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第二章测试证明大题


选修 1-2 推理与证明练习题
一、选择题
1.若实数 a,b 满足 b>a>0,且 a+b=1,则下列四个数最大的是( A.a2+b2 B.2ab 1 C. 2 ) D.a )

2.下面使用类比推理正确的是(

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“

(a+b)· c=ac+bc”类推出“(a· b)· c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)· c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)” c c c D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 3.下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180° 归纳出所有三角形的内角和都是 180° ; ③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多边形内角和是 (n-2)· 180° . A①② B.①③④ C.①②④ D.②④ 4.下面用“三段论”形式写出的演绎推理:因为指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,y= 1 1 ( )x 是指数函数,所以 y=( )x 在(0,+∞)上是增函数.该结论显然是错误的,其原因是( 2 2 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都可能 5.若 a,b,c 不全为 0,必须且只需( A.abc≠0 C.a,b,c 中只有一个为 0 ) )

B.a,b,c 中至多有一个不为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 )

6.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形

7.若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的: ①ab=ba;②(ab)c=a(bc);③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0;④若 ab=0,则 a=0 或 b=0. 对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论: ①a· b=b· a;②(a· b)c=a(b· c);③若 a· b=b· c,b≠0,则 a=c;④若 a· b=0,则 a=0 或 b=0.

其中结论正确的有( A.0 个 B.1 个

) C.2 个 D.3 个 )

1 1 1 1 1 8.设 S(n)= + + + +…+ 2,则( n n+1 n+2 n+3 n 1 1 A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)= + 2 3 1 1 1 B.S(n)共有 n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4 1 1 1 C.S(n)共有 n2-n 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4

1 1 1 D.S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4 1+x 9.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n=1,2,…,则 f2013(x)=( 1-x 1+x A. 1-x x-1 B. x+1 C.x D.- 1 x )

10.观察下表: 1 2 3 4 ? 2 3 4 5 ? 3 4 5 6 ? 4…第一行 5…第二行 6…第三行 7…第四行 ?

第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为( A.2n-1 B.2n+1 C.n2-1 D.n2 )

11.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定: (a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d;运算“? ”为: (a,b)? (c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为: (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).设 p、q∈R,若(1,2)? (p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4) )

二、填空题
12.若下列两个方程 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实数根,则实数 a 的取 值范围是________. 13.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现 S′=l;三维空间中球的

4 二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V= πr3,观察发现 V′=S.则由四维空间中“超球”的三维测度 3 V=8πr3,猜想其四维测度 W=________.
2 2 14.已知点 A(x1,x2 1),B(x2,x2)是抛物线 y=x 上任意不同的两点,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间 2 x1 +x2 2 ?x1+x2?2 函数图象的上方,因此有结论 > 2 ? 2 ? 成立,运用类比的方法可知,若点 A(x1,sinx1),B(x2,

sinx2)是函数 y=sinx(x∈(0,π))图象上不同的两点,则类似地有结论________________. 15.观察下列不等式

1?

1 1 1 5 1 3 1 1 5 ? ;1 ? 2 ? 3 ? ;1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 3 4 3 2 2 2 3 3

…… 照此规律,第五个 不等式为 ... .

16.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题:“__________________________________________ _______________________________________________________”.

三、解答题
17.证明:已知 a, b, c 均为正数,求证: (a ? b ? c)(

1 1 1 ? ? )?9 a b c

18.证明: n ? 0, 证明: n ? 2 ? n ? 1 ?

n ?1 ? n

19.若 ? , ? 均为锐角,且

? cos? cos ? ? ? 2 ,求证 ? ? ? ? 2 sin ? sin ?

20.在 ?ABC 中,若

1 1 3 ? ? 试问 A, B, C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明 a?b b?c a?b?c

理由;若成等差数列,请给出证明.

21.证明:若 a>0,则

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

22.已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn.求证:数列{cn}不是等比数列.


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