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《二次根式》典型例题和练习题


《二次根式》分类练习题 二次根式的定义:

【例 1】下列各式.1)

1 1 , 2) ?5,3) ? x 2 ? 2, 4) 4,5) (? ) 2 ,6) 1 ? a ,7) a 2 ? 2a ? 1 , 5 3

其中是二次根式的是_________(填序号) . 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( A、 a B、 ?10 C、 a ? 1 D、 )

a

2

?1

2 2 2、在 a 、 a b 、 x ? 1 、 1 ? x 、 3 中是二次根式的个数有______个

【例 2】若式子 举一反三: 1、使代数式 A、x>3

1 有意义,则 x 的取值范围是 x?3

.[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x?3 有意义的 x 的取值范围是( x?4
B、x≥3 C、 x>4

) D 、x≥3 且 x≠4

2、使代数式 ?

x

2

? 2 x ? 1 有意义的 x 的取值范围是
1 mn
有意义,那么,直角坐标系中点 P(m,n)的位置在( C、第三象限 D、第四象限 )

3、如果代数式 ? m ? A、第一象限

B、第二象限

【例 3】若 y=

x ? 5 + 5 ? x +2009,则 x+y=

举一反三:
2 1、若 x ? 1 ? 1 ? x ? (x ? y) ,则 x-y 的值为(



A.-1

B.1

C.2

D.3

2、若 x、y 都是实数,且 y= 2x ? 3 ? 3 ? 2x ? 4 ,求 xy 的值

3、当 a 取什么值时,代数式 2a ? 1 ? 1取值最小,并求出这个最小值。 第 1 页—总 7 页

已知 a 是 5 整数部分,b 是

5 的小数部分,求 a ?

1 的值。 b?2


若 3 的整数部分是 a,小数部分是 b,则 3a ? b ? 若 17 的整数部分为 x,小数部分为 y,求

x2 ?

1 y 的值.

知识点二:二次根式的性质

a ? 2 ? b ? 3 ? ? c ? 4 ? ? 0, a ? b ? c ? 【例 4】若 则
2



举一反三: 1、若 m ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 0 ,则 m ? n 的值为
2

。 )

2、已知 x, y 为实数,且 x ? 1 ? 3? y ? 2? ? 0 ,则 x ? y 的值为( A.3 B.– 3 C.1
2

D.– 1

3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足|x -4|+ 4、若

y 2 ? 5 y ? 6 =0,则第三边长为______.
2005

a ? b ?1

?a ? b? 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则

? _____________



(公式 ( a ) 2 ? a(a ? 0) 的运用) 【例 5】 化简: a ?1 ? ( a ? 3) 的结果为(
2

) D、 4

A、4—2a 举一反三:

B、0

C、2a—4

1、 在实数范围内分解因式:

x

2

?3=

; m ? 4m ? 4 =

4

2

x4 ? 9 ? __________, x2 ? 2 2x ? 2 ? __________
2、 化简: 3 ? 3 1 ? 3

?

?

3、 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ,则斜边长为

?a (a ? 0) (公式的应用) a 2 ? a ? ? ?? a (a ? 0)

第 2 页—总 7 页

【例 6】已知 x ? 2 ,则化简 x2 ? 4x ? 4 的结果是 A、 x ? 2 举一反三: B、 x ? 2 C、 ? x ? 2 D、 2 ? x

2 1、根式 ( ?3) 的值是(

) C.3 D.9

A.-3

B.3 或-3
2

2、已知 a<0,那么│ a -2a│可化简为( ) A.-a 3、若 2 ? a ? 3 ,则 A. 5 ? 2a B.a C.-3a
2

D.3a )

?2 ? a?

?

? a ? 3?

2

等于( D. 2a ? 1

B. 1 ? 2a

C. 2a ? 5

4、若 a-3<0,则化简 (A) -1 (B) 1

a 2 ? 6a ? 9 ? 4 ? a
(C) 2a-7

的结果是(



(D) 7-2a )

5、化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? (A) 2 (B) ?4 x ? 4

?

2 x ? 3 得(
(C)-2

?

2

(D) 4 x ? 4

a 2 ? 2a ? 1 a2 ? a 6、当 a<l 且 a≠0 时,化简 =



1 1 4 ? (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 a a 7、已知 a ? 0 ,化简求值:
2 【例 7】如果表示 a,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+ ( a ? b) 的结果等

于(

) A.-2b B.2b C.-2a D.2a
b
2

a

o

a

举一反三: 实数 a 在数轴上的位置如图所示: 化简: a ? 1 ? (a ? 2) ? ______ . 【例 8】化简 1 ? x ? (A)x 为任意实数

?1 0

1

2

x 2 ? 8 x ? 16 的结果是 2x-5,则 x 的取值范围是(
(B) 1 ≤x≤4 (C) x≥1 (D)x≤1



2 2 举一反三:若代数式 (2 ? a ) ? ( a ? 4) 的值是常数 2 ,则 a 的取值范围是(



A. a ≥ 4

B. a ≤ 2

C. 2 ≤ a ≤ 4

D. a ? 2 或 a ? 4 )

【例 9】如果 a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 1 ,那么 a 的取值范围是( A. a=0 举一反三: B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a≤1

1、如果 a ? a2 ? 6a ? 9 ? 3 成立,那么实数 a 的取值范围是(



A.a ? 0B.a ? 3; C.a ? ?3; D.a ? 3
第 3 页—总 7 页

2 2、若 ( x ? 3) ? x ? 3 ? 0 ,则 x 的取值范围是(

) (D) x ? 3

(A) x ? 3

(B) x ? 3

(C) x ? 3

【例 10】化简二次根式 a ? (A) ? a ? 2 1、把二次根式 a ? A.

a?2 的结果是 a2
(C) a ? 2 ) C. ? a D. (D) ? a ? 2

(B) ? ? a ? 2

1 化简,正确的结果是( a
B. ? ?a

?a

a

2、把根号外的因式移到根号内:当 b >0 时,

b x

x=

; (a ? 1)

1 = 1? a



知识点三:最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式:

2、同类二次根式(可合并根式) : 3、【例 11】在根式 1) A.1) 2) 举一反三:
1 1、 45a , 30 , 2 , 40b 2 , 54 , 17(a 2 ? b 2 ) 中的最简二次根式是 2

a 2 ? b2 ; 2)

x ;3) x 2 ? xy ; 4) 27abc ,最简二次根式是( ) 5
C.1) 3) D.1) 4)

B.3) 4)



2、下列根式中,不是 最简二次根式的是( .. A. 7 B. 3 C. 1
2

) D. 2

3、下列根式不是最简二次根式的是( A. a2 ?1 B. 2 x ? 1

) C.

2b 4

D. 0.1y

4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么?

(1) 3a b

2

3ab 2 (2)

(3)

x2 ? y2

(4) a ? b (a ? b)

(5) 5

(6)

8 xy

5、把下列各式化为最简二次根式:

(1) 12

(2) 45a b )

2

x2
(3)

y x

【例 12】下列根式中能与 3 是合并的是(

第 4 页—总 7 页

A. 8

B.

27

C.2 5

D.

1 2
B、 3和

1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( D、 a ? 1和 a ?1 2 、 在 二 次 根 式 : ① 12 ; ② 是 3、如果最简二次根式 。

) A、 3和 18

1 3

C、 a2b和 ab2

23 ; ③

2 ;④ 3

27 中 , 能 与

3 合并的二次根式

3a ? 8 与 17 ? 2a 能够合并为一个二次根式, 则 a=__________.

知识点四:二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1.分母有理化 2.有理化因式: ①单项二次根式:利用 a ? a ? a 来确定,如: a与 a , a ? b与 a ? b , a ? b 与 a ? b 等分 别互为有理化因式。 ② 两 项 二 次 根 式 : 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 。 如 a? b 与 a? b ,

a ? b与 a ? b ,

a x ? b y与a x ? b y 分别互为有理化因式。
【例 13】 把下列各式分母有理化 (1)

1 48

(2)

?4 3 3 7

(3)

1 1 2 12

(4) ?

1 3 5 50

例 14】把下列各式分母有理化 (1)

2x 8 x3 y

2 (2) a ?b

8 (3) x 3 x

a2 (4) ? 2 b

b5 a5

【例 15】把下列各式分母有理化: (1)

2 2 ?1

(2)

5? 3 5? 3

(3)

3 3 3 2 ?2 3

1、已知 x ?

x? y 2? 3 2? 3 2 2 ,y? ,求下列各式的值: (1) (2) x ? 3xy ? y x? y 2? 3 2? 3

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2、把下列各式分母有理化:

a ?b (1) ? a ? b? a? b

a?2 ? a?2 (2) a?2 ? a?2

(3)

b ? a 2 ? b2 b ? a 2 ? b2

知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除 【例 16】化简 (1) 9 ?16 (2) 16 ? 81 (3)

5 ? 2 15

2 2 (4) 9 x y ( x ? 0, y ? 0 )

(5)

1 × 6 ?2 3 2

【例 17】 计算 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

【例 18】化简:

3 (1) 64

64b 2 (2) 9a 2 12 3

(a ? 0, b ? 0)

(3)

9x 64 y 2
(3)

( x ? 0, y ? 0)

(4)

5x 169 y 2
64 8

( x ? 0, y ? 0)

【例 19】计算:(1)

(2)

3 1 ? 2 8

1 1 ? 4 16

(4)

x x ? x ? 2 成立的的 x 的取值范围是( 【例 20】能使等式 x ? 2 ) A、 x ? 2 B、 x ? 0 C、 0 ? x ? 2 D、无解
知识点六:二次根式计算——二次根式的加减 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二 次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

【例 20】 (1) 32 ?

1 1 1 1 ; ? 75 ? 3 ? 4 8 5 3 2

(2) ?

1 3 2 ?1 ? ?3 ? 63 ? 27 ? ? ? 28 ? 48 ? 147 ? 3 4 7 ?2 ? ?2 ?

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【例 21】 (1) 3 x ? y ?

4 x2 ? y 2 ? x? y 4x ? 4 y

(2)

a ?b a? b ? a ?b a? b

(5) 81a ? 5a a ?
3

3 4a 5 a

(6) xy ?

x y ? ? y x

y x ? ?2 x y

知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、

2 3 3 b ab5 ? (? a b) ? 3 b 2 a

2、

2 2

(2 12 +4

1 8

-3 48 )

1 3、 3

x y〃 (-4

2

1 y2 )÷ 6 x

x2 y

4、 ( 72 ?

2 2? 3

)? 3 ?7 6

知识点八:根式比较大小

【例 22】 比较 3 5 与 5 3 的大小。 (用两种方法解答) 【例 23】比较

2 1 与 的大小。 3 ?1 2 ?1

【例 24】比较 15 ? 14 与 14 ? 13 的大小。

【例 25】比较 7 ? 6 与 6 ? 5 的大小。

【例 26】比较 7 ? 3 与 87 ? 3 的大小

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