1

? (? )


1 .

? n 3 ? n 2 , n ? N * ,则 ?

1 = ai ? 8i ? 2

答案:

2015 . 6048

解答: an ?
2015 i ?1

? ai ? ? ai ? 3n2 ? 5n ? 2, 又 a1 ? 0 ,故 an ? 3n2 ? 5n ? 2(n ? N * ) ,
i ?1 i ?1
2015 i ?1

n

n ?1

? a ? 8i ? 2 ? ? 3i(i ? 1) ? 3 ? ( i ? i ? 1) ? 6048 .
i i ?1

1

1

1 2015 1

1

2015

11. 已知 F 为抛物线 y ? 5x 的焦点,点 A (3,1), M 是抛物线上的动点.当 | MA | ? | MF | 取最
2

小值时,点 M 的坐标为 答案: (



1 ,1) . 5

解答:设抛物线的准线为 l : x

5 ? ? .过 M 作 l 的垂线,垂足为 H , 则 4

1 AM ? MF ? AM ? MH ? AH ,当 A, M , H 三点共线时取等号,此时 M 的坐标为 ( ,1) 。 5
12.若 16 答案: ?
sin 2 x

? 16cos x ? 10 ,则 cos 4 x ?

2

.

1 . 2

解答:设 t ? 16 即

sin2 x

,1 ? t ? 16 ,则 16cos x ? 161?sin x ?
2 2

16 16 ? 10 ? t ? 2, 或 t ? 8 , ,代入方程得 t ? t t

sin 2 x ?

1 1 3 或 ,所以 cos 4 x ? ? 。 4 4 2
2

13. 设 函 数 f ( x)? m i n x {?

其 中 minx 1, x? ? 1,x ? , 1} { y , z , 表 } 示 x, y , z 中 的 最 小 者 . 若 .

f ( a ? 2 )? f (a,则实数 ) a 的取值范围为
答案: (??, ?2) ? (?1,0) . 解答:当 a ? 2 ? ?1 时, a ? a ? 2 ? ?1, 此时有 当 1 ? a ? 2 ? 0 时, ?3 ? a ? ?2, 此时有 当 0 ? a ? 2 ? 1 时, ?2 ? a ? ?1, 此时有 当 1 ? a ? 2 ? 2 时, ?1 ? a ? 0, 此时有 当 a ? 2 ? 2 时, a ? 0, 此时有 14. 已知向量 a , b 的夹角为

f (a) ? f (a ? 2) ;

f (a) ? f (?2) ? ?1 ? f (a ? 2) ; f (a) ? f (a ? 2) ;

f (a) ? f (a ? 2) ;

f (a) ? f (a ? 2) 。
2? , c ? a ? 2 3 ,则 3

?
3

, a ? b ? 5 ,向量 c ? a , c ? b 的夹角为

a ? c 的最大值为
答案:24.



解答: OA ? a, OB ? b, OC ? c ,则 AC ? c ? a ? 2 3, AB ? a ? b ? 5. 又

?AOB ?

?
3

, ?ACB ?

2? 3 4 , 此时 O, A, C, B 共圆, o s ?ABC ? 。 由正弦定理得 sin ?ABC ? , 则c 5 5 3
2 2

在 ?ACO 中 , ?A O C? ? A B ,C 由 余 弦 定 理 得 AC 2 ? a ? c ? 2 a c cos ?AOC , 即

12 ? 2 a c ?

8 ? 1 4 a c ? a c ? 30 ,所以 a ? c ? a c cos ?AOC ? 24 ,当 ?ACO ? ? arctan 时 5 4 2 3

取“=” ,因此 a ? c 的最大值为 24. 15.设 a, b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 (ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ,则 a ? ______ , b ? _______ .
2

答案: a

? 1, b ? ?2 .

解答: 首先令 x ? 0, 知 b ? 0 . 其次考虑过定点( 0,2 )的直线 y ? ax ? 2 ,与开口向上的抛物线

y ? x2 ? 2b ,满足对任意 x ? 0 所对应图象上的点不在 x 轴同侧,因此 ? ?2b ?
故a

2 .又 a, b ? Z , a

? 1, b ? ?2 .

三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 每题 18 分,共 52 分) 16. 设 a, b ? R ,函数 f ( x) ? ax ? b( x ? 1) ? 2 .若对任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 有两个相异的实
2

根,求实数 a 的取值范围. 参考答案: 因为方程 f ( x) ? x 有两个相异的实根,即方程 ax ? (b ?1) x ? b ? 2 ? 0 有两个相异的实数根,所以
2

?

a?0 , ? x ? (b ? 1)2 ? 4a (b ? 2) ? 0 ????????????4 分
a?0 ?b ? 2(1 ? 2a )b ? 8a ? 1 ? 0
2



对任意实数 b 恒成立,所以

?

a?0 ? b ? 4(1 ? 2a )2 ? 4(8a ? 1) ? 0 ,???????????????????12 分

解得 0 ? a ? 1 .????????????????????????????16 分

17.已知椭圆 C1 : 心.

3 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为圆 C2 : ( x ? 3) ? y ? 7 的圆 2 a b 2

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐标.

?c ? 3 ? a?2 参考答案: ( Ⅰ ) 设 椭 圆 C1 的 半 焦 距 长 为 c , 则 ? c 3 ,解得 b ? 1 ,所以椭圆方程为 ? ? 2 ?a

?

x2 ? y 2 ? 1.??????????????????????????????4 分 4
(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,显然不满足题意.当直线 l 的率存在时,可设直线 l 的方程为

y ? kx ? m( k, m ? R) ,点 A 的坐标为 ( xA , y A ) ,其中 y A ? ?
联立方程 ? ?

km ? 3 . 1? k2

? x2 ? y 2 ? 1 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ????(1) 4 ? ? y ? kx ? m

所以 ?1 ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0, 即 4k 2 ? m2 ? 1 ? 0 ?????(2)??????8 分 联立方程 ?

?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 7 ? 消去 y 得 ? ? y ? kx ? m

(1 ? k 2 ) x2 ? 2(km ? 3) x ? m2 ? 4 ? 0 ??????(3)
所以 ?2 ? 16(4k 2 ? m2 ? 2 3mk ? 7) ? 0, 即

4k 2 ? m2 ? 2 3mk ? 7 ? 0 ???????????(4)??????????12 分
(2)-(4)得 km ?

3 ???????????? (5)

(5)代入(3)得 x A ? ?
2

km ? 3 ? 0 ??????(6)??????????16 分 1? k2
2

(6)代入 C2 : ( x ? 3) ? y ? 7 得 y A ? ?2 . 经检验 A(0,2), 或 A(0, ?2) 符合题意,这样点 A 的坐标为 (0, 2), (0, ?2) .????18 分

1 ? a ? a ? , n ? 1 n ? ? bn , n ? N * .证明: a50 ? b50 ? 20 . 18.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 0, b1 ? 0, ? 1 ?bn ?1 ? bn ? an ? ?
参考答案:

证明:因为 an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn ?
2 2 2 2
49

a b 1 1 ? 2 ? 2( n ? n ) , 所以 2 an bn bn an

2 2 a50 ? b50 ? a12 ? b12 ? ? ( i ?1

49 a b 1 1 ? ) ? 2 ( i ? i) ? 2 2 ai bi ai i ?1 bi

? a12 ? b12 ?
又 an ?1bn ?1 ? anbn ?

1 1 ? ? 2 ? 2 ? 49 ? 4 ? 4 ? 49 ? 200. ????????8 分 a12 b12

1 ?2, anbn

所以 a50b50 ? a1b1 ?
2

? a b ? 2 ? 49 ? 98 ? a b ? a b
i ?1 1 1 i i

49

1

1

? 100 .????????16 分

1 1

所以 (a50 ? b50 ) ? a50 ? b50 ? 2a50b50 ? 200 ? 200 ? 400 .因此 a50 ? b50 ? 20 ??18 分
2 2

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 附加 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 , n ? N * .
2

(I) 证明: ?an ? 是正整数数列; (II) 是否存在 m ? N * ,使得 2015 am ,并说明理由. 参考答案: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 得
2

2 2 an ?1 ? 6an an?1 ? an ? 4 ? 0 ,???????????? (1)

同理可得

2 2 an ?2 ? 6an?2 an?1 ? an?2 ? 4 ? 0 ,??????(2)????????5 分 2 2

由 (1) (2) 可知, 又 an ? an?2 , 即有 an ? an?2 ? 6an?1 , an , an? 2 为方程 x ? 6an?1x ? an?1 ? 4 ? 0 的两根, 即 an?2 ? 6an?1 ? an . 因为 a1 ? 1, a2 ? 5, 所以 an 为正整数.????????????????????10 分 (Ⅱ)不存在 m ? N ,使得 2015 am .???????????????????15 分
*

假设存在 m ? N ,使得 2015 am ,则 31 am .
*

一方面, amam?2 ? am?1 ? 4 ,所以 31 am ?1 ? 4 ,即
2
2

30 15 30 2 ,所以 am?1 ? ?4 ? ?2 (mod31) . am ?1 ? ?4(mod31)

由费马小定理知 230 ? 1(mod31) ,所以 am?1 ? ?1(mod31) ??????????20 分
30

另一方面, (am?1 ,31) ? 1 .事实上,假设 (am?1,31) ? d ? 1 ,则 d 31 ,即 d ? 31 ,所以 31 am?1 ,而
2 31 am ?1 ? 4 ,这样得到 31 4 .矛盾.
30 所以,由费马小定理得 am . ?1 ? 1(mod31)

这样得到 1 ? ?1(mod 31) .矛盾.所以不存在 m ? N * ,使得 2015 am .??????25 分 附加 2 设 k 为正整数,称数字 1 ~ 3k ? 1 的排列 x1 , x2 , (1) x1 ? x2 ?

, x3k ?1 为“N 型”的,如果这些数满足
? x3k ?1 .

? xk ?1 ; (2) xk ?1 ? xk ?2 ?

? x2k ?1 ; (3) x2k ?1 ? x2k ?2 ?

记 dk 为所有“N 型”排列的个数. (I)求 d1 , d2 的值; (II)证明:对任意正整数 k, dk 均为奇数. 参考答案: 首先注意到 xk ?1 的值只能取 3k ? 1,3k , 的值只能取 1, 2, 因为必须有 2k 个值比它小, 而 x2 k ?1 , 2k ? 1 这些数字,

, k ? 1 这些数字,因为必须有 2k 个值比它大。
(i , j ) ,则 , k ? 1 )时的 N 型排列个数为 dk

记 xk ?1 ? 3k ? 2 ? j, x2k ?1 ? i ( i, j ? 1, 2,

k ?1?i k ?1? j (i , j ) . dk(i, j ) ? C3 k ?1?(i ? j )C3k ?1?(i ? j )?( k ?1?i ) , d k ? ? d k
i , j ?1

k ?1

化简得

d k(i , j ) ?

(3k ? 1 ? i ? j )! .?????????????????????10 分 (k ? 1)!(k ? 1 ? i)!(k ? 1 ? j )!

(1) 计算可得

d1 ? 5, d2 ? 71 ????????????????????????15 分
( i ,i )

(i , j ) ( j ,i ) (2) 易知 dk , dk ? dk

?

(3k ? 1 ? 2i)! ( i ? 1, 2, (k ? 1)!(k ? 1 ? i)!(k ? 1 ? i)!

(k ,1 )? 1 , dk ,k )

k?

? 1.

当 k ? 1 时 , 对 于 所 有 i ? 1, 2,

(i ,i ) 是 偶 数 。 事 实 上 对 于 x2k ?1 ? i , xk ?1 ? 3k ? 2 ? i , k , dk

( i ? 1, 2,

, k )时的任何一个 N 型排列,此时数字 1, 2, ,3k ? 2 ?1 只能放在

, i ?1 只能放在 x1 , x2 ,

, xi ?1 的位置,数

字 3k ? 2 ? (i ? 1),3k ? 2 ? (i ? 2),

x3k ?2?(i ?1) , x3k ?2?(i ?2) ,

, xi , xi ?1 , , x3k ?1 上(字母 N 的两头)

, xk 和 x3k ?2?i , x3k ?2?(i ?1) ,
, k ).??25 分

, x2k ?2 的数

(i ,i ) 字可以互换得到一个新的 N 型排列,于是 dk 是偶数( i ? 1, 2,

(也可以从表达式说明

(m ? 2n)! 是偶数( n ? 1 ) ,它的组合意义就是将 m 个白球,n 个红球,n 个 m !n !n !

蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列,交换红蓝球可对应另一种排列。 于是 dk ?

i , j ?1

?d

k ?1

(i , j ) k

? ? dk(i , j ) ? dk( k ?1,k ?1) ?
i ?1

k

i ? j ,i , j ?1

?

k ?1

dk(i , j ) 为奇数!………………………25 分)


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