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北京大学附属实验中学河南分校2013届高三上学期第四次月考数学理试题


北大附中分校 2013 届高三年级第四次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设 a 是实数,且 A. ?1

1 ? ai ? R ,则实数 a ? 1? i
B.1 C.2



/>)

D. ? 2

2. 已知集合 P ? { 正奇数 } 和集合 M ? {x | x ? a ? b, a ? P, b ? P} , M ? P , M 中的运算 ? ” 若 则 “ 是 A.加法 ( B.除法 ) C.乘法 D.减法 )

3.已知各项为正的等比数列 {an } 中, a 4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为( A.16 B.8 C. 2 2 D.4

4. 已知定义域为 R 的函数 f (x ) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) , x ? 2 时,f (x ) 单调递增, 当 如果 x1 ? x2 ? 4 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值 A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为 0 ( )

D.可正可负

a1 a2
5.定义行列式运算

a3 a4

= a1 a 4

? a2 a3 .将函数 f ( x) ?
( C. ?

sin 2x cos 2 x


3 1

的图象向左平移

? 6

个单

位,以下是所得函数图象的一个对称中心是 A. ?

?? ? ,0? ?4 ?

B. ?

?? ? ,0? ?2 ?

?? ? ,0? ?3 ?
a1 a 2

D. ?

?? ? ,0? ? 12 ?

6.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 S1 , S 2 ,?, S15 中最大的项为
a15

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S9 a9

D.

S8 a8

7.如果 f ?(x ) 是二次函数, 且 f ?(x ) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线 y ? f (x) 上 任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是 A. (0, ( C. ( ) D. [

?
3

]

B. [

? ? , ) 3 2

? 2?
2 , 3

]

?
3

,? )


8.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 7, an?2 等于 an an?1 (n ? N ?) 的个位数,则 a2013 的值是( A.8 B.6 C.4 D.2

9.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为 A.

( D. 4 ? ln 3



32 9

B. 2 ? ln 3

C. 4 ? ln 3

10. ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2, OA ? AB ? AC ? 0 ,且 | OA |?| AB | , CA在CB 方向上的 投影为 A. ? 3 11.已知函数 B. ? 3 C. ( )

3

D. 3

f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交


点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

12.设函数 f ( x) ? x n ? x ? 1(n ? N ? , n ? 2) .则 f (x) 在区间 ? ,1? 内( A.存在唯一的零点 x n ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?单调递增 B.存在唯一的零点 x n ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?单调递减 C.存在唯一的零点 x n ,且数列 x2 , x3 ,?, xn ?非单调数列 D.不存在零点

?1 ? ?2 ?



二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 向量 a, b 的夹角为 120°, | a |? 1, | b |? 3, 则 | 5a ? b | = .

14.已知函数

? x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (0) ? 3) ? e ,x ? 0 ?




15.已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy ,若对任意满足条件的 x, y ,都有 ( x ? y)2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16.设

f ? x?=asin2x+bcos2x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 .

若 f ? x? ? f ?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒成 ?6?

立,则以下结论正确的是___________(写出所有正确结论的编号) . ① f?

? 11? ? 12

7? ? ? ? ? 0; ② f ( ) ? f ( ) ; 12 5 ?

③ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数;

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ?; 3 ? ?



经过点 ? a, b ? 的所有直线均与函数 f ? x ? 的图象相交.

三、解答题(本大题 6 小题共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知 A, B 是直线 y ? 0 与函数 f ( x ) ? 2 cos
2

?x
2

? cos( x ? ?

?
3

? ?? ) 1(

0) 图像的两个相邻交

点,且 | AB |?

?
2

.

(1)求 ? 的值; (2)在锐角 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? ? 为 3 3 ,求 a 的值.

3 , c ? 3, ?ABC 的面积 2

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) ,求适合方程 值.
?

1 a n ? 1 (n ? N ? ) . 2

1 1 1 25 的正整数 n 的 ? ? ... ? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 51

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a

?

(1)当 a // b 时,求 cos (2)设函数

? ?

3 ? ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4

x ? sin 2 x 的值; ? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若
2

a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 3

,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

? ??

20. (本小题满分 12 分) 设正项等比数列 {an } 的首项 a1 ?

1 , 前 n 项和为 Sn ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0. 2

(1)求 {an } 的通项; (2)求 {nS n } 的前 n 项 Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ?R) .

(1)讨论函数

f (x) 在定义域内的极值点的个数;
? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数
ln(x ? 1) . ln( y ? 1)

(2)若函数 f (x ) 在 x

b 的取值范围;
(3)当 x

? y ? e ? 1 时,求证: e

x? y

?

22. (本小题满分 12 分) 已知 a , b 是正实数,设函数 (Ⅰ)设 h( x) ?

f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ?a ? x ln b .

f ( x) ? g ( x) ,求 h( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若存在

x0 ,使 x0 ? [ a ? b , 3a ? b ] 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求
4 5

b a

的取值范围.

理科数学试题参考答案
一、选择题:1—5:BCBAB; 二、填空题:13.7 三、解答题: 17.解: (1) f ( x) ? 1 ? cos wx ? cos wx ?
1 2 3 ? sin wx ? 1 ? ? 3 sin( wx ? ) ?2 分 2 3

6—10:DBCDC; 15. ? ? ?,

11—12:AA

14.-1

? ?

37 ? 6? ?

16.① ③ ⑤

由函数的图象及 AB ?

?
2

,得到函数的周期 T ?

2? ? ? 2 ? ,解得 w ? 2 ???4 分 w 2

(2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? 又 是锐角三角形 ?

?

3 ? 3 ) ? ? ,? sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2
? 2A ?

?
3

?
3

?

2? ? ? ? , 2 A ? ? ,即A= ,???6 分 ? 3 3 3 3
????8 分

由 S? ABC ?

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3,得b=4 2 2 2
2

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 42 ? 32 ? 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 13,即a ? 13 ?10 分

18. (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由 s1 ? 当 n ? 2 时,∵ sn ? 1 ? ∴ sn ? sn ?1 ? ∴ an ?

1 2 a1 ? 1 ,得 a1 ? ????????1 分 2 3

1 1 an , sn ?1 ? 1 ? an ?1 , ???????2 分 2 2

1 1 ? an?1 ? an ? ,即 an ? ? an?1 ? an ? 2 2
????????????????3 分

1 a n ?1 ( n ? 2) 3

∴ ?an ? 是以 故 an ?

1 2 为首项, 为公比的等比数列.?????????????4 分 3 3
????????????????6 分

2 1 n ?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) n (n ? N ? ) 3 3 3

(2) 1 ? sn ?

1 1 1 an ? ( ) n , bn ? log3 (1 ? sn ?1 ) ? log 3 ( ) n ?1 ? ?n ? 1 ?????8 分 2 3 3

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ????????????????9 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 ?11 分
解方程

1 1 25 ? ? ,得 n ? 100 2 n ? 2 51

????????????????12 分

19.解: (1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

? ?

3 4

3 4

????2 分

cos 2 x ? sin 2 x ?

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2

????6 分

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4

????9 分

? ?? ? ? ? 11? ? 1 ? ? ?? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 6? 4 ? 4 12 ? 2 ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0

????12 分

20.解: (1)由 即



210 ( S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

?2分

210 (a 21 ? a 22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a 20 , 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .
????4分

可得

1 an ? 0 ,所以 210 q10 ? 1, 解得 q ? 2 , 因为
因而

????5分

a n ? a1 q n ?1 ?

1 , n ? 1,2, ?. 2n
a1 ?

????????6分

(2)因为

{a n }

是首项

1 1 q? 2 、公比 2 的等比数列,故

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2 ????????8 分

{nS n }的前 n 项和 则数列

1 2 n Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n?1 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



Tn ?

n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2 ??12 分

21.解: (1) f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 函数 f (x) 在 (0,??) 单调递减,∴ f (x) 在 (0,??) 上没有极值点; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a
1 处有极小值. a

∴ f (x) 在 ( 0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增,即 f (x) 在 x ? ∴当 a ? 0 时 f (x) 在 (0,??) 上没有极值点, 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上有一个极值点. (注:分类讨论少一个扣一分. ) (2)∵函数 f (x ) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 a

1 a

????4 分

????5 分

1 ln x ? ?b, x x

1 ln x ,可得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? x x

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ? (3)证明: e
x? y

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

????8 分

?

ln(x ? 1) ex ey , ? ? ln(y ? 1) ln(x ? 1) ln(y ? 1)

令 g ( x) ?

ex ,则只要证明 g (x) 在 (e ? 1,??) 上单调递增,???9 分 ln(x ? 1)

1 ? ? e x ?ln(x ? 1) ? x ? 1? ? ?, 又∵ g ?( x) ? ln 2 ( x ? 1)
显然函数 h( x) ? ln( x ? 1) ? ∴ h( x ) ? 1 ?

1 在 (e ? 1,??) 上单调递增. x ?1

1 ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , e

ex ey ∴ g (x) 在 (e ? 1,??) 上单调递增,即 , ? ln(x ? 1) ln( y ? 1)
∴当 x ? y ? e ? 1 时,有 e
x? y

?

ln(x ? 1) . ln( y ? 1)

??????12 分

22.解: (1) h(x )=x ln x-x ln b+a, x ? (0,+?) ? h'(x )= ln x +1- ln b 由 h'(x )>0 得 x > (2)由

b b b + ,? h(x )在(0, )上 单调递减, 在( ,? )上 单调递增.????4 分 e e e
???????5 分

3a +b a +b b ? 得 ?7 a 5 4

(i)当

a +b b 3a +b e b 3e b b ? ? ? ? ,即 时, h(x )min =h( )= - +a 4 e 5 4-e a 5-e e e
???????7 分

由 -

b b b 3e +a ? 0 得 ? e ,? e ? ? a e a 5-e

(ii)当

b a +b 4-e < b 时, a > e 4 e

? h(x )在[

a +b 3a +b , ]上d 单调递增. 4 5

h(x )min =h(

a +b a +b a +b a +b b 3a -b )= (ln -lnb)+a ? (ln -lnb)+a = > 4 4 4 4 e 4 ?不成立 ?????????9 分
b 3a +b b 3e 5-e > b ,即 > 时, a < e 5 a 5-e 3e

3?

4-e b-b 3-e e = b> 0 4 e

(iii)当

? h(x )在[

a +b 3a +b , ]上d 单调递减. 4 5

3a +b 3a +b 3a +b 3a +b b 2a-b h(x )min =h( )= (ln -lnb)+a < (ln -lnb)+a = < 5 5 5 5 e 5

2?

5-e b-b 2-e 3e = b<0 5 3e

b 3e 时恒成立 ?当 > a 5-e
综上所述, e ?

????????11 分

b <7 a

????????12 分

解法二:由

3a +b a +b b ? 得 ? 7. a 5 4

?a b ?a b ? ? ?4 ? ?4 ? ? x0 x0 ? x0 x0 3a ? b ?a ? b ? 3a b ? 3a b ? x0 ? 由? ? ?? ? ?5?? ? ?5 5 ? 4 ? x0 ln x0 ? ?a ? x0 ln b ? x0 x0 ? x0 x0 ? a ? b ? a ?ln ? ? b ? e x0 ? x0 x0 ? x0 ?


b y a b ? x, ? y, 则 ? ,题目转化为: a x x0 x0

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x y 满足 ? ,求 的取值范围. , x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x y )所在平面区域(如图) .求出 y =e x 的过原点的切线. ,

设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y ? e 0 ? e 0 ( x ? x0 ) ,
x x

因为过原点,故有 ?e 0 ? ? x0e 0 , 即 x0 ? 1, P(1, e) ,
x x



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e .此时,点 P(1, e) 在 y =e x 上 A, B 之间. x

1 ? ? x ? 2 ,即 C ( 1 , 7 ) ?y ? 4? x ? 当( x y )对应点 C 时,由 , ?? ? 2 2 ? y ? 5 ? 3x ? y ? 7 ? ? 2

∴ ∴

y 的最大值在 C 处,为 7. x

y b 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, 7 ? . 7 x a


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